D. Herlemont Mesure de Risque de Marché 1. Quelle est l

D. Herlemont Mesure de Risque de March´e
TD 1
1. Quelle est l’interpr´etation d’une ”Value-at-Risk” `a 95% quotidienne de 10 millions d’euros:
a) perdre au plus 10 millions d’euros, 5 jours sur 100
b) perdre au moins 10 millions d’euros, 1 jour sur 100
c) perdre au moins 10 millions d’euros, 1 jour par mois
d) perdre au plus 10 millions d’euros, 1 jour sur 100
Justifier la r´eponse en rappelant la d´efinition de la VaR.
Corrig´e: R´eponse C
r´esulte de la d´efinition mˆeme de la VaR: P(P&L(t)≤V aR)=0.05
2. Comment sont justifi´es les choix des deux param`etres de la VaR, `a savoir le niveau de confiance
α= 99% ainsi que la dur´ee Tde 10 jours.
Corrig´e: R´eponse:
Le niveau de confiance `a 99% est un compromis entre l’estimation des pertes extrˆemes et
la capacit´e `a effectuer des backtests significatifs sur un an, le nomrbe d’excpetions doit ˆetre
suffisamment grand pour pouvoir accepter ou rejet´e l’hypoth`ese nulle d’une VaR `a 99% -
avec 250 jours et une VaR `a 99%, on s’attend entre 2 `a 3 exceptions en moyenne.
L’horizon de temps est la dur´ee sur laquelle on estime le risque, le comit´e de BALE a retenu
la dur´ee de 10 jours comme la dur´ee n´ecessaire pour corriger une position en cas de probl`eme
(les actifs ´etant suppos´e suffisamment liquides).
3. Pour convertir une Value-at-Risk journali`ere en Value-at-Risk sur une semaine (5 jours), on
doit g´en´eralement multiplier par
a) 2.33
b) 1.65
c) 2.24
d) 5
Justifier la r´eponse.
Corrig´e: R´eponse C On doit multiplier par la racine carr´ee du temps:
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4. On suppose que les P&L journaliers d’un portefeuille sont iid, normalement distribu´es et
de moyenne nulle. Par quel facteur doit on multiplier la volatilit´e journali`ere (d´efinie en jour
calendaire) pour obtenir la Value-at-Risk `a 95% sur 10 jours de trading:
a) 10
b) 5.2
c) 6.29
d) 7.37
Justifier la r´eponse.
Corrig´e: R´eponse C
A partir de la vol journali`ere en jour calendaire, la volatilit´e sur 10 jours de trading est
σ(10 jours trading) = p10 ∗365/251σ(1 jour calendaire) (1)
Il faut ensuite mutlilplier par le quantile `a 95% d’une loi normale, soit 1.65
6.29 = 1.65 ∗p10 ∗365/251 (2)
5. La VaR journali`ere d’un portefeuille est de 1 million d’euros En supposant que le march´e
poss`ede une tendance avec une auto-corr´elation n´egative de -0.1. Quelle est la VaR sur 2 jours ?
a) 2 millions d’euros
b) 1.414 millions d’euros
c) 1.483 millions d’euros
d) 1.342 millions d’euros
Justifier la r´eponse.
Corrig´e: Solution:
r´eponse D, la variance sur deux jours est
σ2
2= 2 ∗σ2 1+ 2ρσ2 1
Idem pour la VaR, la VaR ´etant proportionnelle `a la volatilit´e dans le mod`ele gaussien:
V aR2=V aR1p2+2ρ= 1 ×√2−2∗0.1=1.342
6. La Value-at-Risk doit ˆetre compl´et´ee par des ´etudes de ”Stress Testing”, car:
a) la VaR ne permet pas d’estimer les pertes au del`a d’un certain niveau de confiance
b) Le Stress Testing permet une meilleure estimation des pertes maximales
c) la VaR n’est correcte que 95% du temps
d) Les sc´enarios de Stress Testing incluent des ´ev`enements plus probables.
Justifier la r´eponse.
Corrig´e: Solution:
r´eponse A, cf. cours.
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7. On suppose que la distribution des rendements est de moyenne nulle et de variance σ2finie.
En utilisant l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev, d´eterminer le ratio entre la VaR pessimiste `a 99%
et la VaR gaussienne `a 99% (attention, on ne fait d’hypothese sur la sym´etrie de la distribution):
a) 7.07
b) 3.03
c) 4.3
d) 1.75
Justifier la r´eponse (en d´etaillant les calculs).
Qu’en est il dans le cas d’une distribution sym´etrique ?
