Gravitation `a N corps

Gravitation à N corps
Matthieu Schaller
[email protected]
2 décembre 2007
Table des matières
1 Introduction
2
2 Système double
2.1 Conditions initiales . . .
2.2 Orbite des corps . . . . .
2.3 Simulation du système .
2.4 Convergence du schéma
2.5 Pas de temps adaptatif .
2
2
3
4
5
7
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3 Astéroı̈de au point de Lagrange
8
3.1 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Conditions initiales de l’astéroı̈de . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Perturbation des conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Conclusion
15
1
1 INTRODUCTION
1
2
Introduction
Lorsqu’on débute en physique, on commence le plus souvent par l’étude
de la mécanique. On apprend vite les lois de Newton ainsi que la loi de la
gravitation que l’on applique aux problèmes de corps célestes en rotation.
Par exemple le système terre-lune ou terre-soleil. Ce problème en apparence
très simple est pourtant bien plus difficile qu’il n’y paraı̂t. En effet, si l’on
considère un système à 3 corps, il n’y a plus de solution analytique aux
équations du mouvement. Il est alors impossible de prévoir la trajectoire
des corps par l’analyse. Il est donc impossible de prévoir l’évolution exacte
du système solaire puisqu’il faut tenir compte de 10 corps (au moins) pour
obtenir les équations du mouvement.
Pour tenter de comprendre la trajectoire d’un tel mouvement, il faut utiliser
une simulation numérique. C’est ce que nous allons faire dans cette étude.
Dans un premier temps, nous allons analyser un système double afin de
vérifier la validité du schéma en comparant les résultats obtenus avec ceux
que l’on obtient par l’analyse. Dans un deuxième temps, nous allons observer
l’évolution d’un astéroı̈de placé à un des points de Lagrange du système
terre-lune.
2
Système double
On considère un système constitué de deux planètes de masse m1 et m2
qui interagissent uniquement gravitationellement.
2.1
Conditions initiales
Le choix d’un bon référentiel pour ce problème est primordial. On sait
que le centre de masse du système n’est pas accéléré puisqu’il ne subit aucune
force externe ; il est donc en translation rectiligne à vitesse constante. On peut
donc choisir un référentiel lié au centre de masse sans avoir de problème. Ce
sera un référentiel d’inertie.
On suppose connue la position et la vitesse initiale du premier corps : x~1 (0)
respectivement v~1 (0). Dans ces conditions, il faut calculer la position et la
vitesse initiale du 2ème corps de telle sorte que leur trajectoire soit une ellipse
(dans le référentiel du centre de masse). Cette situation est représentée sur
l’image 1.
La position du centre de masse du système est donnée par :
P
m x~
m x~ + m2 x~2
Pi i i = 1 1
= x~G
(1)
m1 + m2
i mi
2 SYSTÈME DOUBLE
3
Fig. 1 – Le système dans le référentiel du centre de masse
Comme dans le référentiel que nous utilisons, nous avons x~G = ~0, on tire de
la relation précédente :
m1
x~2 = − x~1
(2)
m2
De même si on cherche à calculer la quantité de mouvement du centre de
masse, on obtient la relation :
P
m v~
m v~ + m2 v~2
Pi i i = 1 1
= v~G
(3)
m1 + m2
i mi
Et comme on se trouve dans un réfŕentiel lié au centre de masse, on a v~G = ~0,
ce qui nous donne une relation pour les vitesses :
v~2 = −
m1
v~1
m2
(4)
Les relations 2 et 4 permettent ainsi le calcul des conditions initiales du
deuxième corps.
2.2
Orbite des corps
Pour caractériser pleinement une ellipse, il faut connaı̂tre par exemple
son grand axe et un de ses foyers. Dans le cas qui nous intéresse, la position
du foyer est connue puisqu’il sagit du centre de masse du système.(1ère
loi de Kepler). Il ne nous reste plus qu’à calculer le grand-axe pour pouvoir
connaı̂tre précisément la trajectoire des corps.
