ÉNERGIE D`UN POINT MATÉRIEL

ÉNERGIE D’UN POINT MATÉRIEL
I. DÉFINITIONS QUALITATIVES
Un système possède de l’énergie s’il peut fournir du travail.
Exemple : point matériel soumis uniquement à la pesanteur. Il peut fournir du travail en modifiant sa position ou sa
vitesse.
Plus généralement : Un point matériel possède de l’énergie potentielle si du travail peut être fourni par modification de sa
position. Un point matériel possède de l’énergie cinétique si du travail peut être fourni par modification de sa vitesse.
II. PUISSANCE – TRAVAIL
II.1 Puissance d’une force
G
G
Soit M un point matériel de vitesse v ( M )ℜ dans le référentiel ℜ . La puissance de la force f à laquelle le point M est
soumis à un instant t est :
G
f
G
v
M
G G
P ( t ) = f ⋅ v ( M )ℜ
•
•
La puissance s’exprime en Watt (symbole W)
G
G
La puissance dépend du référentiel. En effet, v ( M )ℜ dépend du référentiel et f ne dépend pas du
référentiel.
II.2 Travail d’une force
a) Travail élémentaire
JJG G
JJG
On note dl le déplacement élémentaire du point M pendant dt. On a vu que dl = v dt .
G
On note δ W le travail élémentaire de la force f pendant dt.
δ W = P ( t ) dt
• Le travail élémentaire s’exprime en Joule (symbole J)
• Le travail élémentaire dépend du référentiel.
G G
G JJG
On donne une autre expression du travail élémentaire : δ W = P ( t ) dt = f ⋅ v dt = f ⋅ dl
G JJG
δ W = f ⋅ dl
JJG
Pour calculer dl , on utilisera les coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques ou l’abscisse curviligne :
JJG
G
G
G
G JJG
G
G
G JJG
G
G
G JJG
dl = dx u x + dy u y + dz u z ; dl = dr ur + rdθ uθ + dz u z ; dl = dr ur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ ; dl = ds uT
b) Travail le long d’un chemin de A vers B
G
Le point M se déplace de A vers B le long du chemin Γ . Pour calculer le travail de la force f entre A (instant tA) et
B
B (instant tB), il faut faire la somme de tous les travaux élémentaires : WA→B( Γ ) = ∫ δ W .
A
G
f
Γ
M
B
G
v
A
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t
G G
WA→B( Γ ) = ∫ f ⋅ v dt
B
tA
G JJG
B
WA→B( Γ ) =
∫ f ⋅ dl
A
On va voir dans les exemples dans le paragraphe suivant que le travail d’une force dépend a priori du chemin suivi.
Il faut donc préciser le point de départ, le point d’arrivée et le chemin suivi.
III. EXEMPLES DE CALCULS DE TRAVAUX
z
III.1 Force de pesanteur terrestre ou poids d’un corps
On cherche à calculer le travail du poids entre A et B le long du chemin Γ .
1ère méthode : Calculer le travail élémentaire en choisissant une base de
projection convenable et intégrer.
JJG
G
G
G
G
G
G
coordonnées cartésiennes : P = mg = − mg u z et dl = dx u x + dy u y + dz u z
G JJG
δ W = P ⋅ dl = − mg dz
Il reste à intégrer entre A et B :
WA→B( Γ ) =
∫
B
A
−mg dz = − mg [ z ]z = − mg ( z B − z A )
zB
G
g
A
Γ
B
y
O
x
A
Interprétation physique :
• Le travail ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement du point de départ A et du point d’arrivée B, on dit que
le poids est une force conservative.
• Si z A > z B , on pose h = z A − z B , W = mgh > 0 .
Si le travail est positif, la force est motrice.
•
Si z A < z B , on pose h ' = z B − z A ; W = −mgh ' < 0 .
Si le travail est négatif, la force est résistante.
2ème méthode : utilisation de l’énergie potentielle. Elle sera utilisée de façon systématique quand on connaît l’énergie
potentielle d’une force. Voir paragraphe sur l’énergie potentielle.
III.2 Oscillateur harmonique spatial
G
JJJJG
On considère une force : f = − k OM . Le point M peut se déplacer dans tout l’espace. On utilisera les coordonnées
sphériques car on peut projeter facilement cette force dans la base des coordonnées sphériques :
G
JJJJG
G JJG
G
G
G
f = −k OM = − k r ur ; dl = dr ur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ
G JJG
On en déduit : δ W = f ⋅ dl = − k r dr
B
1
Le travail de la force entre A et B le long d’un chemin Γ est : WA→B( Γ ) = ∫ − kr dr = − k ( rB2 − rA2 )
A
2
Le travail ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement du point de départ A et du point d’arrivée B, c’est une force
conservative.
III.3 Force de frottement fluide
Une force de frottement est toujours opposée à la vitesse. La force de frottement fluide est proportionnelle à la vitesse.
