D. Herlemont Mesure de Risque de Marché 1. Quelle est l

D. Herlemont
Mesure de Risque de Marché
TD 1
1.
Quelle est l’interprétation d’une ”Value-at-Risk” à 95% quotidienne de 10 millions d’euros:
a) perdre au plus 10 millions d’euros, 5 jours sur 100
b) perdre au moins 10 millions d’euros, 1 jour sur 100
c) perdre au moins 10 millions d’euros, 1 jour par mois
d) perdre au plus 10 millions d’euros, 1 jour sur 100
Justifier la réponse en rappelant la définition de la VaR.
Corrigé: Réponse C
résulte de la définition même de la VaR: P (P &L(t) ≤ V aR) = 0.05
2. Comment sont justifiés les choix des deux paramètres de la VaR, à savoir le niveau de confiance
α = 99% ainsi que la durée T de 10 jours.
Corrigé: Réponse:
ˆ Le niveau de confiance à 99% est un compromis entre l’estimation des pertes extrêmes et
la capacité à effectuer des backtests significatifs sur un an, le nomrbe d’excpetions doit être
suffisamment grand pour pouvoir accepter ou rejeté l’hypothèse nulle d’une VaR à 99% avec 250 jours et une VaR à 99%, on s’attend entre 2 à 3 exceptions en moyenne.
ˆ L’horizon de temps est la durée sur laquelle on estime le risque, le comité de BALE a retenu
la durée de 10 jours comme la durée nécessaire pour corriger une position en cas de problème
(les actifs étant supposé suffisamment liquides).
3. Pour convertir une Value-at-Risk journalière en Value-at-Risk sur une semaine (5 jours), on
doit généralement multiplier par
a) 2.33
b) 1.65
c) 2.24
d) 5
Justifier la réponse.
Corrigé: Réponse C On doit multiplier par la racine carrée du temps:
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4. On suppose que les P&L journaliers d’un portefeuille sont iid, normalement distribués et
de moyenne nulle. Par quel facteur doit on multiplier la volatilité journalière (définie en jour
calendaire) pour obtenir la Value-at-Risk à 95% sur 10 jours de trading:
a) 10
b) 5.2
c) 6.29
d) 7.37
Justifier la réponse.
Corrigé: Réponse C
A partir de la vol journalière en jour calendaire, la volatilité sur 10 jours de trading est
p
σ(10 jours trading) = 10 ∗ 365/251σ(1 jour calendaire)
(1)
Il faut ensuite mutlilplier par le quantile à 95% d’une loi normale, soit 1.65
p
6.29 = 1.65 ∗ 10 ∗ 365/251
(2)
5. La VaR journalière d’un portefeuille est de 1 million d’euros En supposant que le marché
possède une tendance avec une auto-corrélation négative de -0.1. Quelle est la VaR sur 2 jours ?
a) 2 millions d’euros
b) 1.414 millions d’euros
c) 1.483 millions d’euros
d) 1.342 millions d’euros
Justifier la réponse.
Corrigé: Solution:
réponse D, la variance sur deux jours est
σ22 = 2 ∗ σ12 + 2ρσ12
Idem pour la VaR, la VaR étant proportionnelle à la volatilité dans le modèle gaussien:
p
√
V aR2 = V aR1 2 + 2ρ = 1 × 2 − 2 ∗ 0.1 = 1.342
6.
La Value-at-Risk doit être complétée par des études de ”Stress Testing”, car:
a) la VaR ne permet pas d’estimer les pertes au delà d’un certain niveau de confiance
b) Le Stress Testing permet une meilleure estimation des pertes maximales
c) la VaR n’est correcte que 95% du temps
d) Les scénarios de Stress Testing incluent des évènements plus probables.
Justifier la réponse.
Corrigé: Solution:
réponse A, cf. cours.
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7. On suppose que la distribution des rendements est de moyenne nulle et de variance σ 2 finie.
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer le ratio entre la VaR pessimiste à 99%
et la VaR gaussienne à 99% (attention, on ne fait d’hypothese sur la symétrie de la distribution):
a) 7.07
b) 3.03
c) 4.3
d) 1.75
Justifier la réponse (en détaillant les calculs).
Qu’en est il dans le cas d’une distribution symétrique ?
Rappel: l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev peut se démontrer en remarquant que
(x − µ)2 ≥ a2 I|X−µ|≥a
En prenant l’espérance, on en déduit que
σ 2 ≥ a2 P (|X − µ| ≥ a)
Il suffit ensuite de prendre a = kσ On voit que cette inégalité est assez grossière car elle revient à
négliger le centre de la distribution et considérer que la queue de la distribution est constante.
De manière plus générale, il s’agit de l’inégalité de markov Pour toute variable aléatoire Z
positive et a > 0
P (Z ≥ a) ≤ E[Z]/a
qui se généralise à une fonction φ croissante
P (φ(Z) ≥ a) ≤ E[φ(Z)]/a
Bienaymé Tchebychev peut s’en déduire en considérant φ(x) = (x − µ)2 Pour φ(x) = [x − µ| on
obtient l’inégalité de Markov. Plus generalement
|X − µ|
I|X−µ|> ≤
Corrigé: Solution:
On peut déterminer une limite de la VaR, en utilisant l’inégalité de Tchebychev, pourvu que
σ 2 < +∞
1
P [|X − µ| ≥ kσ] ≤ 2
k
P [|X − µ| ≥ kσ] = P [X − µ ≤ −kσ] + P [X − µ ≥ kσ]
Ici µ = 0. En outre, si la distribution n’est pas symétrique, on pourra déterminer une borne
de la VaR avec
1
P [X ≤ −kσ] ≤ 2
k
Il suffit alors de choisir tel que 1/k 2 = 1 − α.
Avec α = 99%, on obtient k = 10, d’ou la borne de la VaR à 99% est 10σ, à comparer avec la
VaR gaussienne qui est à −2.33σ, d’oùu la réponse C.
Si la distribution est symétrique , on peut affiner la borne en remarquant que P [X − µ ≤
−kσ] = P [X − µ ≥ kσ], donc
1
P [X ≤ −kσ] ≤ 2
2k
p
Dans ce cas on choisera k tel que 1/2k 2 = 1 − α, donc k = 1/2(1 − α) Dans le cas d’une
VaR à 99%, on obtient k = 7.07, le ratio entre la VaR maximale et la VaR gaussienne sera
7.07/2.33 = 3.03.
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8. On considère deux actifs (obligations ou options digitales par exemple) indépendants A et B
dont la valeur est de V = 100 C. La valeur future de ces actifs est V = 0 avec une probabilité
V = 3% ou V = 110 Cavec probabilité de V = 97%.
ˆ Quelle est la Valeur à Risque à 95% d’un portefeuille investi dans un seul actif.
ˆ On considère un portefeuille composé des deux actifs A et B, construire la loi jointe des P&L
de A et B, en déduire la fonction de répartition des P&L du portefeuille.
ˆ Quelle est la Valeur à Risque à 95% du portefeuille.
ˆ A t on intérêt a fusionner ces deux actifs dans un même portefeuille ? sur la base de la VaR
? en général ?
ˆ Commentaires, comparer avec la VaR de deux actifs gaussiens.
Corrigé: Réponse
La fonction de répartition des P&L d’un actif est

