Arithmétique exercices

Terminale S 1 F. Laroche
Arithmétique exercices
Terminale S
Arithmétique exercices
1. Divers
2. Bézout
3. Quadratique
4. Divisibilité
5. Equation diophantienne
6. Equation diophantienne (2, Caracas 01_04)
7. Base de numération
8. Base de numération 3
9. Somme des cubes
10. PGCD
11. Somme des diviseurs
12. Banque exercices 2004 - 29
13. Banque exercices 2004 - 30
14. Banque exercices 2004 - 31
15. Banque exercices 2004 - 32
16. Banque exercices 2005 - 26
17. Banque exercices 2005 - 38
18. Polynésie, juin 2006 (c)
19. National, juin 2006 (c)
20. Centres étrangers, juin 2006
21. Asie, juin 2006
22. Amérique du Sud, sept. 2005
23. National, sept. 2005
24. Antilles, juin 2005
25. Centres étrangers, juin 2005 (c)
26. Liban, juin 2005
27. Polynésie, juin 2005
28. La Réunion, juin 2005
29. Nouvelle-Calédonie, nov 2004 (c)
30. Antilles, sept 2004
31. Asie, juin 2004
32. Centres étrangers, juin 2004
33. National, juin 2004 (c)
34. La Réunion, juin 2004
35. Nouvelle Calédonie, sept 2003
36. Antilles-Guyane, sept 2003
37. France, sept 2003
38. Polynésie, sept 2003
39. Antilles-Guyane, juin 2003
40. Asie, juin 2003
41. Liban, mai 2003
42. Amérique du Sud, décembre 2002
43. Nouvelle-Calédonie, novembre 2002
44. France, septembre 2002
45. Asie, juin 2002
46. Centres étrangers, juin 2002
47. France, juin 2002
48. Polynésie, juin 2002
49. Amérique du Nord, mai 2002
50. Nouvelle Calédonie, décembre 2001
51. Antilles, septembre 2001
52. Amérique du Sud, septembre 2001
53. France, juin 2001
54. Centres étrangers, juin 2001
55. Antilles, juin 2001
56. Amérique du Nord, juin 2001
57. Pondichéry, juin 2001
58. N. Calédonie, juin 2001
59. Polynésie, juin 2001
60. Liban, mai 2000 (c)
61. Pondichéry, mai 1999 (c)
62. Nombres de Farey et approximation d’un
rationnel par un rationnel
1. Divers
1-a : Division Euclidienne - 1 (c)
Dans une division euclidienne entre entiers naturels quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le
dividende est 320 et le reste 39 ?
Correction
On a
320 39 320 39 281
q b q b= × + ⇔ × = − = . Cherchons les diviseurs de 281 : 1 et 281. Ce sont les seules
valeurs possibles de q et b.
1-b : Division Euclidienne-2
Quel est le nombre de diviseurs de 2880 ?
1-c : Division Euclidienne-3 (c)
1. Écrire l'ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6.
2. Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 4 divise 6.
3. Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 4 divise n + 2.
4. Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n − 4.

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Correction
1. L'ensemble des diviseurs de 6 est D = {−6 ; −3 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6}.
2. n − 4 divise 6 si n − 4 appartient à D, soit si n appartient à D + 4 = {−2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10}.
3. On peut remarquer que n + 2 = n − 4 + 6. Puisqu'il est évident que n − 4 divise n − 4, le résultat du 2.
permet alors d'affirmer que si n − 4 divise n + 2, alors n − 4 divise n + 2 − (n − 4) c'est-à-dire n − 4 divise
6.
Réciproquement si n − 4 divise 6 alors n − 4 divise 6 + n − 4 c'est-à-dire n − 4 divise n + 2. On a donc
démontré que n − 4 divise n + 2 si et seulement si n − 4 divise 6.
4. On peut raisonner en utilisant le même principe qu'à la question précédente. On remarque que
3n − 4 = 3(n + 1) − 7,
et puisqu'il est immédiat que n + 1 divise 3(n + 1), on peut écrire :
- si n + 1 divise 3n − 4, alors n + 1 divise 3n − 4 − 3(n + 1) c'est-à-dire n + 1 divise −7 ;
réciproquement : si n + 1 divise −7 alors n + 1 divise −7 + 3(n + 1) c'est-à-dire n + 1 divise 3n − 4.
L'ensemble des diviseurs de −7 (ou de 7) étant {−7 ; −1 ; 1 ; 7}, on en déduit que n + 1 divise 3n − 4 si et
seulement si n + 1 appartient à {−7 ; −1 ; 1 ; 7} soit n appartient à {−8 ; −2 ; 0 ; 6}.
1-d : Multiples - 1
a et b sont deux entiers relatifs. Démontrez que si a
2
+b
2
est divisible par 7 alors a et b sont divisibles par 7.
1-e : PGCD - 1 (c)
Trouvez le PGCD des nombres 1640 et 492 en utilisant la décomposition en facteurs premiers, puis en
utilisant l’algorithme d’Euclide.
Correction
Avec l’aide de Maple on a immédiatement :
> ifactor(1640); ifactor(492);
( ) 2
3
( ) 5 ( ) 41
( ) 2
2
( ) 3 ( ) 41
et le PGCD :
2
2 .41 164
= . Avec Euclide :
1640 492 3 164
492 164 3 0
= × +
= × +
donc…
1-f : PPCM et PGCD - 2
Trouvez les deux nombres a et b sachant que leur PGCD est 24 et leur PPCM est 1344.
1-g : PPCM et PGCD - 3
Trouvez deux entiers dont la différence entre leur PPCM et leur PGCD est 187.
1-h : Théorème de Gauss-1
1. a est un entier naturel. Montrez que a
5
– a est divisible par 10.
2. a et b sont des entiers naturels avec
a b
≥
. Démontrez que si a
5
− b
5
est divisible par 10 alors a
2
– b
2
est
divisible par 20.
1-i : Bases de numération-1
Trouvez toutes les valeurs des chiffres x et y telles que le nombre
26 95
n x y
= dans le système décimal soit
divisible par 3 et 11.
1-j : Bases de numération-2
A est le nombre qui s’écrit 16524 dans le système à base 7. Ecrivez ce nombre en bases 10, puis 2 et enfin 16
(tous les calculs doivent apparaître).

