Gravitation `a N corps

Gravitation `a N corps
Matthieu Schaller
matthieu.schaller@epfl.ch
2 d´ecembre 2007
Table des mati`eres
1 Introduction 2
2 Syst`eme double 2
2.1 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Orbitedescorps.......................... 3
2.3 Simulation du syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Convergence du sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Pas de temps adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Ast´ero¨ıde au point de Lagrange 8
3.1 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Conditions initiales de l’ast´ero¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Perturbation des conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Conclusion 15
1

1 INTRODUCTION 2
1 Introduction
Lorsqu’on d´ebute en physique, on commence le plus souvent par l’´etude
de la m´ecanique. On apprend vite les lois de Newton ainsi que la loi de la
gravitation que l’on applique aux probl`emes de corps c´elestes en rotation.
Par exemple le syst`eme terre-lune ou terre-soleil. Ce probl`eme en apparence
tr`es simple est pourtant bien plus difficile qu’il n’y paraˆıt. En effet, si l’on
consid`ere un syst`eme `a 3 corps, il n’y a plus de solution analytique aux
´equations du mouvement. Il est alors impossible de pr´evoir la trajectoire
des corps par l’analyse. Il est donc impossible de pr´evoir l’´evolution exacte
du syst`eme solaire puisqu’il faut tenir compte de 10 corps (au moins) pour
obtenir les ´equations du mouvement.
Pour tenter de comprendre la trajectoire d’un tel mouvement, il faut utiliser
une simulation num´erique. C’est ce que nous allons faire dans cette ´etude.
Dans un premier temps, nous allons analyser un syst`eme double afin de
v´erifier la validit´e du sch´ema en comparant les r´esultats obtenus avec ceux
que l’on obtient par l’analyse. Dans un deuxi`eme temps, nous allons observer
l’´evolution d’un ast´ero¨ıde plac´e `a un des points de Lagrange du syst`eme
terre-lune.
2 Syst`eme double
On consid`ere un syst`eme constitu´e de deux plan`etes de masse m1 et m2
qui interagissent uniquement gravitationellement.
2.1 Conditions initiales
Le choix d’un bon r´ef´erentiel pour ce probl`eme est primordial. On sait
que le centre de masse du syst`eme n’est pas acc´el´er´e puisqu’il ne subit aucune
force externe ; il est donc en translation rectiligne `a vitesse constante. On peut
donc choisir un r´ef´erentiel li´e au centre de masse sans avoir de probl`eme. Ce
sera un r´ef´erentiel d’inertie.
On suppose connue la position et la vitesse initiale du premier corps : ~x1(0)
respectivement ~v1(0). Dans ces conditions, il faut calculer la position et la
vitesse initiale du 2`eme corps de telle sorte que leur trajectoire soit une ellipse
(dans le r´ef´erentiel du centre de masse). Cette situation est repr´esent´ee sur
l’image 1.
La position du centre de masse du syst`eme est donn´ee par :
Pimi~xi
Pimi
=m1~x1+m2~x2
m1+m2
=~xG(1)

2 SYST ` EME DOUBLE 3
Fig. 1 – Le syst`eme dans le r´ef´erentiel du centre de masse
Comme dans le r´ef´erentiel que nous utilisons, nous avons ~xG=~ 0, on tire de
la relation pr´ec´edente :
~x2=−m1
m2
~x1(2)
De mˆeme si on cherche `a calculer la quantit´e de mouvement du centre de
masse, on obtient la relation :
Pimi~vi
Pimi
=m1~v1+m2~v2
m1+m2
=~vG(3)
Et comme on se trouve dans un r´ef´rentiel li´e au centre de masse, on a ~vG=~ 0,
ce qui nous donne une relation pour les vitesses :
~v2=−m1
m2
~v1(4)
Les relations 2 et 4 permettent ainsi le calcul des conditions initiales du
deuxi`eme corps.
2.2 Orbite des corps
Pour caract´eriser pleinement une ellipse, il faut connaˆıtre par exemple
son grand axe et un de ses foyers. Dans le cas qui nous int´eresse, la position
du foyer est connue puisqu’il sagit du centre de masse du syst`eme.(1 ˜ A¨re
loi de Kepler). Il ne nous reste plus qu’`a calculer le grand-axe pour pouvoir
connaˆıtre pr´ecis´ement la trajectoire des corps.
En utilisant le fait que l’´eergie m´ecanique totale du syst`eme est conserv´ee
ainsi que les moments cin´etiques de chaqu’une des deux plan`etes, on obtient
les relations suivantes :
v1max =G2m2
1 + m1
m22
x1(0)v10
+v1(0) (5)