−10 ≤ x
 1
0.03 100 ≤ x < −10
F (x) =

0
x < 100
(3)
la VaR à 95% d’un actif est V aR = −inf (x; F (x) ≥ 0.05) = − − 10. Alors que la VaR à 99%
−inf (x; F (x) ≥ 0.01) = −100 Soit p = 0.97, P rob(X = 20) = p2 = 0.94, P rob(X = −90) =
2p(1 − p) = 5.82% et P rob(X = −200) = (1 − p)2 = 0.09%
la fonction de répartition du P&L du portefeuille est

1
si 20 ≤ x



0.0591
si −90 ≤ x < 20
(4)
F (x; A + B) =
0.0009
si −200 ≤ x < −90



0
si x < −200
la VaR à 95% du portefeuille est V aR = −inf (x; F (x) ≥ 0.05) = 90
Dans ce cas, la VaR ne nous encouragerait pas a diversifier, car le risque 90 apparaı̂t plus élevé
que la somme des risques de A et B (−20 = −10 + −10). Or les actifs A et B sont indépendants, et
dans ce cas, on a toujours intérêt à intégrer les portefeuilles. Il s’agit donc ici d’un exemple qui met
en évidence le défaut de la VaR (ne respecte pas l’axiome de sous additivité). Cette incohérence
n’apparaı̂t pas dans le modèle gaussien, car dans cas, σA+B ≤ σA + σB .
Daniel Herlemont
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