Magnétostatique Notes de cours - Alain Le Rille

physique
année scolaire 2014/2015
Magnétostatique
Notes
de cours
mardi 20 janvier 2015
I-
Propriétés du champ magnétostatique
1. Courants
Densité volumique de courant
La charge
dq
qui traverse la surface
S
dénition
(non fermée) orientée pendant
électrique), en ampère (A) :
I=
où ~
j
dq
=
dt
dt
donne l'intensité
I
(ou courant
−−→
~j(M ).d2 S
ZZ
M ∈S
est la densité volumique de courant. Si on dispose d'une assemblée de particules numérotées i , de
charge
qi ,
de vitesse
~vi
et de densité volumique
~j =
ni ,
X
ni .qi .~vi
i
remarque
La densité volumique de
en
courant ~
j
est volumique car le courant existe dans un volume
mais ~
j
s'exprime
A · m−2 !
remarque
La densité volumique de courant en un point
est reliée à
~j(M )/R
2
dans le référentiel
R2
M
dépend du référentiel :
~j(M )/R
1
dans le référentiel
R1
par :
~j(M )/R = ~j(M )/R + ρ(M ).~v (M )R /R
2
1
2
1
où
~v (M )R2 /R1
M)
est la vitesse d'entraînement locale (en
de
R2
Densité surfacique de courant
Le courant électrique
I
R1 .
s'y retrouver
qui traverse une courbe
est
dans
C
(dans une direction donnée par le vecteur unitaire
Z
I=
~u)
~jS (M ).~u.d`
M ∈C
où
~jS
en
A · m−1
est la densité surfacique de courant.
Invariances
s'y retrouver
On discerne en particulier les symétries
~j (x, y, z) = ~j (x, y) ;
ρ (r, θ, z) = ρ (r, z) ou ~j (r, θ, z) = ~j (r, z) ;
•
plane :
•
cylindrique :
•
circulaire :
ρ (r, θ, z) = ρ (r) ;
•
sphérique :
ρ (r, θ, ϕ) = ρ (r)
spé PC
ρ (x, y, z) = ρ (x, y)
ou
ou
~j (r, θ, ϕ) = ~j (r).
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◦
1
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physique
année scolaire 2014/2015
Plans de symétrie et d'antisymétrie pour les courants
s'y retrouver
Pour la distribution de courant,

 jx (x, y, −z) = +jx (x, y, z)
jy (x, y, −z) = +jy (x, y, z)
(xOy) est plan de symétrie ⇔

jz (x, y, −z) = −jz (x, y, z)

 jx (x, y, −z) = −jx (x, y, z)
jy (x, y, −z) = −jy (x, y, z)
(xOy) est plan d'antisymétrie ⇔

jz (x, y, −z) = +jz (x, y, z)
Exemple de plans de symétrie et d'antisymétrie pour une distribution de
courants.
schéma
La gure 1 représente un exemple de plan de symétrie (à gauche) et d'antisymétrie (à droite).
Figure 1 Exemple de plans de symétrie et d'antisymétrie pour une distribution de courants.
1 Symétries d'une distribution cylindrique
.
exercice
Rechercher les symétries (invariances, plans de symétrie et d'antisymétrie) d'une distribution cylin-
drique innie d'axe
(Oz),
de rayon
R
de courants (~
j//~uz , uniforme dans le cylindre).
2. Flux du champ magnétique
Équation de Maxwell ux
dénition
Maxwell ux :
~ =0
div B
2 Flux du champ magnétique
exercice
Montrer que le ux du champ magnétique se conserve le long d'un tube de champ
ZZ
~ =
φ1 B
ZZ
~
~ =
B(M
).d~2 S 1 = φ2 B
M ∈S1
où
S1
et
S2
~
B(M
).d~2 S 2
M ∈S2
sont deux surfaces (non fermées) qui s'appuient sur le même tube de champ
~
B
et qui sont
orientées dans le même sens.
spé PC
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2
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3. Circulation du champ magnétique
Équation de Maxwell Ampère
n
dénition
Maxwell Ampère :
avec la perméabilité du vide :
~
−→ ~
rot B = µ0 .~j + µ0 .ε0 . ∂∂tE
µ0 = 4π × 10−7 H · m−1 .
3 Théorème d'Ampère
soient un contour fermé orienté
théorème
C , et S , une surface qui s'appuie sur C
I
~ = µ0 . (I)
~
B(M
).d`
et qui est orientée par
C . Alors :
M ∈C
où
I=
RR
M ∈S
−−→
~j(M ).d2 S
en régime permanent.
Interprétation de l'expression de Maxwell-Ampère
La gure 2 représente le champ
~
B
schéma
tourne autour des courants (suivant la règle de la main droite).
Figure 2 Interprétation de l'expression de Maxwell-Ampère
Expérience d'Oersted
vidéo
L'expérience d'Oersted met en évidence la création d'un champ magnétique par le passage d'un courant
dans un conducteur.