En utilisant le fait que l’éergie mécanique totale du système est conservée
ainsi que les moments cinétiques de chaqu’une des deux planètes, on obtient
les relations suivantes :
v1max = G 2m2
+ v1 (0)
2
m1
1 + m2 x1 (0)v1 0
(5)
2 SYSTÈME DOUBLE
4
où G est la constante de la gravitation universelle. On obtient également la
position « maximale », c’est-à-dire la plus grande distance entre le centre de
masse et la planète.
x1 (0)v1 (0)
x1max =
(6)
v1max
2.3
Simulation du système
Pour tester la validité du schéma numérique, nous allons essayer d’obtenir
une trajectoire correspondant aux calculs faits dans la section précédente. Les
conditions initiales proposées sont résumées dans le tableau 2.3
Nom
Masse de la terre
Masse de la lune
Position initiale de la terre
Position initiale de la terre
Vitesse initiale de la terre
Vitesse initiale de la terre
Symbole
m1
m2
xx1 (0)
xy1 (0)
v1x (0)
v1y (0)
Valeur
5.9736 · 1024 kg
1.9912 · 1024 kg
−108 m
0m
0 m/s
−390 m/s
Fig. 2 – Conditions initiales
En utilisant les relations calculées plus haut ainsi que la définition de
l’énergie mécanique, on trouve les valeurs représentées dans le tableau 2.3.
Nom
Position initiale de la lune
Position initiale de la lune
Vitesse initiale de la lune
Vitesse initiale de la lune
Enérgie mécanique totale
Distance maximale entre les 2 corps
Symbole
xx2 (0)
xy2 (0)
v2x (0)
v2y (0)
Emec
dmax
Valeur
3 · 108 m
0m
0 m/s
1170 m/s
−1.6626 · 1029 J
4.3719 · 109 m
Fig. 3 – Conditions initiales calculées
Pour tester le schéma, nous allons utiliser les conditions initiales calculées
et essayer d’obtenir les valeurs exactes de la distance maximale et de l’énergie
mécanique. Comme nous utilisons un algorithme de Runge-Kutta d’ordre 4,
nous devrions obtenir une convergence en ∆t4 pour ces 2 valeurs.
En réalisant une première simulation avec un pas de temps fixe de 1000 000 s
(environ 1.1 jours) et un temps final de 108 s (environ 3 ans), on obtient la
figure 4.
2 SYSTÈME DOUBLE
5
Fig. 4 – Evolution du système sur 3 ans avec un pas de temps d’environ 1
jour
On observe que la trajectoire des deux planètes est bien elliptique 1 . Le
centre de gravité (en rose sur la figure) ne se déplace pas, comme prévu.
Cependant si l’on refait la même simulation avec un temps final plus long,
par exemple 109 s (soit environ 30 ans), on obtient le graphique 5
On constate que l’orbite rétrécit avec le temps, ce qui ne correspond pas
du tout à la réalité physique. Ce schéma n’est donc correct que pour certains
pas de temps assez petit. Il est donc intéressant de savoir si le schéma converge
correctement si l’on diminue le pas de temps.
2.4
Convergence du schéma
La première grandeur que l’on peut tester est l’énergie mécanique du
système. En effet, elle doit être parfaitement conservée tout au long de
l’évolution du système. Si l’on choisit de représenter la différence entre l’énergie
mécanique calculée plus haut et la valeur obtenue par le schéma au temps
final tf inal = 3 · 108 s en fonction du pas de temps, on obtient le graphique 6.
On constate d’une part que l’énergie converge vers la valeur analytique
si le pas de temps diminue. On peut même constater que la convergence est
1
Les unités du graphique sont en mètres sur les 2 axes. Ce sera la même chose dans le
reste du document sauf indication contraire. Ceci pour éviter une certaine lourdeur, car
c’est principalement le résultat qualitatif qui nous intéresse pour ces représentations de
trajectoires
2 SYSTÈME DOUBLE
6
Fig. 5 – Evolution du système sur 30 ans avec un pas de temps d’environ 1
jour
Fig. 6 – Différence d’énergie en fonction du pas de temps
d’ordre 4, puisque la courbe est très proche d’une droite de pente 4 (en bleu
sur le graphique). En représentant cette fois la différence entre la distance
maximale dmax entre les 2 corps et cette même valeur calculée plus haut, en
2 SYSTÈME DOUBLE
7
fonction à nouveau du pas de temps, on obtient le graphique 7.
Fig. 7 – Distance maximale entre les 2 corps en fonction du pas de temps
A nouveau, on observe une convergence d’ordre 4 du schéma, comme
attendu pour un schéma Runge-Kutta 4. Finalement on peut encore essayer
de représenter la distance maximale entre l’origine et le centre de masse au
cours de la simulation. Cette distance devrait tendre vers 0 quand le pas de
temps devient petit, puisqu’en théorie, le centre de masse ne se déplace pas.
Le résultat est représenté sur la figure 8.
