Sujet 3 \(magnétostatique\)

Université Montpellier II
L2S3 FLPH312
2012-2013
Sujet 3 (Magnétostatique)
A. Préliminaire
1. Loi de Biot et Savart et symétries
r
1.1.Donner l’expression du champ magnétique B créé dans le vide par une répartition donnée de
courants stationnaires. Envisager trois types de schématisation des courants : volumique,
surfacique, linéique.
1.2.Si la répartition des courants admet un plan de symétrie (Π), quel rôle joue (Π) pour le champ
magnétique ? (si P’ est le symétrique de P, le courant en P’ est le symétrique du courant en P par
rapport au plan Π).
1.3.Même question dans le cas où la répartition des courants admet un plan de symétrie négative (si
P’ est le symétrique de P, le courant en P’ est l’opposé du symétrique du courant en P par
rapport au plan Π).
r
2. Flux de B et potentiel vecteur
2.1.Définir le flux magnétique à travers un contour fermé orienté. Faire un schéma et rappeler les
conventions d’orientation utilisées. Pour quelles raisons dit-on que le champ magnétique est à
flux conservatif ? Cette propriété reste-t-elle valable lorsqu’on est en régime non stationnaire ?
r r
r
2.2.L’équation locale qui traduit la propriété « B est à flux conservatif »s’écrit : divB = 0 . Définir
r
le potentiel vecteur A . Le potentiel vecteur est-il déterminé de façon unique ?
r
3. Circulation de B et théorème d’Ampère
3.1. Donner l’expression de la circulation du champ magnétostatique le long d’un contour fermé
orienté.
3.2. Enoncer le théorème d’Ampère. Faire un schéma et rappeler les conventions d’orientation
utilisées. Ce théorème reste-t-il valable lorsqu’on est en régime non stationnaire ?
3.3. En déduire la relation locale du théorème d’Ampère qui relie le champ magnétique à sa source.
r
3.4. Ecrire l’analogue de l’équation de Poisson pour le potentiel vecteur A . En déduire l’expression
du potentiel vecteur créé dans le vide par une répartition donnée de courants stationnaires.
4. Application : Champ magnétique créé par un cylindre infini :
On considère un conducteur cylindrique de rayon a , de longueur infinie. On utilisera la base
r r r
cylindrique ( e ρ , eθ , e z ) et l’axe de symétrie du conducteur sera noté (Oz). Ce cylindre est parcouru
r
par un vecteur densité de courant volumique j orienté dans le sens des z croissants, uniformément
réparti sur toute la section du fil. On notera I l’intensité totale du courant qui parcourt le fil.
r
4.1.Donner l’expression de j en fonction de a et de I .
r
4.2.Déterminer le champ magnétique B (M ) en un point M ( ρ , θ , z ) de l’espace. Distinguer les deux
cas ρ ≤ a et ρ ≥ a .
r
r
r
4.3.Déterminer le potentiel vecteur A( M ) dans les deux cas cités ci-dessus (on posera A(O) = A0 ).
4.4.Tracer l’allure du champ magnétique en fonction de ρ .
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B. Interactions magnétiques
1. Introduction :
r
r r
On admet le résultat qui suit : en partant de la force de Lorentz f = qv ∧ B (M ) subie par une
r
r
particule de charge q , de vitesse v , placée en M où existe le champ magnétique B ( M ) , on peut
aboutir à la loi suivante : une portion de courant rectiligne M 1 M 2 parcourue par un courant
r
d’intensité I mesurée avec le sens « M1 vers M2 », placée dans un champ magnétique uniforme B ,
r
r
est soumise à la force F = I M 1 M 2 ∧ B , appliquée en son milieu Q. Quel est le nom donné à cette
force ?
2. Spire plane dans un champ magnétique uniforme :
Une spire rigide, carrée, de côté a , d’aire S , est parcourue par un courant d’intensité I imposé par
r
r
r
r
un générateur. On définit son moment magnétique M = ISn = Mn , où n est un vecteur unitaire,
orthogonal au plan de la spire, orienté par le courant. La spire de centre P, mobile sans frottement
r
autour de l’axe ∆=Pz, est placée dans un magnétique uniforme B , de module B , ayant la direction
et le sens de l’axe Px. Sa position est repérée par l’angle θ (figure ci-dessous).
r
r
2.1.On note F1 et F3 les forces subies respectivement par les côtés perpendiculaires à Pz de
r
r
milieux P1 et P3, F2 et F4 les forces subies respectivement par les côtés parallèles à Pz de
milieux P2 et P4. Déterminer la somme des forces exercée sur la spire.
2.2 Montrer que ces forces constituent un couple dont on exprimera le moment, par rapport à l’axe
∆, en fonction de M , B , et θ .
2.3.Montrer que l’énergie potentielle de cette spire dans la position repérée par θ , peut être écrite
r r
Ep = − M ⋅ B .
2.4.Quelle est la position d’équilibre stable de la spire dans le champ ? Justifier.
z
A2
A1
I
Vue de dessus
A1
P1
P
I
P2
r
B
P4
P
y
I
I
y
A2
r
B
Ө
r
n
Ө
r
n
x
P3
A3
x
I
A4
+
+