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UN ALGORITHME DE FACTORISATION DES ENTIERS
On sait que tout nombre entier naturel s’´
ecrit de fac¸on unique comme produit de nombres
premiers. Ce th´
eor`
eme est effectif. On connaˆ
ıt de nombreux algorithmes, plus ou moins efficaces,
pour factoriser un entier naturel en produit de facteurs premiers. Aucun n’est polynomial. La
difficult´
e de factoriser des entiers garantit la s´
ecurit´
e de plusieurs protocoles cryptographiques.
Il est donc utile de connaˆ
ıtre les algorithmes les plus performants pour factoriser des entiers.
1. LE PARADOXE DES ANNIVERSAIRES
On suppose qu’il y a 40 ´
etudiants dans un groupe de TD. La probabilit´
e que deux d’entre eux
fˆ
etent leur anniversaire le mˆ
eme jour de l’ann´
ee est (on suppose que personne n’est n´
e un 29
f´
evrier)
1−(1 −1
365)(1 −2
365)···(1 −39
365)≥0.89
Il y a donc une forte probabilit´
e que deux ´
etudiants fˆ
etent leur anniversaire le mˆ
eme jour. Et
pourtant 40 est tr`
es ´
eloign´
e de 365 ...
On va donner une explication.
Supposons que l’on dispose d’une urne contenant pboules num´
erot´
ees de 1`
ap. On proc`
ede
`
an≥2tirages avec remise. On estime la probabilit´
eP(p, n)d’avoir tir´
enboules deux `
a deux
distinctes :
P(p, n) = Y
1≤i≤n−11−i
p≤Y
1≤i≤n−1
exp(−i
p) = exp(−n(n−1)
2p)≤exp(−(n−1)2
2p)
Donc si nest plus grand que 1+√pla probabilit´
e de tirer deux fois la mˆ
eme boule est minor´
ee
par la constante 1−exp(−1/2) >0.39.
Il suffit donc que le nombre de tirages soit proportionnel `
a la racine carr´
ee du nombre de boules
pour avoir une probabilit´
e significative de tirer deux fois la mˆ
eme boule.
2. APPLICATION AL ´
EATOIRE D’UN ENSEMBLE FINI DANS LUI M ˆ
EME
Soit Fun ensemble fini `
ap´
el´
ements. Soit A(F)l’ensemble des applications de Fdans F. On
munit A(F)de la mesure uniforme. On fixe un ´
el´
ement Ode F.
`
A toute application f:F→Fon associe la suite x0=O,xi+1 =f(xi)obtenue par it´
eration
de f. Cette suite est ultimement p´
eriodique. Cela signifie qu’elle est p´
eriodique `
a partir d’un
certain rang. On note πfla p´
eriode et µfla pr´
ep´
eriode. Donc πfest le plus petit entier positif
tel que pour tout iassez grand on ait xi+πf=xi. Et µfest le plus petit entier tel que pour tout
i≥µfon ait xi+πf=xi.
La somme ρf=µf+πfest une variable al´
eatoire sur A(F). La probabilit´
e de l’´
ev´
enement
ρf≥nest P(p, n). L’esp´
erance (c’est-`
a-dire la moyenne) E(ρf)v´
erifie
1