A première vue, le schéma semble diverger ou en tout cas ne pas converger comme attendu. Cependant, si l’on regarde l’échelle du graphique on voit
que le centre de masse s’est déplacé que de moins d’1 mm, quelque soit le pas
de temps choisi ! L’erreur ici est trop faible pour être dûe au schéma, c’est
une erreur dûe à la représentation en mémoire des nombres qui implique un
arrondi des valeurs. L’erreur est ici tellement fabile qu’elle est négligeable.
Le schéma est donc bien convergent si l’on diminue le pas de temps. Malheureusement, pour obtenir une bonne précision il faut réaliser énormément de
pas de temps. Pour diminuer cela, on peut utiliser un pas de temps variable
qui s’adapte aux conditions et évolue au cours du temps.
2.5
Pas de temps adaptatif
Pour utiliser un schéma adaptatif, il faut fixer une précision, c’est-à-dire
une valeur maximale qui ne doit pas être dépassée en faisant un pas plutôt que
3 ASTÉROÏDE AU POINT DE LAGRANGE
8
Fig. 8 – Distance maximale entre le centre de masse et l’origine en fonction
du pas de temps
deux. Il en résulte que le schéma est beaucoup plus rapide que si l’on choisit
un pas de temps fixe. Toute la difficulté réside dans le choix de la précison.
On essaye ici d’avoir une précision sur la distance maximale de l’ordre de
−dM axCalcule
|≤ 10−4 . En choisissant un
0.01%, c’est-à-dire un rapport | dmax
dM axCalcule
temps final de 109 s,(soit environ 30 ans), on obtient une précision nécessaire
d’environ 2500 m pour obtenir un rapport plus faible que 0.01%. En utilisant
cette précision, il faut un peu plus de 1600 pas pour arriver au temps final.
Alors que si l’on choisit un pas de temps fixe avec la même précision sur le
rapport des distances maximale, il faut prendre un pas de temps de 100 000 s.
Il faut alors 1000 000 pas pour atteindre le temps final. Il faut donc 60 fois
moins d’opérations pour un résultat avec une précsion comparable. C’est ce
schéma avec le pas de temps adaptatif qui sera utilisé dans la suite de ce
travail.
3
Astéroı̈de au point de Lagrange
Dans un système constitué de 2 corps, il existe un ensemble de points,
appelés points de Lagrange, où la force d’attraction des 2 corps est égale et
opposée. Ainsi, un corps de petite masse par rapport aux 2 autres sera en
équilibre (instable) à ce point. Pour un système de 2 corps, il existe exactement 5 points de Lagrange, 3 situés sur l’axe reliant les 2 corps et 2 autres
3 ASTÉROÏDE AU POINT DE LAGRANGE
9
situés au sommets des 2 triangles équilatéraux dont les autres sommets sont
sur les 2 corps. Ce sont ces deux derniers points qui vont nous intéresser dans
la suite.
3.1
Conditions initiales
On fait l’hypothèse simplificatrice que la trajectoire de la lune et de la
terre sont des cercles parfaits. On peut ainsi utiliser la distance terre-lune
d = 384399 km comme constante. En utilisant la relation 2 et le fait que
x1 + x2 = 384399, on obtient les valeurs suivantes pour les positions initiales
de la terre et de la lune :
Nom
Position
Position
Position
Position
Symbole
initiale de la terre xx1 (0)
initiale de la terre xy1 (0)
initiale de la lune xx2 (0)
initiale de la lune xy2 (0)
Valeur
−4.671 · 106 m
0m
3.797 · 108 m
0m
Fig. 9 – Positions initiales
Comme l’on considère que le mouvement est circulaire, on a une accélération
v2
centripète pour la lune donnée par a = x22 . La force qui cause cette accélération
est évidemment la force gravaitationelle dûe à l’autre planète. On a ainsi par
la deuxième loi de Newton, la relation suivante :
r
m1 m2
Gm1 x2
v22
G 2 = m2
⇒
v2 =
(7)
d
x2
d2
On a ainsi en utilisant la relation 4, les vitesses initiales du système :
Nom
Position
Position
Position
Position
Symbole
initiale de la terre v1x (0)
initiale de la terre v1y (0)
initiale de la lune v2x (0)
initiale de la lune v2y (0)
Valeur
−12.45 m/s
0 m/s
1012 m/s
0 m/s
Fig. 10 – Vitesses initiales
Le problème à 2 corps est ainsi entièrement déterminé. Si l’on réalise une
simulation avec ces valeurs et un pas de temps adaptatif avec une précision
d’environ 2500 m , on obtient le graphique 11.