2 SYST ` EME DOUBLE 4
o`u Gest la constante de la gravitation universelle. On obtient ´egalement la
position «maximale », c’est-`a-dire la plus grande distance entre le centre de
masse et la plan`ete.
x1max =x1(0)v1(0)
v1max
(6)
2.3 Simulation du syst`eme
Pour tester la validit´e du sch´ema num´erique, nous allons essayer d’obtenir
une trajectoire correspondant aux calculs faits dans la section pr´ec´edente. Les
conditions initiales propos´ees sont r´esum´ees dans le tableau 2.3
Nom Symbole Valeur
Masse de la terre m15.9736 ·1024 kg
Masse de la lune m21.9912 ·1024 kg
Position initiale de la terre xx
1(0) −108m
Position initiale de la terre xy
1(0) 0 m
Vitesse initiale de la terre vx
1(0) 0 m/s
Vitesse initiale de la terre vy
1(0) −390 m/s
Fig. 2 – Conditions initiales
En utilisant les relations calcul´ees plus haut ainsi que la d´efinition de
l’´energie m´ecanique, on trouve les valeurs repr´esent´ees dans le tableau 2.3.
Nom Symbole Valeur
Position initiale de la lune xx
2(0) 3 ·108m
Position initiale de la lune xy
2(0) 0 m
Vitesse initiale de la lune vx
2(0) 0 m/s
Vitesse initiale de la lune vy
2(0) 1170 m/s
En´ergie m´ecanique totale Emec −1.6626 ·1029 J
Distance maximale entre les 2 corps dmax 4.3719 ·109m
Fig. 3 – Conditions initiales calcul´ees
Pour tester le sch´ema, nous allons utiliser les conditions initiales calcul´ees
et essayer d’obtenir les valeurs exactes de la distance maximale et de l’´energie
m´ecanique. Comme nous utilisons un algorithme de Runge-Kutta d’ordre 4,
nous devrions obtenir une convergence en ∆t4pour ces 2 valeurs.
En r´ealisant une premi`ere simulation avec un pas de temps fixe de 1000000 s
(environ 1.1 jours) et un temps final de 108s(environ 3 ans), on obtient la
figure 4.

2 SYST ` EME DOUBLE 5
Fig. 4 – Evolution du syst`eme sur 3 ans avec un pas de temps d’environ 1
jour
On observe que la trajectoire des deux plan`etes est bien elliptique 1. Le
centre de gravit´e (en rose sur la figure) ne se d´eplace pas, comme pr´evu.
Cependant si l’on refait la mˆeme simulation avec un temps final plus long,
par exemple 109s(soit environ 30 ans), on obtient le graphique 5
On constate que l’orbite r´etr´ecit avec le temps, ce qui ne correspond pas
du tout `a la r´ealit´e physique. Ce sch´ema n’est donc correct que pour certains
pas de temps assez petit. Il est donc int´eressant de savoir si le sch´ema converge
correctement si l’on diminue le pas de temps.
2.4 Convergence du sch´ema
La premi`ere grandeur que l’on peut tester est l’´energie m´ecanique du
syst`eme. En effet, elle doit ˆetre parfaitement conserv´ee tout au long de
l’´evolution du syst`eme. Si l’on choisit de repr´esenter la diff´erence entre l’´energie
m´ecanique calcul´ee plus haut et la valeur obtenue par le sch´ema au temps
final tfinal = 3 ·108sen fonction du pas de temps, on obtient le graphique 6.
On constate d’une part que l’´energie converge vers la valeur analytique
si le pas de temps diminue. On peut mˆeme constater que la convergence est
1Les unit´es du graphique sont en m`etres sur les 2 axes. Ce sera la mˆeme chose dans le
reste du document sauf indication contraire. Ceci pour ´eviter une certaine lourdeur, car
c’est principalement le r´esultat qualitatif qui nous int´eresse pour ces repr´esentations de
trajectoires