Cours8 Dipôle RLC

Partie III : Evolution des systèmes électriques
Chap. VIII : Le circuit R,L,C
Les systèmes de télécommunication utilisent de nombreux oscillateurs électriques pour l'émission et la réception des
ondes. Comment réaliser un oscillateur électrique?
I. Que se passe-t-il lorsqu'on relie un condensateur chargé et une bobine?
1°- Observation d'oscillations électriques
Activité 1 : comment évolue la tension aux bornes d'un condensateur chargé branché aux bornes d'une bobine?
Montage :
On charge le condensateur (K en 1).
On bascule K en 2. La voie Y1 est reliée au système d'acquisition d'un ordinateur. On visualise uAM.
Observation :
Pour une faible valeur de la résistance R = r + r', on observe des oscillations de la tension électrique aux bornes du
condensateur dont l'amplitude décroît : ce sont des oscillations libres amorties.
Interprétation :
Les oscillations résultent de la tendance de C à se décharger spontanément quand il est chargé et de l'opposition de la
bobine à la variation du courant.
On définit la pseudo-période T comme la durée entre deux passages consécutifs par une valeur nulle de la tension, celleci variant dans le même sens. On utilise le terme pseudo-période, et non celui de période, car l'amplitude de la tension
ne reste pas constante.
Partie III : Evolution des systèmes électriques
2°- Les trois régimes d'oscillations
Activité 2 : quelle est l'influence de la valeur de la résistance R du circuit sur les oscillations?
On reprend le montage précédent en attribuant à r' des valeurs de plus en plus grandes.
Observation :
Pour de faibles valeurs de R (10 Ω), on observe des oscillations dont l'amplitude décroît progressivement : c'est le
régime pseudo-périodique.
Lorsque la valeur de R est très faible, proche d'une valeur nulle, les oscillations durent longtemps : l'amortissement est
faible. La pseudo-période est alors indépendante de R.
Pour des valeurs élevées de R, les oscillations disparaissent : la tension uAM tend lentement vers zéro : c'est le régime
apériodique.
La valeur de R qui délimite les deux régimes précédents est appelée résistance critique, on la note RC.
Pour R= RC , la tension tend le plus rapidement vers zéro sans oscillations : c'est le régime critique.
3°- Etude de la pseudo-période
Activité 3 : qu'observe-t-on lorsqu'on modifie les valeurs de C ou de L?
Observation :
Pour une valeur de C fixée, la pseudo-période augmente avec la valeur de l'inductance L de la bobine.
Pour une valeur de L fixée, la pseudo-période augmente avec la capacité C.
La pseudo-période T d'un circuit (R, L, C) augmente avec la capacité C et avec l'inductance L.
II. Quelle loi décrit l'évolution temporelle d'un circuit oscillant (L,C) ?
Les circuits constitués d'une bobine et d'un condensateur jouent un rôle très important en électronique : dans les
récepteurs radiophoniques, ils permettent de sélectionner les stations de radio.
On considérera la résistance du circuit (L,C) nulle.
1°- Equation différentielle de la tension aux bornes du condensateur
Dans le circuit ci-dessous on néglige la résistance de l'inductance L.
On a uAB + uBD + uDA = 0; uBD= 0.
On note uAB = uC la tension aux bornes du condensateur et uDA = uL = L.di/dt la tension aux bornes de l'inductance.
On a donc : uC + L.di/dt = 0 (1).
Exprimons di/dt en fonction de uC.
On a : q = C. uC et i=dq/dt = CduC/dt. D'où di/dt = Cd²uC/dt² .
La relation (1) devient alors : uC + L. C.d²uC/dt² = 0 ou d²uC/dt² + 1/(LC). uC=0
Durant les oscillations électriques libres non amorties d'un circuit (L,C), la tension aux bornes du condensateur obéit à
l'équation différentielle : d²uC/dt² + 1/(LC). uC=0
Remarque : Ce circuit (L,C) dont la résistance est nulle est un circuit idéal : il est irréalisable en pratique et les
oscillations sont pseudo-périodiques et amorties.