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
spé PC
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3
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4. Détermination de champ magnétique
Utilisation des symétries
s'y retrouver
le principe de Curie énonce que les symétries des causes se retrouvent parmi les symétries des conséquences.
On déduit du principe de Curie que le champ conséquence a (au moins) les symétries de la distribution
cause.
Les pseudo vecteurs (comme
d'antisymétrie
Π
∗
~)
B
sont orthogonaux aux plans de symétrie
Π,
et appartiennent aux plans
des causes.
4 Eets de symétries d'une distribution cylindrique de courant
.
(Oz),
On s'intéresse à une distribution cylindrique innie d'axe
de rayon
R
exercice
de courants (~
j//~uz ,
uniforme dans le cylindre), seule cause du champ magnétique. Déterminer les symétries de
des symétries de
~
B
à partir
~j .
Visualisation des lignes de champ magnétique
vidéo
On peut mettre en évidence les lignes de champ magnétique grâce à de la limaille de fer.
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
5. Exemples de champs magnétostatiques
Fil rectiligne inni
schéma
La gure 3 représente un l rectiligne inni et le champ magnétique généré.
Figure 3 Fil rectiligne inni
5 Champ magnétique créé par un l rectiligne inni
Un l rectiligne, inni, cylindrique d'axe
façon homogène)
B
(Oz)
et de rayon
R,
exercice
est parcouru par un courant (réparti de
I.
Déterminer le champ magnétique créé partout dans l'espace.
Solénoïde circulaire.
schéma
La gure 4 représente un solénoïde circulaire et le champ magnétique généré.
6 Champ magnétique créé dans un solénoïde
B
exercice
Déterminer le champ magnétique en un point quelconque à l'intérieur d'un solénoïde inni, en ad-
mettant que le champ magnétique est nul à l'extérieur.
spé PC
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4
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Figure 4 Solénoïde circulaire.
II-
Dipôles magnétostatiques
1. Moment dipolaire magnétique
Moment dipolaire magnétique d'une boucle de courant
Un contour fermé orienté
C,
parcouru par un courant
I
dénition
(boucle de courant) présente un moment
dipolaire magnétique
~
m
~ = I.S
où
S
est une surface qui s'appuie sur
C
et qui est orientée par
C.
Sources microscopiques du magnétisme :
un moment cinétique
~σ
s'y retrouver
induit un moment dipolaire
m
~ = γ.~σ
où
γ
est le rapport gyromagnétique.
7 Magnéton de Bohr
exercice
B Calculer le rapport gyromagnétique d'un électron tournant avec une vitesse angulaire ω à la distance
r du noyau de son atome.
B En utilisant la constante de Planck réduite (~ = 1,05 × 10−34 J · s), construire par analyse dimensionnelle le magnéton de Bohr µB , qui joue le rôle de quantum de moment dipolaire magnétique pour
l'électron.
8 Moment magnétique volumique d'un aimant permanent
B
B
exercice
Évaluer l'ordre de grandeur maximal du moment magnétique volumique d'un aimant permanent.
En déduire l'ordre de grandeur du moment magnétique d'un aimant permanent usuel.
2. Dipôle magnétostatique actif
Champ magnétique créé par un dipôle
s'y retrouver
On peut montrer que dans le cadre de l'approximation dipolaire, les composantes du champ magnétique
~
B(M
)
spé PC
créé en
M
m sont

µ
 Br (M ) = 4.π0 . 2.m.r3cos θ
µ0 m. sin θ
Bθ (M ) = 4.π
. r3

Bϕ (M ) = 0
par un dipôle de moment dipolaire
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5
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Champ magnétique créé par un dipôle magnétostatique
schéma
La gure 5 représente quelques lignes de champ magnétique créées dans l'approximation dipolaire par un
dipôle magnétostatique vues dans un plan
ϕ = cste.
Les lignes de champ magnétique créées par un dipôle magnétostatique sont orientées dans le sens du
moment dipolaire.
Dans le cadre de l'approximation dipolaire, le champ magnétique créé par un dipôle magnétique est
formellement identique au champ électrique créé par un dipôle électrostatique. Attention cependant : ceci
ne vaut que dans le cadre de l'approximation dipolaire, c'est à dire "loin" du dipôle.
Figure 5 Champ magnétique créé par un dipôle magnétostatique
9 Force surfacique d'adhérence entre deux aimants
B
exercice
Déterminer un ordre de grandeur de la force surfacique d'adhérence entre deux aimants permanents
identiques en contact par analyse dimensionnelle. On cherchera cette force surfacique sous la forme
F
≈ B α × µβ0
S
où
B
B
est le champ magnétique créé par les aimants à leur surface.
En déduire que cette force surfacique est de l'ordre de la pression atmosphérique.