G
G
On a alors : f = −λ v .
On considère deux chemins :
t
t
G G
G G
G G
• chemin Γ1 : A → B → A . WA→B→C = A( Γ ) = ∫ −λ v ⋅ vdt − ∫ λ v ⋅ v dt < 0 car v ⋅ v = v 2 > 0
B
1
•
tA
C
tB
chemin Γ1 : A → A . WA→ A( Γ ) = 0 Pas de déplacement du point M.
2
Le travail dépend du chemin suivi, c’est une force non conservative.
Toutes les forces de frottement sont résistantes, les travaux sont donc négatifs. Ce sont des forces non
conservatives.
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III.4 Force de frottement solide
Cette force est plus délicate à manipuler que la force de frottement fluide car sa norme est constante mais sa direction
change au cours du temps et elle n’a pas d’expression simple dans les bases utilisées usuellement : coordonnées
cartésiennes, cylindriques et sphériques.
G
G
G
On va la projeter suivant le vecteur unitaire uT (voir chapitre sur la vitesse) : f = − f 0 uT avec f0 = cte
B
Γ
M
G
G
f = − f 0 uT
A
G
uT
G
G JJG
G
f = − f 0 uT ; dl = ds uT
G JJG
Le travail élémentaire vaut : δ W = f ⋅ dl = − f 0 ds .
Le travail de A à B le long du chemin Γ vaut :
Force de frottement solide : WA→B( Γ ) = − f 0 ( sB − s A )
Interprétation physique :
• Le travail dépend du chemin suivi, ce n’est pas une force conservative.
• Le signe – s’interprète puisque la force de frottement est résistante.
AB représente la distance parcourue par le point M entre A et B.
• s désigne l’abscisse curviligne. s − s = p
B
A
IV. FORCES CONSERVATIVES – ÉNERGIE POTENTIELLE
IV.1 Définition d’une force conservative
G
Une force f est conservative si le travail de la force ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement du point de
départ A et du point d’arrivée B.
G G
G
On appelle champ de force f ( r ) l’ensemble des forces f ( M ) en tous les points d’un certain domaine de l’espace.
Un champ de force défini dans un certain domaine de l’espace est dit conservatif si son travail est indépendant du chemin
suivi, quel que soit le déplacement envisage dans le domaine de définition.
Pour un parcours fermé A = B, on a alors W = 0 pour une force conservative. Il suffit d’imaginer un déplacement de
longueur nulle…
G JJG
Pour une force conservative, quelque soit le chemin fermé, W = v
∫ f ⋅ dl = 0
Le symbole « rond » dans l’intégrale rappelle que le chemin est fermé.
IV.2 Énergie potentielle d’un point matériel
a) Première définition
On dit qu’un champ de force permanent (c'est-à-dire indépendant du temps) dérive d’une énergie potentielle Ep
JJG
si et seulement si il existe une fonction Ep telle que pour tout déplacement élémentaire dl , on peut écrire :
δ W = −dE p (eq.1)
b) Deuxième définition équivalente
JJG
Au lieu de considérer un déplacement élémentaire dl , on considère un déplacement entre A et B. Il suffit d’intégrer
la
relation
précédente
entre
A
et
B le
long
d’un
chemin
Γ
:
B
B
A
A
WA→B( Γ ) = ∫ δ W = ∫ −dE p = −  E p  A = − ( E p ( B ) − E p ( A ) ) .
B
On a donc une deuxième relation équivalente à la précédente :
WA→B = −∆E p = − ( E p ( B ) − E p ( A) ) (eq.2)
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Interprétation physique pour une force qui dérive d’une énergie potentielle :
G
• La force f est conservative, puisque son travail ne dépend que du point de départ et du point d’arrivée.
•
•
L’énergie potentielle est définie à une constante additive près puisque sa définition ne fait intervenir
que la différentielle de Ep ou la variation de Ep.
Attention aux notations : δ W est une notation dans le cas général qui signifie simplement « petit travail »
ou travail élémentaire. On l’appelle forme différentielle, ce qui signifie plus simplement que le travail
dépend a priori du chemin suivi. Si la force dérive d’une énergie potentielle, on remplace δ W par dEp qui
est une différentielle exacte. On peut intégrer
•
∫ dE
p
, c’est Ep à une constante près. Le symbole ∆E p
signifie variation d’énergie potentielle.
On utilisera beaucoup l’équation (2) pour calculer le travail d’une force dont on connaît l’énergie
potentielle (voir paragraphe suivant)
c) Relation entre la force et le gradient de l’énergie potentielle
G JJG
• Définition de l’énergie potentielle : δ W = f ⋅ dl = −dE p
JJJJG
JJG
• Définition du gradient de Ep : dE p = gradE p ⋅ dl
G JJG
G JJJJG
JJG
JJJJG
JJG
On a donc : gradE p ⋅ dl = − f ⋅ dl , soit f + gradE p ⋅ dl = 0 .
