Théorie de la diffusion pour l`opérateur de Schrödinger

Th´eorie de la diffusion pour l’op´erateur de
Schr¨odinger
Roux Ph.
Table des mati`eres
1 La m´ecanique quantique 2
1.1 Les fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 L’´equation de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Les relations avec la th´eorie classique . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Th´eorie de la diffusion 6
2.1 Une exp´erience de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 L’approche quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 L’approche math´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Mon travail de recherche 12
1

Introduction
La description classique des objets peut ˆetre mod´elis´ee par la donn´ee
d’un couple ³−−→
x(t),−−→ v(t)´de vecteurs symbolisant la position et la vitesse
de la particule ´etudi´ee . Si l’on adjoint `a cette repr´esentation le principe
fondamental de la dynamique :
Σ−−−−→ forces =masse ×−−−−−−−−→ acc´el´eration
⇐⇒ −→ F(−→ x(t),−→ v(t)) = m−−→ a(t) = md2−−→
x(t)
dt2=md−−→
v(t)
dt
on obtient le cadre g´en´eral de la physique classique . Par sa simplicit´e, pen-
dant pr`es de deux si`ecles la physique classique a permis de comprendre la
plupart des ph´enom`enes observables : mouvements d’objets, m´ecanique des
milieux continus, thermodynamique statistique ... . Cependant `a l’aube du
XXi`eme si`ecle plusieurs nouveaux probl`emes se posent :
•impossibilit´e d’expliquer les nombreuses constante ” fondamentales” qui
apparaissent dans chaque situation
•le caract`ere discontinu du rayonnement ´emit par le corps noir
•mise en ´evidence du comportement ondulatoire, dans certaines conditions,
de faisceaux de particules (interf´erences) et le caract`ere corpusculaire de la
lumi`ere (effet photo-´electrique) non expliqu´e par la th´eorie ondulatoire .
L’explication de tous ces ph´enom`enes par un formalisme unique marque la
naissance de la physique quantique .
1 La m´ecanique quantique
1.1 Les fondements
2

La premi`ere pierre de cet ´edifice est apport´e par Max Planck qui isole la
constante fondamentale de l’univers quantique suite `a l’´etude du rayonnement
du corps noir(vers 1900) :
h= 6.625 10−34 U.S.I., ~=h
2π≈10−34 U.S.I. (1)
L’analyse dimensionnelle de ham`ene `a introduire l’action d’un syst`eme quan-
tique, d´efinie par combinaisons des donn´ees du syst`eme ayant la mˆeme di-
mension que ~:
[S] = [~] = [masse][longueur]2[temps]−1
= [´energie][temps]
= [quantit´e de mouvement][longueur]
Le domaine d’application de la physique quantique recouvre l’ensemble des
syst`emes pour lesquels Sest de l’ordre de ~(S≈~) .
En 1924 Louis De Broglie pose, dans sa th`ese, la correspondance entre
ondes et particules (dualit´e onde -corpuscule) en leur substituant le concept
de quantum . Pour le faire il associe `a toute particule de quantit´e de mouve-
ment −→ p(d’´energie E) une onde de vecteur d’onde −→ k(de pulsation ω) telle
que :
−→
k=−→
p
~E=~ω(2)
Cette hypoth`ese ´elargie les relations de Einstein-Planck, ´etablient dans les
cas du corps noir et de l’effet photo-´electrique, `a l’ensemble des particules
et permis d’expliquer les ph´enom`enes d’interf´erence entre faisceaux de parti-
cules .
1.2 L’´equation de Schr¨odinger
C’est Erwin Schr¨odinger qui en 1926 ´etablit l’´equation que doit v´erifier la
fonction d’onde ψ(−→ x , t) d’une particule quantique de masse m plong´ee dans
un champs ´electrique V. Pour cela il proc`ede par analogie avec le mod`ele
ondulatoire de la lumi`ere en posant qu’une particule libre de quantit´e de
mouvement −→ p=m−→ vest d´ecrite par une onde plane
ψ(−→ x , t) = a ei(−→
k.−→
x−ωt)=a ei(−→ p.−→ x−Et)/~.
3