Champ magnétique terrestre
schéma
La gure 6 représente quelques lignes de champ magnétique terrestre.
En première approximation, le champ magnétique terrestre est celui créé par un dipôle magnétique situé
au centre de la Terre, orienté vers le pôle sud géographique.
spé PC
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6
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Figure 6 Champ magnétique terrestre
3. Dipôle magnétique passif
10 Energie potentielle d'interaction d'un dipôle magnétique
théorème
L'énergie potentielle d'interaction d'un dipôle magnétostatique de moment dipolaire
magnétique extérieur
~ ext
B
m
~
avec un champ
est
~ ext
Ep = −m.
~ B
Moment des forces de Laplace et moment des forces appliquées sur un dipôle
magnétostatique
à retenir
Le moment en un point
O
de l'action exercée par un champ magnétique extérieur
magnétostatique de moment dipolaire
m
~
~ ext
B
sur un dipôle
est
~O = m
~ ext
M
~ ∧B
Eet des interaction magnétiques ressenties par un moment dipolaire magnétique
s'y
retrouver
Le moment tend à aligner parallèlement le dipôle magnétique au champ magnétique.
La position d'équilibre stable correspond à
m
~
dans le même sens que
~ ext .
B
La résultante tend à déplacer le dipôle magnétostatique vers les régions de champ magnétique intense.
Actions exercées sur une aiguille aimantée
vidéo
On peut visualiser les actions exercées sur un dipôle magnétostatique, une aiguille aimantée par exemple.
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
spé PC
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Technique
à maîtriser
jeudi 22 janvier 2015
I-
Les capacités exigibles
1. Propriétés du champ magnétostatique
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Justier qu'une carte de lignes de champs puisse ou non être celle d'un champ magnétostatique ; repérer
d'éventuelles sources du champ et leur signe/sens.
Associer l'évolution de la norme de
~
B
à l'évasement des tubes de champ.
2. Calculs de champs magnétostatiques
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Exploiter les propriétés de symétrie des sources (rotation, symétrie plane, conjugaison de charges) pour
prévoir des propriétés du champ créé.
Choisir un contour, une surface et les orienter pour appliquer le théorème d'Ampère.
Utiliser une méthode de superposition.
Déterminer le champ créé par un câble rectiligne inni. Calculer et connaître le champ créé par un l
rectiligne inni. Utiliser ces modèles près d'un circuit liforme réel.
Calculer et connaître le champ à l'intérieur d'un solénoïde long sans eets de bords, la nullité du champ
extérieur étant admise.
Établir les expressions de l'inductance propre et de l'énergie d'une bobine modélisée par un solénoïde.
Associer cette énergie à une densité d'énergie volumique.
3. Dipôles magnétostatiques
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Utiliser un modèle planétaire pour relier le moment magnétique d'un atome d'hydrogène à son moment
cinétique.
Construire en ordre de grandeur le magnéton de Bohr par analyse dimensionnelle. Interpréter sans
calculs les sources microscopiques du champ magnétique.
Évaluer l'ordre de grandeur maximal du moment magnétique volumique d'un aimant permanent.
Obtenir l'expression de la force surfacique d'adhérence par analyse dimensionnelle.
Utiliser des expressions fournies des actions subies par un dipôle magnétique placé dans un champ
magnétostatique d'origine extérieure.
Approche documentaire de l'expérience de Stern et Gerlach : expliquer sans calculs les résultats attendus
dans le cadre de la mécanique classique ; expliquer les enjeux de l'expérience.
II-
Méthodes
1. Propriétés du champ magnétostatique
A) Quelles sont les propriétés des lignes de champ magnétostatique ? méthode
Les lignes de champ magnétique sont fermées.
Elles tournent autour des courants.
spé PC
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B) Quelles sont les propriétés de symétrie du champ magnétostatique ? méthode
Les plans d'antisymétrie pour
Les plans de symétrie pour
Le champ
~
B
~j
~j
sont des plans de symétrie pour
sont des plans d'antisymétrie pour
~.
B
~.
B
est orthogonal aux plans de symétrie et appartient aux plans d'antisymétrie de
~j .
2. Calculs de champs magnétostatiques
C) Détermination de champs magnétostatiques
méthode
Il faut utiliser les symétries (s'il y en a assez) puis le théorème d'Ampère en choisissant un contour fermé
orienté.
3. Dipôles magnétostatiques
D) Utiliser les dipôles magnétostatiques
Moment dipolaire magnétique
~.
m
~ = I.S
~O = m
~ ext
M
~ ∧B
Un tel dipôle ressent le moment
méthode
et a l'énergie potentielle
~ ext .
Ep = −m.
~ B
La résultante tend à déplacer le dipôle magnétostatique vers les régions de champ magnétostatique
intense et le moment tend à aligner parallèlement le dipôle magnétostatique au champ magnétostatique.