3 ASTÉROÏDE AU POINT DE LAGRANGE
10
Fig. 11 – Système terre-lune
3.2
Conditions initiales de l’astéroı̈de
L’astéroı̈de est placé au sommet d’un triangle équilatéral, comme le montre
la figure 12.
Sa vitesse initiale est donnée par la relation v~3 (0) = Ωre~θ où Ω est
la vitesse angulaire du système terre-lune. En effectuant quelques calculs
géométriques et trigonométriques, on obtient les conditions initiales suivantes :
Nom
Position initiale de l’astéroı̈de
Position initiale de l’astéroı̈de
Vitesse initiale de l’astéroı̈de
Vitesse initiale de l’astéroı̈de
Symbole
xx3 (0)
xy3 (0)
v3x (0)
v3y (0)
Valeur
1.875 · 108 m
3.329 · 108 m
−887.1 m/s
499.7 m/s
Fig. 13 – Conditions initiales de l’astéroı̈de
3 ASTÉROÏDE AU POINT DE LAGRANGE
11
Fig. 12 – Position de l’astéroı̈de
Si l’on initialise l’astéroı̈de avec les conditions calculées ci-dessus, on obtient la trajectoire représentée sur le graphique 14. On a ici un temps final
de 109 s, soit 30 ans et une précision de 2500 m.
Fig. 14 – Trajectoire de l’astéroı̈de
L’astéroı̈de semble tourner avec les deux autres corps 2 . Cependant pour
obteni une meilleure représentation, il vaut mieux se placer dans un référentiel
tournant. En se plaçant dans ce référentiel, on obtient les trajectoire dessinées
sur le graphique 15.
2
On pourrait penser que les trajectoires ne sont plus circulaires. Cependant, si l’on
regarde les échelles des graphes, on a bien des demi-axes égaux. Ce sont donc des cercles
3 ASTÉROÏDE AU POINT DE LAGRANGE
12
Fig. 15 – Trajectoire de l’astéroı̈de dans un référentiel tournant
Qualitativement, on voit que l’astéroı̈de ne se déplace pas ou peu. Pour
corroborer ce résultat, on peut représenter la distance entre la terre et l’astéroı̈de
ainsi que entre la lune et l’astéroı̈de en fonction du temps, comme le montre
la figure 16.
La distance semble en moyenne être constante. Elle diminue un peu avec
le temps, mais cela est dû à la précision numérique de l’ordinateur. On peut
donc conclure que le point de Lagrange est effectivement un point d’équilibre.
Il reste alors à savoir si ce point est stable ou instable.
3.3
Perturbation des conditions initiales
Une manière de perturber les conditions initiales est de multiplier la vitesse par = 1 + 0.02. En prenant les mêmes conditions que précédemment
mais avec temps final de 108 s, soit 3 ans. La trajectoire obtenue est représentée
sur le graphique 17.
On voit très nettement que la trajectoire n’est plus rǵulière. Si l’on se
place dans le référentiel en rotation avec le système terre-lune, on confirme
cette impression, comme le montre la figure 18.
La trajectoire emvle même diverger. Pour esayer d’observer cela, il suffit
de laisser tourner la simulation plus longtemps. Par exemple 109 s, soit 30
ans. Le résultat est présenté sur la figure 19.
3 ASTÉROÏDE AU POINT DE LAGRANGE
13
Fig. 16 – Distance entre l’astéroı̈de et les 2 corps
Fig. 17 – Trajectoire de l’astéroı̈de
On voit clairement que l’astéroı̈de est ejecté hors du système terre-lune.
Une légère variation (2%) des conditions initiales a conduit à un résultat
3 ASTÉROÏDE AU POINT DE LAGRANGE
14
Fig. 18 – Trajectoire de l’astéroı̈de dans le référentiel en rotation
Fig. 19 – Trajectoire de l’astéroı̈de éjecté
complètement différent sur seulement 30 ans. On peut donc conclure sans
ambiguı̈té que ce point de Lagrange est un point déquilibre instable.
4 CONCLUSION
4
15
Conclusion
Ces simulations ont permi d’observer le phénomène intéressant qu’est
le point de Lagrange d’un système double. Ces résultats n’auraient pas pû
être obtenus par l’analyse, ce qui rend ce travail d’autant plus intéressant.
Ce travail nous a aussi permi de découvrir un domaine en évolution de la
physique puisque les équipotentielles gravitationelles intéressent beaucoup les
agences spatiales dans le but déconomiser de l’énergie lors des vols spatiaux.
Il faudrait cependant améliorer le modèle et la précision des calculs pour
obtenir une simulation réaliste d’un tel système.