Terminale S 3 F. Laroche
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1-k : Bases de numération-3
Le nombre N s’écrit 23 dans le système décimal. Peut-il s’écrire 27 dans une autre base ?
1-l : Congruences-1 (c)
Quel est le reste de la division par 7 du nombre (32)
45
Correction
Le reste de 32 dans la division par 7 est 4 ; 4
2
donne 2, 4
3
donne 8, soit 1 ; comme 45 = 15.3, on a :
(
)
( )
15 15
45 45 3
32 4 (7) 4 (7) 1 (7) 1(7)
≡ ≡ ≡ ≡ .
Le reste est donc 1.
1-m : Congruences-2
Démontrez que le nombre
2 2
( )
n ab a b
= − est divisible par 3 pour tous les entiers relatifs a et b.
1-n : Congruences-3 (c)
1. Déterminer les restes de la division de 5
p
par 13 pour p entier naturel.
2. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 31
4n+1
+ 18
4n−1
est
divisible par 13.
Correction
1. p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = 2 : −1 ou 12, p = 3 : −5 ou 8, p = 4 : 1 donc
pour
4
p k
= le reste est 1,
pour
4 1
p k
= +
le reste est 5,
pour
4 2
p k
= +
le reste est 12 ou −1,
pour
4 3
p k
= +
le reste est 8 ou −5.
2.
4 1 4 1
31 18
n n
N
+ −
= +
:
31 2 13 5 5(13)
= × + ≡ et
18 13 1 5 5(13)
= × + ≡ ; on a donc
4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 ' 3
31 18 5 5 (13) 5 5 (13) [5 8](13) 0(13)
n n n n n n
N
+ − + − + +
= + ≡ + ≡ + ≡ + ≡ .
1-o : Divers-1
Un nombre qui s’écrit avec 4 chiffres identiques peut-il être un carré parfait (carré d’un nombre entier) ?
1-p : Divers-2
Démontrez qu’un entier congru à 7 modulo 8 ne peut être égal à la somme de trois carrés.
1-q : Divers-3
a et b sont deux entiers positifs premiers entre eux. Montrez que a + b et a − b sont premiers entre eux.
1-r : Divers-4
On considère la fraction
3
2 1
n n
n
+
+
avec n entier positif.
a. prouvez que tout diviseur commun d à 2n + 1 et n
3
+ n est premier avec n.
b. Déduisez en que d divise n
2
+ 1, puis que d = 1 ou d = 5.
c. Quelles sont les valeurs de n pour lesquelles la fraction est irréductible ?
1-s : Nombres Premiers-1
Le nombre 401 est-il premier ? Résolvez en entiers naturels l’équation
2 2
401
x y− = .
1-t : Nombres Premiers-2
p et q sont des entiers naturels.