III-
Exercices
1. Propriétés du champ magnétostatique
1.1) Un champ magnétique radial
1) Un champ radial (Cr~er ) peut-il être un champ magnétique B~
1.a) en cylindrique ?
1.b) en sphérique ?
:
Un champ magnétique ne peut être radial.
1.2) Propriétés des lignes de champ magnétostatique
Les lignes de champ magnétiques sont-elles ouvertes ou fermées ?
Les lignes de champ magnétique sont fermées.
1.3) Symétries d'une spire circulaire
Soit une spire circulaire de centre
1)
O,
d'axe
(Oz),
parcourue par un courant d'intensité
I.
Déterminer les symétries de cette répartition de courants :
1.a)
1.b)
1.c)
~j(r, z)
spé PC
invariances ;
plans de symétrie ;
plans d'antisymétrie.
plans d'antisymétrie : plans
(M, ~ur , ~uz ) ∀M .
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1.4) Symétries d'un ensemble de deux ls parallèles
(Oz), passant respectivement par les points O1 =
O2 = (0, +a, 0) dans lesquels circulent respectivement des
les z croissants.
Soit deux ls innis, sans épaisseur, parallèles à l'axe
(0, −a, 0)
courants
(dans un repère cartésien de centre
I1
et
I2 ,
O)
et
orientés conventionnellement vers
Dénir les symétries et invariances de cette distribution dans les trois cas suivants :
1)
2)
3)
I1 et I2 quelconques ;
I1 = I2 = I ;
I1 = +I et I2 = −I .
I1 = I2 = I ⇒ ~j(x, y),
plans d'antisymétrie : plans
(M, ~ux , ~uy ) ∀M .
1.5) Plan de symétrie d'une distribution de courant
Π est un plan de symétrie d'une distribution de
M 0 est le symétrique du point M par rapport à Π.
Le plan
point
1)
courant. Le
Compléter le schéma en dessinant le champ magnétique au point
M 0.
Les plans de symétrie pour
~j
sont des plans d'antisymétrie pour
~.
B
1.6) Plan d'antisymétrie d'une distribution de courant
Π est un plan d'antisymétrie d'une distribution de
M 0 est le symétrique du point M par rapport à Π.
Le plan
point
1)
courant. Le
Compléter le schéma en dessinant le champ magnétique au point
M 0.
Les plans d'antisymétrie pour
~j
sont des plans de symétrie pour
~.
B
1.7) Symétries d'une spire de courant
On considère une spire circulaire d'axe
courant d'intensité
et en
1)
•
spé PC
Oz
parcourue par un
On donne le champ magnétique en
M
P.
Représenter le champ magnétique
en
M0
0
•
en
P
•
en
Q
•
I.
et en
page n
◦
symétrique de
symétrique de
symétrique de
0
Q
10
M
P
P
symétrique de
par rapport au plan de la spire,
par rapport à l'axe,
par rapport au plan de la spire
Q
par rapport à l'axe.
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Les plans d'antisymétrie pour
Les plans de symétrie
pour ~
j
~j
sont des plans de symétrie pour
sont des plans d'antisymétrie pour
~.
B
~.
B
1.8) Sont-ce des lignes de champ magnétostatique ?
On considère les lignes de
champ magnétique des différentes
congurations
à
gauche. On supposera la gure invariante par translation perpendiculaire au
plan du dessin.
1)
Préciser dans chaque
cas
s'il
champ
peut
s'agir
d'un
magnétostatique,
et si oui, si des courants
sont
présents
dans
la
région représentée.
Les lignes de champ correspondent à celles d'un champ magnétostatique si le ux du champ à travers
une surface fermée est nul. Donc si on peut mettre en évidence une surface fermée à travers laquelle le ux
n'est pas nul le champ ne pourra pas être un champ magnétostatique. C'est le cas des situations (d) et (f )
où le ux à travers un cylindre dont le centre est celui des lignes de champ, d'axe perpendiculaire à la gure
n'est pas nul.
1.9) Détermination d'un champ magnétostatique en symétrie cylindrique
On s'intéresse à une distribution cylindrique innie d'axe
de rayon
1)
(Oz) de courants (~j//~uz , uniforme dans le cylindre
R).
En déduire les symétries (en statique) de
~.
B
~ = Bθ (r).~uθ .
B
2. Calculs de champs magnétostatiques
2.10) Champ magnétique créé par un solénoïde de dimension nie
L suivant son axe Oz , parcouru par un courant I . Le
n.
On admet que le champ magnétique qui règne en un point M de l'axe peut se mettre sous la forme :
B (M ) = µ0 .n.I
2 . (cos α1 − cos α2 ) où α1 et α2 sont les angles sous lesquels le point M voit les extrémités du
Soit un solénoïde circulaire, de rayon
R,
de longueur
nombre de spire le constituant par unité de longueur est
solénoïde.