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2°- Evolution temporelle de la tension uc
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Solution de l'équation différentielle :
Vérifions que l'équation différentielle précédente admet pour solution une fonction de la forme :
uC = um.cos(2π/T0.t+Φ0)
um , Φ0 et T0 sont des paramètres constants, indépendants du temps.
On dérive deux fois la fonction uC , par rapport au temps : duC/dt = -(2π/T0).um.sin(2π/T0.t+Φ0)
d/dt(duC/dt) = d²uC/dt²= -(2π/T0)².um.cos(2π/T0.t+Φ0)= -(4π²/T0²).uC.
On substitue cette expression de d²uC/dt² dans l'équation différentielle :
d²uC/dt² +(1/(LC)).uC = 0 donne : ( -(4π²/T0²)+(1/(LC)).uC =0 équivaut à 4π²/T0²=1/(LC), soit : T0 =2π√(LC) : cette
relation est appelée formule de THOMSON (1853, anobli sous le nom de Lord Kelvin).
Conclusion :
La fonction uC(t) = um.cos(2π/T0.t+Φ0) avec T0 =2π√(LC) , est solution de de l'équation différentielle :
d²uC/dt² + 1/(LC). uC=0 .
T0 , période propre des oscillations, ne dépend que de L et de C.
um et Φ0 sont des constantes qui ne dépendent que des conditions initiales portant sur uc(0) et i(0) à t=0.
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Cohérence des unités
Vérifions que√(LC) s'exprime commeT0 , en seconde.
On a : uL = Ldi.dt , L s'exprime en V.s.A-1. On a aussi : q = C.uC et i=dq/dt C est donc en A.s.V-1. Donc le produit L.C
s'exprime en s² et √(LC) en seconde comme T0.
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Signification de um et Φ0
um est la valeur maximale de la tension uC qui varie entre - um et + um . On l'appelle amplitude.
Φ= 2π/T0.t+Φ0 est la phase. À t=0, Φ= Φ0 ; Φ0 est appelée la phase à l'origine des dates.
Pour déterminer les valeurs de um et Φ0, on exprime les valeurs de uC et de i = CduC /dt à t = 0 i.e u(0) et i(0) :
appelées conditions initiales.
3°- Evolutions de la charge q et de l'intensité i
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q= C.uC d'où q= qm.cos( 2π/T0.t+Φ0) , avec qm= C.um ;
i = dq/dt = -qm. (2π/T0).sin(2π/T0.t+Φ0)= im.sin(2π/T0.t+Φ0)=im.cos(2π/T0.t+Φ0+π/2), avec im=qm. (2π/T0)=C.um 2π/T0
III. Comment s'effectuent les échanges d'énergie dans un circuit oscillant ?
1°- L'énergie d'un circuit (L,C) série
E circuit (L,C) = Eélectrique + Emagnétique. Rappel : Eélectrique stockée par le condensateur, Emagnétique stockée par la bobine.
= ½ C.u²+ ½ L.i²
Au cours du temps, E = Eélec+ Emagné= constante. Lorsque uC =um , i=0 et quand uC =0 ,i = im et donc l' énergie totale E
est: E = ½ C um ²= ½ .L.im ².
2°- L'énergie d'un circuit (R, L, C) série
Il y a dissipation d'énergie par effet Joule dans la résistance R. E= Eélec+ Emagné =½ C.u²+ ½ L.i² n'est plus constante,
elle diminue au cours du temps. C'est cette perte d'énergie par effet Joule qui est à l'origine de l'amortissement des
oscillations dans un circuit (R,L,C).
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IV. Comment entretenir des oscillations non amorties?
1KΩ
100 Ω
S
uL
1K Ω
voie 0
uc
uR0
R0
Ce montage compense les pertes dues à l'effet Joule en fournissant de l'énergie pour entretenir les oscillations.
Conclusion : les oscillations d'un circuit (R,L,C) série peuvent être entretenues par un module électronique qui
compense les pertes d'énergie par effet Joule.