Terminale S 4 F. Laroche
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1. Démontrez que
2 1
pq
−
est divisible par
2 1
p
−
et par
2 1
q
−
.
2. Déduisez en que pour que
2 1
n
−
soit premier, il faut que n soit premier.
3. Prouvez à l’aide d’un contre-exemple que la condition « n est premier » n’est pas suffisante pour que
2 1
n
−
soit premier.
1-u : Nombres Premiers-3
Soit p un entier premier. Montrer que si
5
p
≥
alors 24 divise
2
1
p
−
.
1-v : Démonstration de Fermat
Soit p, un entier naturel premier.
1. a. Démontrer que si k est un entier naturel tel que
1 1
k p
≤ ≤ −
, le nombre
p
k
est divisible par p.
1. b. En déduire que, quel que soit l'entier n, le nombre (n + 1)
p
– n
p
–1 est divisible par p.
2. Démontrer que, quel que soit l'entier naturel n, n
p
– n est divisible par p (on pourra faire un
raisonnement par récurrence).
3. Montrer que pour tout entier n premier avec p, n
p−1
– 1 est divisible par p.
2. Bézout
2-a : Bezout-1
1. En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le PGCD des nombres 28 et 31. Trouver alors deux
nombres x et y entiers relatifs tels que 31x − 28y = 1.
2. Résoudre dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation 31x − 28y = 414.
3. Le plan est rapporté au repère orthonormal
( ; , )
O i j
.
On donne les points A(−30 ; – 48) et B(82 ; 76). On appelle (D) la droite (AB).
a. Trouver l’ensemble des points M(x ; y) de (D) dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.
b. Le repère utilisé pour le graphique est gradué de –10 à +10 en abscisses et de –14 à +14 en ordonnées.
Vérifiez et expliquez pourquoi il n’y a pas de point de (D) à coordonnées entières visible sur le graphique.
c. Pour remédier à l’inconvénient du 3.b. on décide d’agrandir la fenêtre à [−40 ; +40] en abscisses et à
[−50 ; +10] en ordonnées. Combien y-a-t-il de points de (D) à coordonnées entières sur ce nouveau
graphique ? Faire la figure.
2-b : Bezout-2
1. Résoudre dans
ℤ
x
ℤ
l’équation 13x − 23y = 1.
2. Résoudre dans
ℤ
x
ℤ
l’équation –156x + 276y = 24.
2-c : Bezout-3
1. Démontrer que, pour que la relation suivante
3
9 4
y
x
− =
soit satisfaite, pour x et y entiers naturels, il faut
prendre x et y de la forme :
9( 3)
x k
= +
et
4
y k
=
avec k entier naturel.
2. Démontrer que le PGCD de x et y ne peut être qu’un diviseur de 108.
3. On pose m = PPCM(x ; y) et on envisage la décomposition de m en facteurs premiers. Comment faut il
choisir k pour que :
a. m ne contienne pas le facteur 2 ?
b. m contienne le facteur 2 ou le facteur 2
2
?
c. m ne contienne pas le facteur 3 ?
d. m contienne le facteur 3, ou le facteur 3
2
, ou le facteur 3
3
?

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Arithmétique exercices
4. Comment faut-il choisir x et y de telle façon que l’on ait PGCD(x ; y) = 18 ?
2-d : Bezout-4
1. Décomposer 319 en facteurs premiers.
2. Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour les
nombres 3x + 5y et x + 2y.
3. Résoudre dans
2
ℤ
le système d’inconnues a et b :
(3 5 )( 2 ) 1276
2
a b a b
ab m
+ + =
=
où m est le PPCM de a et b.
2-e : Bezout-5
Au 8° siècle, un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une
auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y
avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
3. Quadratique
Bac 2000 ( ?)
1. Soit x un entier impair. Quel est le reste de la division de x
2
par 8 ?
2. Résoudre dans
ℤ
x
ℤ
l’équation
2
8 1
x y
= +
.
3. On veut tracer sur l’écran d’une calculatrice comportant 320 points de large sur 200 points de haut les
points à coordonnées entières de la courbe d’équation
2
1 1
8 8
y x
= −
.
Le repère choisi a son origine en bas à gauche de l’écran, et chaque point de l’écran a pour coordonnées sa
position à l’écran – 1 (par exemple, le point en haut à droite aura pour coordonnées (319 ; 199)). Combien
de points pourra-t-on tracer ?
4. Divisibilité
Le nombre n est un entier naturel non nul. On pose a = 4n + 3 et b = 5n + 2. On note d le PGCD de a et b.
1. Donner la valeur de d dans les cas suivants : n=1, n=11, n=15.
2. Calculer 5a – 4b et en déduire les valeurs possibles de d.
3. a. Déterminer les entiers naturels n et k tels que 4n + 3 = 7k.
b. Déterminer les entiers naturels n et k’ tels que 5n + 2 = 7k’.
4. Soit r le reste de la division euclidienne de n par 7. Déduire des questions précédentes la valeur de r pour
laquelle d vaut 7. Pour quelles valeurs de r, d est-il égal à 1 ?
5. Equation diophantienne
1. On admet que 1999 est un nombre premier. Déterminer l’ensemble des couples (a, b) d’entiers naturels
tels que a + b = 11994 et dont le PGCD vaut 1999.
2. On considère l’équation (E) : n
2
–Sn+11994 = 0 où S est un entier naturel. On s’intéresse à des valeurs
de S telles que (E) admette deux solutions dans
ℤ
a. Peut on trouver S tel que 3 soit solution de (E) ? Si oui, préciser la deuxième solution.
b. Même question avec 5 ?
c. Montrer que tout entier n solution de (E) est un diviseur de 11994. En déduire toutes les valeurs possibles
de S.
6. Equation diophantienne (2, Caracas 01_04)
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres
a = n
3
– n
2
– 12n et b = 2n
2
– 7n – 4.
1. Montrer, après factorisation, que a et b sont divisibles par n – 4.