1)
On considère maintenant que ce solénoïde est inni. Déterminer le champ magnétique en un point
quelconque de l'espace.

~ 1 = B(r
~ < R) = µ0 .n.I.~uz
 B
~
~ > R) = ~0
B2 = B(r

~n1→2 = ~ur
spé PC
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11
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2.11) Champ magnétique créé par un tore
On considère enn un tore à section circulaire (de rayon
N
spires jointives parcourues par un courant
1)
•
a),
d'axe
Oz ,
de rayon
R,
sur lequel sont enroulées
I.
Déterminer le champ magnétique qui règne en un point
M
quelconque de l'espace.
⇒ Iint = N.I ⇒
soit un cercle dans le tore :
~ int = µ0 .N.I ~uθ
B
2.π.r
•
soit un cercle hors du tore :
⇒ Iint = 0 ⇒
~ ext = ~0
B
2.12) Champ magnétique créé dans un cylindre creux conducteur
On se place dans un repère cylindrique d'axe
(Oz).
On considère d'abord un cylindre conducteur de rayon
courant volumique uniforme :
1)
~j = J.~ez .
Déterminer le champ magnétique
~0
B
R0 ,
Oz
et supposé inni, parcouru par un
à l'intérieur de ce cylindre.
On considère maintenant un cylindre conducteur de rayon
creusé une cavité cylindrique d'axe parallèle à
~j = J.~ez .
~
magnétique B
d'axe
(Oz),
de rayon
R1 , d'axe Oz et supposé inni,
R2 < R1 . Le cylindre creux est
dans lequel on a
parcouru par un
courant volumique uniforme :
2)
Calculer le champ
1)
2)
dans la cavité.
~ 0 (r, θ, z) =
B
µ0 .J.r
uθ .
2 ~
Le champ magnétique est nul dans la cavité.
2.13) Mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestre
On se place dans un repère cartésien
(Oxyz), (Oz)
étant vertical.
(Oz)) est placée en O et
~ t = Bt .~ux (on cherche à
B
Une boussole (assimilée à une aiguille aimantée mobile sans frottements autour de
s'oriente parallèlement à la composante horizontale du champ magnétique terrestre
déterminer
Bt ).
On place cette boussole au centre de bobines de Helmoltz assimilées à deux spires circulaires parcourues par
I , d'axe parallèle à la direction Est-Ouest (Oy), de rayon R = 10cm, disposées dans les plans
R
~ H = 8.µ0√.I ~uy .
= + 2 et y = − R2 . Le champ magnétique BH créé par les bobines de Helmoltz en O est B
5.R 5
Déterminer l'angle α que fait la boussole avec (Ox), en fonction de I .
◦
−7
Pour I = 2, 2A, α = 45 . On donne µ0 = 4.π.10
H.m−1 .
le même courant
y
1)
2)
En déduire
Pour
Bt .
α = 45◦ , Bt = 20µT .
3. Dipôles magnétostatiques
3.14) Dénition du moment dipolaire pour une distribution quelconque de courant
D,
une distribution de courants
~j ,
présente un moment dipolaire magnétique
m
~ =
où
O
1
2
ZZZ
−−→ ~
OP ∧ j (P ) .d3 τ
P ∈D
est un point xe quelconque
1)
Montrer que la dénition du moment dipolaire magnétique d'une distribution de courants quelconque
ne dépend pas du choix du point
2)
spé PC
O.
Montrer que cette dénition est cohérence avec celle donnée pour une boucle de courant.
page n
◦
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RRR
P ∈D
~j (P ) .d3 τ = ~0
donc
m
~
ne dépend pas de
O.
3.15) Rapport gyromagnétique de l'électron tournant autour du noyau
1) Calculer le rapport gyromagnétique d'un électron tournant avec une vitesse angulaire ω à la distance r
du noyau de son atome.
γ=
−e
2.m .
3.16) Analyse dimensionnelle du magnéton de Bohr
1) Déterminer un ordre de grandeur du magnéton de Bohr par analyse dimensionnelle. On cherchera cette
grandeur sous la forme
µB ≈ eα × mβ × ~γ
où
e
est la charge et
µB ≈
m
la masse de l'électron.
e~
m.
3.17) Dénition du moment dipolaire pour une distribution quelconque de courant
D,
une distribution de courants
~j ,
présente un moment dipolaire magnétique
m
~ =
où
O
1
2
ZZZ
−−→ ~
OP ∧ j (P ) .d3 τ
P ∈D
est un point xe quelconque
1)
Montrer que la dénition du moment dipolaire magnétique d'une distribution de courants quelconque
ne dépend pas du choix du point
2)
O.
Montrer que cette dénition est cohérence avec celle donnée pour une boucle de courant.
RRR
P ∈D
~j (P ) .d3 τ = ~0
donc
m
~
ne dépend pas de
O.