Rappel: l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev peut se d´emontrer en remarquant que
(x−µ)2≥a2I|X−µ|≥a
En prenant l’esp´erance, on en d´eduit que
σ2≥a2P(|X−µ| ≥ a)
Il suffit ensuite de prendre a=kσ On voit que cette in´egalit´e est assez grossi`ere car elle revient `a
n´egliger le centre de la distribution et consid´erer que la queue de la distribution est constante.
De mani`ere plus g´en´erale, il s’agit de l’in´egalit´e de markov Pour toute variable al´eatoire Z
positive et a > 0
P(Z≥a)≤E[Z]/a
qui se g´en´eralise `a une fonction φcroissante
P(φ(Z)≥a)≤E[φ(Z)]/a
Bienaym´e Tchebychev peut s’en d´eduire en consid´erant φ(x) = (x−µ)2Pour φ(x) = [x−µ|on
obtient l’in´egalit´e de Markov. Plus generalement
I|X−µ|> ≤|X−µ|
Corrig´e: Solution:
On peut d´eterminer une limite de la VaR, en utilisant l’in´egalit´e de Tchebychev, pourvu que
σ2<+∞P[|X−µ| ≥ kσ]≤1
k2
P[|X−µ| ≥ kσ] = P[X−µ≤ −kσ] + P[X−µ≥kσ]
Ici µ= 0. En outre, si la distribution n’est pas sym´etrique, on pourra d´eterminer une borne
de la VaR avec
P[X≤ −kσ]≤1
k2
Il suffit alors de choisir tel que 1/k2= 1 −α.
Avec α= 99%, on obtient k= 10, d’ou la borne de la VaR `a 99% est 10σ, `a comparer avec la
VaR gaussienne qui est `a −2.33σ, d’o`uu la r´eponse C.
Si la distribution est sym´etrique , on peut affiner la borne en remarquant que P[X−µ≤
−kσ] = P[X−µ≥kσ], donc
P[X≤ −kσ]≤1
2k2
Dans ce cas on choisera ktel que 1/2k2= 1 −α, donc k=p1/2(1 −α) Dans le cas d’une
VaR `a 99%, on obtient k= 7.07, le ratio entre la VaR maximale et la VaR gaussienne sera
7.07/2.33 = 3.03.
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8. On consid`ere deux actifs (obligations ou options digitales par exemple) ind´ependants A et B
dont la valeur est de V= 100 C. La valeur future de ces actifs est V= 0 avec une probabilit´e
V= 3% ou V= 110 Cavec probabilit´e de V= 97%.
Quelle est la Valeur `a Risque `a 95% d’un portefeuille investi dans un seul actif.
On consid`ere un portefeuille compos´e des deux actifs A et B, construire la loi jointe des P&L
de A et B, en d´eduire la fonction de r´epartition des P&L du portefeuille.
Quelle est la Valeur `a Risque `a 95% du portefeuille.
A t on int´erˆet a fusionner ces deux actifs dans un mˆeme portefeuille ? sur la base de la VaR
? en g´en´eral ?
Commentaires, comparer avec la VaR de deux actifs gaussiens.
Corrig´e: R´eponse
La fonction de r´epartition des P&L d’un actif est
F(x) = 
1−10 ≤x
0.03 100 ≤x < −10
0x < 100
(3)
la VaR `a 95% d’un actif est V aR =−inf(x;F(x)≥0.05) = − − 10. Alors que la VaR `a 99%
−inf(x;F(x)≥0.01) = −100 Soit p= 0.97, P rob(X= 20) = p2= 0.94, P rob(X=−90) =
2p(1 −p)=5.82% et P rob(X=−200) = (1 −p)2= 0.09%
la fonction de r´epartition du P&L du portefeuille est
F(x;A+B) = 
1 si 20 ≤x
0.0591 si −90 ≤x < 20
0.0009 si −200 ≤x < −90
0 si x < −200
(4)
la VaR `a 95% du portefeuille est V aR =−inf (x;F(x)≥0.05) = 90
Dans ce cas, la VaR ne nous encouragerait pas a diversifier, car le risque 90 apparaˆıt plus ´elev´e
que la somme des risques de A et B (−20 = −10+−10). Or les actifs A et B sont ind´ependants, et
dans ce cas, on a toujours int´erˆet `a int´egrer les portefeuilles. Il s’agit donc ici d’un exemple qui met
en ´evidence le d´efaut de la VaR (ne respecte pas l’axiome de sous additivit´e). Cette incoh´erence
n’apparaˆıt pas dans le mod`ele gaussien, car dans cas, σA+B≤σA+σB.
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