BAC LE DIPÔLE RL Exercices corrigés : Le dipôle RL

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LE DIPÔLE RL
Enoncé :
On charge un condensateur de capacité C=47 µF avec un générateur de tension de f.e.m E puis on le place en
série avec une bobine idéale d’inductance L, un conducteur ohmique de résistance R réglable et un interrupteur
K. A la date t=0, on ferme l’interrupteur K. la tension uc aux bornes du condensateur est visualisée à l’aide d’un
ordinateur relié à une interface. On réalise plusieurs mesures en utilisant des valeurs de R différentes.
1- De quel type d’oscillations, le circuit est-il le siège dans chacun des trois cas ?
2- Classer, par ordre croissant, les résistances R1, R2 et R3. Justifier la réponse.
3-
a- Déterminer la pseudo-période T des oscillations.
b- Sachant que la pseudo-période est pratiquement égale à la période propreT0 avec
0
T 2 LC
, calculer la
valeur de l’inductance L.
c- Donner, en le justifiant, la valeur de la fem E du générateur.
Corrigé :
1- Les chronogrammes obtenus pour différentes valeurs de R représentent une fonction périodique mais avec une
amplitude qui diminue au cours du temps donc le circuit est le siège d’oscillations pseudopériodiques.
2- Lorsqu’on augmente la valeur de R en régime pseudopériodique, le nombre d’oscillations diminue. D’après le
graphe : R2>R3>R1.
3-
a- D’après le graphe la pseudo-période T=10 ms =10-2 s.
b- T=T0 ;
22
0
TT
22
T 4 LC
d’où
2
2
T
L4C
A.N :
22
26
(10 )
L4 47.10
=0,054 H.
A t=0 le condensateur est complètement chargé donc uc(0)=E or d’après le graphe uc(0) = 6 V d’où E=6 V.
Énoncé :
Un circuit RLC série est constitué d’une bobine d’inductance L=1H, de
résistance R et d’un condensateur de capacité C. Le condensateur est
initialement chargé. A la date t=0, on décharge le condensateur dans
la bobine et à l’aide d’un dispositif approprié on enregistre l’évolution
de l’intensité du courant i(t) dans le circuit.
uc(V)
t(ms)
10
20
30
R=10 Ω R1
R3
R2
uc(V)
t(ms)
10
20
30
R1
R2
R3
Exercice 1
Exercice 2
i(mA)
t(ms)

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1- Établir l’équation différentielle que vérifie l’intensité du courant dans le circuit. Montrer qu’elle s’écrit sous la
forme :
2
2
d i R di i 0
dt L dt LC
.
2- Exprimer l’énergie électromagnétique du circuit RLC en fonction de L, C, i et uc. Comment varie cette énergie au
cours du temps. Justifier la réponse.
3- Calculer la perte d’énergie entre les instants
13T
t4
et
29T
t4
. A quoi est due cette perte d’énergie ?
Corrigé :
1- D’après la loi des mailles :
uB + uc = 0
c
di
L Ri u 0
dt
, on dérive cette équation
2c
2du
d i di
L R 0
dt dt
dt
or
c
du
iC
dt
donc
c
du
i
C dt
d’où
2
2
d i di i
L R 0
dt C
dt
En divisant toute l’équation par L, on trouve :
2
2
d i R di i 0
L dt LC
dt
2- E = EL + Ec
22
c
11
E Li Cu
22
De même ici pour connaître le sens de variation de l’énergie totale E au cours du temps, on doit calculer sa
dérivée par rapport au temps :
2
2c
d(u )
dE 1 d(i ) 1
LC
dt 2 dt 2 dt
 c
cdu
dE 1 di 1
L.2i. C.2u .
dt 2 dt 2 dt
 c
cdu
dE di
L.i. u .C
dt dt dt
on a
c
du
iC
dt
, on peut alors mettre i en facteur
c
dE di
i(L u )
dt dt
d’après l’équation différentielle
c
di
L u Ri
dt
2
dE Ri 0
dt
, la dérivée est négative donc la fonction est décroissante d’où l’énergie totale du circuit diminue au
cours du temps.
3-
 A la date
13T
t4
, i(t) est maximale donc uc(t) est nulle à cette
date d’où :
i(t1) est notée I1max et uc(t1)=0 donc :
max
2
11
1
E t LI
2
A.N :
32
11
E t 1.(60.10 )
2
=18.10-4 J.
Rappel : Pour les grandeurs i(t) et uc(t) on a dit que si l’une est
extrêmale (càd minimale ou maximale) l’autre est nulle.( de
même pour i(t) et q(t) ).
Rappel mathématique :
2
d(f ) df
2f.
dt dt
{ (f2(x))’ = 2f(x)f’(x)}
Rappel mathématique : Pour connaître le sens de variation
d’une fonction f(x) on calcule sa dérivée.
L
C
i
uc
uB
i(mA)
t(ms)
t1
t2

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 A la date
29T
t4
, i(t) est minimale donc uc(t) est nulle à cette date d’où :
i(t2) est notée –I2max et uc(t2)=0 donc :
max max
22
2 2 2
11
E t L( I ) LI
22
A.N :
3 2 4
21
E t 1.( 40.10 ) 8.10 J
2
.
La perte d’énergie entre les instants t1 et t2 est égale à
E(t1) – E(t2) = 18.10-4 - 8.10-4 = 10.10-4 = 10-3 J.
Cette perte d’énergie est due à la dissipation d’énergie par effet joule dans la résistance interne de la bobine.
A retenir :
 La variation E = Efinale - Einitiale
 La perte E = Einitiale - Efinale