BAC LE DIPÔLE RL Exercices corrigés : Le dipôle RL

Exercices corrigés : Le dipôle RL BAC
LE DIPÔLE RL
Exercice 1
Enoncé :
On charge un condensateur de capacité C=47 µF avec un générateur de tension de f.e.m E puis on le place en
série avec une bobine idéale d’inductance L, un conducteur ohmique de résistance R réglable et un interrupteur
K. A la date t=0, on ferme l’interrupteur K. la tension uc aux bornes du condensateur est visualisée à l’aide d’un
ordinateur relié à une interface. On réalise plusieurs mesures en utilisant des valeurs de R différentes.
uc(V)
R=10
R
Ω
1
RR
1 3
R2
t(ms)
10
10
20 20
30
30
R3
R2
1- De quel type d’oscillations, le circuit est-il le siège dans chacun des trois cas ?
2- Classer, par ordre croissant, les résistances R1, R2 et R3. Justifier la réponse.
3a- Déterminer la pseudo-période T des oscillations.
b- Sachant que la pseudo-période est pratiquement égale à la période propreT0 avec T0  2 LC , calculer la
valeur de l’inductance L.
c- Donner, en le justifiant, la valeur de la fem E du générateur.
Corrigé :
1- Les chronogrammes obtenus pour différentes valeurs de R représentent une fonction périodique mais avec une
amplitude qui diminue au cours du temps donc le circuit est le siège d’oscillations pseudopériodiques.
2- Lorsqu’on augmente la valeur de R en régime pseudopériodique, le nombre d’oscillations diminue. D’après le
graphe : R2>R3>R1.
3a- D’après le graphe la pseudo-période T=10 ms =10-2 s.
b- T=T0 ; T 2  T02
T2  42LC d’où L 
T2
(102 )2
L

A.N
:
=0,054 H.
4 2 C
42 47.106
A t=0 le condensateur est complètement chargé donc uc(0)=E or d’après le graphe uc(0) = 6 V d’où E=6 V.
Exercice 2
i(mA)
Énoncé :
Un circuit RLC série est constitué d’une bobine d’inductance L=1H, de
résistance R et d’un condensateur de capacité C. Le condensateur est
initialement chargé. A la date t=0, on décharge le condensateur dans
la bobine et à l’aide d’un dispositif approprié on enregistre l’évolution
de l’intensité du courant i(t) dans le circuit.
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t(ms)
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1- Établir l’équation différentielle que vérifie l’intensité du courant dans le circuit. Montrer qu’elle s’écrit sous la
forme :
d2i R di
i


 0.
2
dt
L dt LC
2- Exprimer l’énergie électromagnétique du circuit RLC en fonction de L, C, i et uc. Comment varie cette énergie au
cours du temps. Justifier la réponse.
3- Calculer la perte d’énergie entre les instants t1 
9T
3T
et t 2 
. A quoi est due cette perte d’énergie ?
4
4
Corrigé :
1- D’après la loi des mailles :
uB + uc = 0
i
di
 Ri  uc  0 , on dérive cette équation
dt
du
du
d2i
di du
d2i
di i
i
L 2  R  c  0 or i  C c donc
 c d’où L 2  R   0
dt
dt
dt C
dt
dt
dt
C
dt
L
uB
uc
C
L
En divisant toute l’équation par L, on trouve :
d2i R di
i


0
2
L dt LC
dt
2- E = EL + Ec
E
1 2 1 2
Li  Cuc
2
2
Rappel mathématique : Pour connaître le sens de variation
d’une fonction f(x) on calcule sa dérivée.
De même ici pour connaître le sens de variation de l’énergie totale E au cours du temps, on doit calculer sa
dérivée par rapport au temps :
Rappel mathématique :
dE
dt
dE
dt
dE
dt
dE
dt
dE 1 d(i2 ) 1 d(uc2 )
 L
 C
dt 2 dt
2
dt
d(f 2 )
df
 2f. { (f2(x))’ = 2f(x)f’(x)}
dt
dt
du
1
di 1
L.2i.  C.2uc . c
2
dt 2
dt
duc
du
di
on a i  C c , on peut alors mettre i en facteur
 L.i.  uc .C
dt
dt
dt
di
di
 i(L  uc ) d’après l’équation différentielle L  uc   Ri
dt
dt

 Ri2  0 , la dérivée est négative donc la fonction est décroissante d’où l’énergie totale du circuit diminue au
cours du temps.
3Rappel : Pour les grandeurs i(t) et uc(t) on a dit que si l’une est
extrêmale (càd minimale ou maximale) l’autre est nulle.( de
même pour i(t) et q(t) ).

A la date t1 
3T
, i(t) est maximale donc uc(t) est nulle à cette
4
date d’où :
i(t1) est notée I1max et uc(t1)=0 donc :
E  t1  
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t(ms)
t1
t2
1 2
1
LI1max A.N : E  t1   1.(60.103 )2 =18.10-4 J.
2
2
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i(mA)
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
A la date t 2 
9T
, i(t) est minimale donc uc(t) est nulle à cette date d’où :
4
i(t2) est notée –I2max et uc(t2)=0 donc :
E  t2  
1
1
1
L( I2max )2  LI22max A.N : E  t 2   1.(40.103 )2  8.104 J .
2
2
2
A retenir :
 La variation E = Efinale - Einitiale
 La perte
E = Einitiale - Efinale
La perte d’énergie entre les instants t1 et t2 est égale à
E(t1) – E(t2) = 18.10-4 - 8.10-4 = 10.10-4 = 10-3 J.
Cette perte d’énergie est due à la dissipation d’énergie par effet joule dans la résistance interne de la bobine.
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