3.18) Moment des forces de Laplace et moment des forces appliquées sur un dipôle magnétostatique
On s'intéresse à une spire de section
extérieur uniforme
1)
S
parcourue par un courant
I
plongée dans un champ magnétique
~ ext .
B
Montrer que le moment des forces de Laplace que subit la spire est
~O = I
M
I
→
−
−−→ ~
OP .Bext . d`(P )
P ∈C
2)
En utilisant la formule de Kelvin, en déduire que le moment en un point
champ magnétique extérieur
~ ext
B
O
de l'action exercée par un
sur un dipôle magnétostatique de moment dipolaire
m
~
est
~O = m
~ ext
M
~ ∧B
~O = I
M
H
P ∈C
→
−
−−→ ~
OP .Bext . d`(P ).
3.19) Interaction de deux dipôles magnétiques à distance constante
On étudie deux dipôles magnétiques de moments dipolaires respectifs
centre d'un repère sphérique d'axe polaire
spé PC
(O, ~uz ),
m
~1
et
m
~ 2.
parallèle à son moment dipolaire :
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◦
13
Le premier est xe en
O,
m
~ 1 = m1 .~uz .
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
r = cste, θ
Le second dipole est placé en
α = (~uz , m
~ 2 ),
1)
xé, et
ϕ = 0.
On repère son moment dipolaire par l'angle
qui peut varier.
Exprimer l'énergie potentielle
Ep (α)
d'intéraction du second dipole avec le champ magnétique créé par
le premier dipole.
2)
3)
Que doit vérier
tan(θ − α)
α si
à l'équilibre stable ?
Application : que vaut
3.a)
3.b)
3.c)
θ = 0;
θ = π2 ;
θ = π.
tan(θ − α) =
1
2
tan(θ)
à l'équilibre stable.
3.20) Modèle classique du spin de l'électron
1) Modélisation de l'électron :
O et de rayon R,
ρ homogène, qui tourne autour de l'un de ses diamètre (Oz) à la vitesse angulaire
Une modélisation simpliste du "spin" de l'électron est donnée par une sphère, de centre
portant une charge volumique
uniforme
ω.
1.a)
O
r
Exprimer le courant
et par l'angle
1.b)
et
θ
(à
dθ
dI
créé par la spire circulaire virtuelle repérée par la distance
près) par rapport à
r
(à
dr
près) à
(Oz).
Quel est le moment dipolaire magnétique élémentaire
dm
~
associé à cette spire, en fonction de
ρ, ω ,
θ?
1.c)
l'électron),
2)
En déduire le moment dipolaire magnétique total
R
et
m
~
de l'électron en fonction de
e
(la charge de
ω.
Discussion de la modélisation :
On admet que la valeur du moment dipolaire magnétique est celui du magnéton de Bohr
m = µB = 9, 27.10−24 A.m2
R = 2, 8f m.
ω?
maximale vmax
et que le rayon de la sphère doit être
2.a)
2.b)
2.c)
1)
2)
Que vaut la vitesse angulaire
En déduire la vitesse
d'un point de la sphère.
Que faut-il conclure d'un tel résultat ?
2
m
~ = −1
uz .
5 e.ω.R .~
25
−1
modélisation : ω = 3.7.10 rad.s
Modélisation de l'électron :
Discussion de la
et
vmax = 1, 0.1011 m.s−1 .
3.21) Moment dipolaire magnétique terrestre
O et de rayon RT , d'axe polaire (O, ~uz ) orienté du pôle Nord vers le pôle Sud, est supposée
m
~ = m.~uz .
On repère un point M du globe terrestre par r = RT = 6371km, θ xé, et ϕ quelconque. On donne, dans le
~
cadre de l'approximation dipolaire, les composantes du champ magnétique B(M
) créé en M par le dipôle :

µ
 Br (M ) = 4.π0 . 2.m.r3cos θ
µ0 m. sin θ
Bθ (M ) = 4.π
. r3

Bϕ (M ) = 0
La Terre de centre
contenir en son centre un dipole magnétique de moment dipolaire :
1)
λ comptée depuis l'équateur (positivement dans l'hémisphère nord, et négativement
θ.
◦
~ t est vers le sol : il fait un angle I = −65◦ avec
A Paris (λ = 49 ), le champ magnétique terrestre B
l'horizontale et sa composante horizontale est Bh = 20µT .
Exprimer la latitude
dans l'hémisphère sud), en fonction de
2)
3)
Exprimer :
2.a)
2.b)
spé PC
la composante verticale
la norme
Bt
Bv
du champ magnétique terrestre ;
du champ magnétique terrestre.
Déduire la valeur du moment dipolaire magnétique terrestre
page n
◦
14
m.
Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Bv = 43µT ; Bt = 47µT
et
m = 78.1021 A.m2 .
