Chapitre 2 Analyse de circuits

Chapitre 2
Analyse de circuits
La transform´ee de Laplace a deux caract´eristiques qui la rende int´eressante pour l’analyse
de circuits. En premier, elle permet de transformer une s´erie d’´equations lin´eaires contenant
des d´eriv´ees et int´egrales en une s´erie d’´equations polynˆomial, qui sont plus simples `a ma-
nipuler. Deuxi`emement, les conditions initiales du circuit sont automatiquement prises en
consid´eration dans les ´equations polynˆomiales.
Dans ce chapitre, on commence en premier en montrant comment on peut sauter l’´etape
d’´ecrire l’´equation du circuit avec les d´eriv´ees et int´egrales et plutˆot ´ecrire directement les
´equations dans le domaine de Laplace. On verra aussi que toutes les techniques d’analyse de
circuits, comme les tensions de maille ou l’´equivalent Th´evenin, s’appliquent dans le domaine
de Laplace.
On verra ensuite le concept de fonction de transfert, et comment on peut s’en servir pour
l’analyse de circuits.
2.1 ´ El´ements de circuit dans le domaine de Laplace
La m´ethode utilis´ee pour transformer les ´el´ements de circuit dans le domaine de Laplace
est tr`es simple. On ´ecrit en premier la relation v−ide l’´el´ement, puis on utilise la transform´ee
de Laplace sur cette ´equation.
Note : les tensions dans le domaine de Laplace ont une unit´e de volt-seconde, tandis que
les courants sont en amp`ere-seconde.
1

CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
2.1.1 R´esistance
La loi qui relie la tension au courant pour une r´esistance est la loi d’Ohm :
v=Ri (2.1)
On applique la transform´ee de Laplace aux deux cˆot´es de l’´equation :
V=RI (2.2)
La relation est la mˆeme que dans le domaine du temps. Une r´esistance de ROhm dans le
domaine du temps est une r´esistance de ROhm dans le domaine de Laplace, comme `a la
figure 2.1.
R
v(t)
+
–
V
+
–
R
Domaine
du temps Domaine de Laplace
Fig. 2.1 – R´esistance dans le domaine de Laplace.
Note : On utilise des lettres majuscules pour repr´esenter les variables dans le domaine
de Laplace. De plus, on enl`eve le (s) pour chaque variable, car il est implicite que sest la
variable utilis´ee.
2.1.2 Inductance
L’´equation qui relie la tension au courant d’une inductance est :
v=Ldi
dt (2.3)
La transform´ee de Laplace donne :
V=L(sI −i(0−)) = sLI −LI0(2.4)
Selon l’´equation 2.4, la transform´ee de Laplace d’une inductance est une inductance
d’imp´edance sL en s´erie avec une source de tension de valeur LI0, comme `a la figure 2.2.
On peut aussi transformer la source de tension en une source de courant, en utilisant une
´equivalence Th´evenin-Norton.
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CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
I
0
L
v(t)
+
–
sL
LI
0
sL
s
Domaine
du temps Domaine de Laplace
V
+
–
Fig. 2.2 – Inductance dans le domaine de Laplace.
2.1.3 Capacitance
Une capacitance initialement charg´ee aura aussi deux circuits ´equivalents dans le domaine
de Laplace. L’´equation qui relie la tension au courant est :
i=Cdv
dt (2.5)
On transforme cette ´equation dans le domaine de Laplace :
I=C(sV −v(0−)) (2.6)
ou
I=sCV −CV0(2.7)
On peut transformer pour isoler la tension :
V=µ1
sC ¶I+V0 s(2.8)
Selon l’´equation 2.8, la transform´ee de Laplace d’une capacitance est une capacitance
d’imp´edance 1/sC en s´erie avec une source de tension V0/s, comme `a la figure 2.3. On peut
aussi utiliser un mod`ele avec une source de courant.
2.2 Analyse de circuits dans le domaine s
Avant de commencer l’analyse de circuits dans le domaine de Laplace, il faut en premier
quelques r`egles.
Premi`erement, si aucune ´energie n’est stock´ee dans une inductance ou capacitance, la
relation entre la tension aux bornes et le courant prend la forme de :
V=ZI (2.9)
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CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
CV
0
C
v(t)
+
–
sC
V
0
s
Domaine
du temps Domaine de Laplace
V
+
–
1
sC
1
Fig. 2.3 – Capacitance dans le domaine de Laplace.
o`u Zest l’imp´edance dans le domaine sde l’´el´ement. Une r´esistance a donc une imp´edance
de R, une inductance une imp´edance de sL, et une capacitance une imp´edance de 1/sC.
Les r`egles pour combiner des imp´edances (ou admittances) dans le domaine de Laplace
sont les mˆemes que celles dans le domaine du temps. Les simplifications s´erie-parall`ele et ∆-Y
sont applicables. Les lois de Kirchhoff s’appliquent dans le domaine de Laplace de la mˆeme
fa¸con. De plus, toutes les techniques d’analyse de circuits (comme les tensions de maille ou
l’´equivalent Th´evenin) s’appliquent de la mˆeme fa¸con.
2.3 Applications
On va maintenant utiliser la transformer de Laplace pour d´eterminer le comportement
transitoire de circuits. On fera en premier l’analyse de circuits connus comme RC et RLC,
pour ensuite faire l’analyse de circuits plus complexes.
2.3.1 Circuit RC
On analyse en premier un circuit RC. La capacitance est charg´ee avec une tension initiale
de V0volts, et on cherche l’expression de la tension et du courant dans le domaine du temps.
Le circuit RC et son ´equivalent dans le domaine de Laplace sont montr´es `a la figure 2.4.
Si on fait la somme des tensions dans la boucle, on obtient :
V0
s=1 sC I+RI (2.10)
On isole pour I,
I=CV0
sRC + 1 =V0/R s+ 1/RC (2.11)
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CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
C
R
i
t = 0
v
C
R
I
V
0
s
sC
1
Fig. 2.4 – Circuit RC
Cette derni`ere ´equation est sous la forme d’une des transform´ee de Laplace vue au chapitre
pr´ec´edent. On peut donc donner l’expression de i(t) :
i=V0
Re−t/RC u(t) (2.12)
ce qui est la mˆeme expression que celle obtenue avec les ´equations diff´erentielles.
On peut calculer la tension aux bornes de la r´esistance :
v=Ri =V0e−t/RC u(t) (2.13)
On aurait aussi pu calculer Vdirectement en utilisant le circuit ´equivalent avec une source
de courant dans la figure 2.4.
2.3.2 R´eponse ´echelon d’un circuit RLC parall`ele
On analyse maintenant un circuit RLC parall`ele. On cherche le courant iLapr`es que la
source de courant continue soit appliqu´ee sur les ´el´ements en parall`ele, comme `a la figure 2.5.
L’´energie initiale du syst`eme est nulle.
C
L
R
I
dc
t = 0 i
L
25nF 625
Ω
25mH
24mA
Fig. 2.5 – Circuit RLC
Il faut transformer le circuit dans le domaine de Laplace. Lorsque l’interrupteur sera
ouvert, la source de courant Idc sera appliqu´ee aux ´el´ements en parall`ele. Ceci produit le
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