On a les calculs suivants :
i~∂tψ(−→
x , t) = ~ωψ(−→ x , t) = Eψ(−→ x , t)
−∆xψ(−→
x , t) = k2ψ(−→ x , t) = m2v2
~2ψ(−→
x , t) = 2m
~2Ecψ(−→
x , t)
o`u Ecest l’´energie cin´etique de la particule et E est l’´energie totale de la
particule . Donc en ´ecrivant le th´eor`eme de l’´energie m´ecanique E=Ec+
V(−→ x , t) on obtient :
i~∂tψ(−→
x , t) = −~2
2m∆xψ(−→
x , t) + V(−→ x , t)ψ(−→ x , t) (3)
On impose la condition de normalisation suivante pour l’amplitude de la
fonction d’onde du syst`eme :
µZR3|ψ(−→
x , t)|2dx¶1
2
=nombres de quantums d´ecrit par ψ
Avec ce mod`ele les quantit´es physiques observables sont d´efinis comme suit :
< xj>=ZR3
xj|ψ(−→ x , t)|2dx
< vj>=ZR3
vj|ψ(−→ x , t)|2dx =ZR3−i~∂xjψ(−→ x , t)ψ(−→ x , t)dx
on peut de mˆeme associer `a toute quantit´e classique a(−→ x , −→ v) l’op´erateur
pseudo-diff´erentiel a(x, −i~∇x), c’est le principe de correspondance . Par
exemple le moment cin´etique est repr´esent´e par l’op´erateur A=~
2i(x.∇x+
∇x.x). Ainsi |ψ|2peut ˆetre interpr´et´e comme la densit´e de probabilit´e de
pr´esence de la particule consid´er´ee . Cette approche peut ˆetre g´en´eralis´e de
la mani`ere suivante :
th´eor`eme 1
A tout syst`eme quantique on associe un espace de Hilbert (H;<, >)dont
les ´el´ements sont appel´es fonctions d’onde . A chaque grandeur physique,
r´eelle, de ce syst`eme on associe un op´erateur A sur H, auto-adjoint, appel´e
observable et on admet que la valeur physique observ´ee pour un quantum
d´ecrit par la fonction d’onde ψest < Aψ, ψ >∈σ(A). si H est l’op´erateur
d’´energie, l’´equation d’´evolution du quantum s’´ecrit :
i~∂tψ=Hψ
4

Ces axiomes permettent d’expliquer le caract`ere discret de certaines ob-
servable, comme pour le mode d’´emission du corps noir . Dans l’exemple
pr´ec´edant H=L2(R3) .
1.3 Les relations avec la th´eorie classique
La validit´e de l’´equation de Schr¨odinger impose que lorsque l’on se place
dans les conditions de la physique classique on retrouve les ´equation de la
m´ecanique classique . On peut le v´erifier ais´ement .Si on ´ecrit ψ(x, t) =
a(x, t)eiS(x,t)/~avec a, S ∈Ret qu’on applique l’´equation de Schr¨odinger on
obtient :
½a∂tS−~2
2m∆xa+a 2m|∇xS|2+V a = 0
∂ta+a
m∇xa.∇xS+a 2m∆xS= 0
la seconde ´equation peut ˆetre r´e´ecrite comme la conservation de la probabilit´e
totale (ou du flux) :
∂t(a2) + div µa2∇xS
m¶= 0
Pour la premi`ere ´equation on consid`ere Scomme l’action quantique du sys-
t`eme et dans le cas o`u S >> ~on peut n´egliger le terme en ~2et on obtient
l’´equation :
∂tS+1
2m|∇xS|2+V= 0
qui est bien l’´equation d’Hamilton-Jacobi classique pour l’action S(−→ x , t) =
−→
p .−→ x−Et que l’on trouve en utilisant la conservation de l’´energie et la
d´efinition −→ p=m−→ v. Cependant la vision probabiliste apport´ee par la
th´eorie quantique nous am`ene `a souligner un ph´enom`ene nouveau pour la
physique classique : les relations d’incertitudes de Heinsenberg . Pour une
fonction d’onde ψet une observable Aon a d´ej`a d´efini la valeur moyenne
< A > qui repr´esente la valeur observ´ee pour A dans une exp´erience . On
peut aussi d´efinir l’´ecart type de l’observable A:δA = (< A2>−<A>2)1
2
.
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