Résolution
de problème
vendredi 23 janvier 2015
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
Le champ magnétique terrestre est engendré par les mouvements du noyau métallique liquide des couches profondes
de la Terre. Il peut être vu comme celui d'un aimant droit,
en première approximation (ou d'un dipôle magnétique, ou
d'une bobine plate parcourue par un courant électrique).
En un point donné du champ magnétique terrestre, le vecteur
~
B
possède une composante verticale
~v
B
(dirigée vers le
centre de la Terre) et une composante horizontale
~ 0.
B
Aux
pôles magnétiques, la composante horizontale a une valeur
nulle. L'angle formé par
~
B
et
~0
B
est appelé "inclinaison".
Il augmente lorsque l'on se rapproche des pôles en tendant
vers
90◦ .
Actuellement, la valeur du champ magnétique est de l'ordre
de
47 µT
au centre de la France. D'après http ://fr.wikipedia.org/wiki/Champ magnétique
terrestre Enoncé
En coordonnées sphériques de centre
distance
r
O,
un dipôle magnétique de moment
m
~
placé en
O
crée à grande
un champ magnétique de projections :

2µ m cos θ
 Br = 04πr3
m sin θ
B = µ04πr
3
 θ
Bϕ = 0
1)
Estimer, grâce aux lois de l'électromagnétisme, la valeur du moment dipolaire
m
~
de la Terre.
Travaux
pratiques
vendredi 23 janvier 2015
La moitié de la classe fait un TP d'électricité sur le michelson.
spé PC
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Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
Approche
documentaire
vendredi 23 janvier 2015
Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Léa Llorente et Victoria Loncle feront un exposé.
L'expérience de Stern et Gerlach
Louis Marchildon.
Mécanique quantique - De Boeck Université - 2000 Bruxelles.
L'expérience d'Otto Stern et Walther Gerlach en février 1922 a mis en évidence
l'existence du spin et sa quantication.
Le spin est associé à des particules, des atomes et des molécules. Il est apparenté au moment cinétique
et au moment magnétique. Historiquement, le moment magnétique atomique a été révélé par l'expérience de
Stern-Gerlach, que nous allons décrire schématiquement [...] En 1922, O. Stem et W. Gerlach ont mis au point
une expérience visant à mesurer le moment magnétique d'atomes d'argent Le dispositif expérimental est illustré,
dans ses grandes lignes, aux gures 4.1 et 4.2, qui représentent deux coupes diérentes de l'appareil.
Les atomes d'argent émergent du four dans un vide poussé et le collimateur les ltre en un faisceau essentiellement liforme. Ils passent ensuite entre les pôles de l'aimant. La conguration du champ magnétique est
illustrée à la gure 4.2. Le vecteur d'induction a une composante
By à toutes ns pratiques
~ s'annule partout.
~ ·B
O
(et nulle au centre) et une composante
toutes deux importantes, de sorte que
Bz
intense, une composante
nulle. Les dérivées
∂Bz /∂z
Bx moins forte
∂Bx /∂x sont
et
Essayons de suivre, entre les pôles de l'aimant,
la trajectoire d'un atome d'argent porteur d'un
moment magnétique
µ
~.
Classiquement, l'énergie
magnétique de l'atome est donnée par
~.
−~
µ·B
C'est dire que la force magnétique exercée sur
l'atome est égale à
~ =O
~ −~
~ (µx Bx + µz Bz )
F~ = −O
µ·B
Nous verrons que la valeur de la composante du
moment magnétique perpendiculaire à la direction
du champ oscille très rapidement autour de zéro.
Ici, le champ est essentiellement dirigé suivant
l'axe
z.
C'est dire qu'en moyenne,
Bx
s'annule, de
sorte qu'à toutes ns pratiques, cette composante
ne contribue pas à la force exercée sur l'atome. La
valeur de la composante
µz
par ailleurs, est essen-
tiellement constante. On a donc
spé PC
∂Bz
~ (Bz ) = µz
~z
F~ = µz O
∂z
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Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
où nous avons négligé les variations de
de
Bz
Bz
x et y . Selon l'illustration de la gure 4.2, la dérivée suivant z
µz de son moment magnétique
suivant
est positive. L'atome d'argent sera donc dévié vers le haut si la composante
est positive, et vers le bas si
µz
est négative.
D'un point de vue classique, on s'attend que
les atomes d'argent émergent du four avec des mo-
µ
~
ments magnétiques
orientés dans toutes les di-
µz
rections. La composante
devrait donc prendre
toutes les valeurs positives et négatives, dans un
intervalle approprié. Par conséquent, les atomes
d'argent du faisceau liforme incident devraient,
à la sortie de l'aimant, s'éparpiller le long d'une
mince ligne sur le détecteur. Or, ce n'est pas ce
que Stem et Gerlach ont observé. Le faisceau incident s'est plutôt séparé en deux faisceaux liformes dirigés, respectivement, vers le haut et vers
le bas du détecteur. Tout s'est donc passé comme
si la composante
µz
ne pouvait prendre que deux
valeurs. La déviation relativement symétrique des
deux faisceaux par rapport à l'axe
y
laissait croire
que les deux valeurs possibles de la composante
Évidemment, l'axe
z
µz
étaient de même grandeur et de signe contraire.
n'a, ici, rien d'absolu. Il est déni par la direction du champ magnétique. L'expérience
de Stern-Gerlach laisse croire que la projection du moment magnétique d'un atome d'argent sur la direction du
champ magnétique est quantiée. L'expérience a, par la suite, été reprise avec d'autres atomes. Dans tous les
cas, on a observe que la projection de
µ
~
sur
~
B
est quantiée. Cependant, le nombre de valeurs possibles de
µz
n'est pas toujours égal à deux. Parfois, il n'y a qu'une seule valeur (c'est-à-dire, un seul faisceau à la sortie de
l'aimant), parfois il y en a trois, parfois davantage. [...] La grandeur physique
µz
c'est-à-dire la composante du
moment magnétique d'un atome suivant la direction du champ magnétique, ne peut prendre qu'un nombre ni
de valeurs. [...]
Les propriétés du moment magnétique se révèlent de manière plus complète si l'on dirige le faisceau d'atomes
vers deux appareils de Stern-Gerlach successifs. Supposons que le champ magnétique du premier appareil soit
oriente suivant l'axe
z,
et que le champ du second soit orienté suivant un axe
u.
Dirigeons, vers le second
appareil, l'un des faisceaux émergeant de l'aimant du premier. Qu'observe-t-on alors ? Dans le cas particulier où
~u = ±~z
(c'est-à-dire, lorsque le champ des deux appareils est orienté, à un signe près, vers la même direction),
le faisceau qui arrive sur le second appareil en ressort intact, Qui plus est, il est (si
manière que dans le premier appareil. Dans le cas où
~u 6= ±~z,
~u = +~z)
appareil est lui-même séparé en plusieurs faisceaux, en général le même nombre (appelons-le
de valeurs de la grandeur
µz
µu
ne dépend que de l'orientation relative des vecteurs unitaires
N)
que le nombre
N
donné, on observe
µz émerge
~z et ~u.
ensuite du second
pour l'atome utilisé. Pour des atomes auxquels correspond un
que la probabilité qu'un atome émergeant du premier appareil avec une valeur
avec une valeur
dévié de la même
par contre, le faisceau tombant sur le second
Toutes ces observations, au moins d'un point de vue qualitatif, s'harmonisent bien avec les concepts de la
mécanique quantique.
Enoncé
1)
Etude du champ magnétique
1.a)
Que doivent vérier les dérivées
∂Bz /∂z
et
∂Bx /∂x
pour que le champ magnétique dans l'entrefer
dont parle le texte suive bien les équations de Maxwell ?
1.b)
Pourquoi les lignes de champ présentées sur la gure 4.2 sont-elles cohérentes avec le texte, en
particulier :
- "le champ est essentiellement dirigé suivant l'axe
- il a "une composante
- et"une composante
Bx
By
nulle" ;
- enn, " la dérivée suivant
2)
z
de
Bz
est positive".
Etude mécanique
On s'intéresse à un atome d'argent de masse
collimateur de coordonnées
spé PC
z" ;
moins forte (et nulle au centre)" ;
(0, 0, 0)
m et de moment
~v = v0 ~uy .
magnétique
µ
~
qui passe en
t = 0
par le
avec une vitesse
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Janson de Sailly
physique
année scolaire 2014/2015
A t = t0 , l'atome d'argent pénètre dans l'entrefer
t1 − t0 est susamment court pour que |vz | v0 .
de longueur
`,
qu'il quitte à la date
L'atome d'argent atteint ensuite le détecteur, situé à une distance
2.a)
2.b)
2.c)
γ
de l'entrefer, à la date
t2
Faire de même entre l'entrefer et le détecteur.
En déduire que la coordonnée
z
de l'atome sur le détecteur est proportionnelle à
m,
∂Bz
∂z ,
`, d
et
µz .
On donnera
v0 .
Conclusion de l'expérience
On admet que le moment magnétique
où
On supposera que
Déterminer, grâce au texte, les équations paramétriques du mouvement dans l'entrefer.
le facteur de proportionnalité en fonction de
3)
d
t1 .
µ
~ des particules est proportionnel à leur moment cinétique ~σ : µ
~ = γ~σ ,
1/2, σz = ± 21 ~.
est le "rapport gyromagnétique". En particulier pour des atomes d'argent, de "spin"
3.a)
3.b)
spé PC
Vérier que la constante de Planck a la même dimension qu'un moment cinétique.
En quoi l'expérience de Stern et Gerlach montre que la projection de "spin" est quantiée ?
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