G JJJJG
JJG
G
Cette relation doit être vérifiée pour tout déplacement dl . On doit donc avoir f + gradE p = 0 (voir chapitre sur le
(
produit scalaire et sur le gradient).
)
G
JJJJG
f = −gradE p (eq .3)
G
∂E p G ∂E p G ∂E p G
On utilisera pour l’instant cette formule en coordonnées cartésiennes : f = −
ux −
uy −
uz .
∂x
∂y
∂z
Les trois relations (eq.1), (eq.2) et (eq.3) sont équivalentes et concernent donc une force qui dérive d’une énergie
potentielle.
On emploie le terme « dérive d’une énergie potentielle » puisque fx est reliée à la dérivée partielle de Ep par rapport
à x.
IV.3 Comment calculer une énergie potentielle ?
a) Méthode
Pour calculer une énergie potentielle, on se contentera de la méthode simplifiée suivante :
• Calculer le travail élémentaire de la force avec un système de coordonnées bien choisi.
• Si on peut trouver une primitive, alors la force dérive d’une énergie potentielle et il suffit d’utiliser :
δ W = −dE p
b) Force de pesanteur
G
G
G JJG
G
G
G
Coordonnées cartésiennes : P = mg = − mgu z ; dl = dx u x + dy u y + dz u z
δ W = −mg dz . On peut identifier δ W = −dE p
et E p = mg z + cte
z
L’énergie potentielle de la force de pesanteur est E p = mg z + cte .
G
Attention aux signes : g est dirigé vers les bas et z vers le haut. On choisit où on
veut l’origine des énergies potentielles.
G
g
c) Force de gravitation
On considère un point matériel M de masse m placé dans le champ de gravitation créé par
r
une masse m’ située en O. On choisit le point O comme origine des coordonnées
G
Gmm ' G JJG
G
G
G
sphériques : f = − 2 ur ; dl = dr ur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ
r
O
Gmm '
Gmm '
−Gmm '
+ cte .
δ W = − 2 dr . On a : dE p = −δ W =
dr et E p =
r
r2
r
On choisit toujours la constante nulle de façon à avoir E p ( ∞ ) = 0 .
L’énergie potentielle de la force de gravitation est E p =
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G
ur
M
G
f
−Gmm '
. On choisit toujours la constante nulle.
r
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G
ur
d) Force de Coulomb
On considère une charge ponctuelle située en M de charge Q placé dans le champ
r
électrostatique créé par une charge ponctuelle q située en O. On choisit le point O comme
G
qq ' G JJG
G
G
G
ur ; dl = dr ur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ
origine des coordonnées sphériques : f =
2
4πε 0 r
O
qq '
qq '
qq '
δW =
+ cte .
dr . On a : dE p = −δ W = −
dr et E p =
4πε 0 r 2
4πε 0 r 2
4πε 0 r
M
G
f
On choisit toujours la constante nulle de façon à avoir E p ( ∞ ) = 0 .
Sur le schéma, la force est attractive : les charges sont de signe opposé.
L’énergie potentielle de la force de Coulomb est E p =
qq '
. On choisit toujours la constante nulle.
4πε 0 r
e) Force exercée par un ressort
¾ Mouvement dans un plan horizontal : supposons que la force exercée par un ressort se mette sous la forme :
G
G JJG
1
G
f = − kxu x ; dl = dx u x . δ W = −kx dx . On peut identifier δ W = −dE p et et E p = kx 2 + cte
2
G
G
G
ur
¾ Généralisation : coordonnées sphériques : f = −k ( r − l0 ) ur
On appelle r la longueur du ressort et l0 la longueur à vide.
JJG
G
G
G
On envisage un déplacement élémentaire dans l’espace : dl = dr ur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ
δ W = −k ( r − l0 ) dr , soit dE p = −δ W = k ( r − l0 ) dr . On a : E p =
1
2
k ( r − l0 ) + cte
2
G
f
r
M
O
1
2
k ( l − l0 ) + cte .
2
l désigne la longueur du ressort à un instant t et l0 la longueur à vide du ressort.
L’énergie potentielle de la force exercée par un ressort est E p =
V. COMMENT CALCULER LE TRAVAIL D’UNE FORCE ?
On rencontre trois cas dans les problèmes :
V.1 Force conservative de travail nul
Exemple : réaction d’un support lorsqu’il n’y a pas de frottement.
G JJG
JJG
G
La réaction R est orthogonale au petit déplacement dl , donc δ W = f ⋅ dl = 0 et W = 0
V.2 Force conservative qui dérive d’une énergie potentielle
Il est inutile de calculer le travail élémentaire et d’intégrer. Il est beaucoup plus simple d’utiliser l’énergie potentielle :
WA→B = −∆E p = − ( E p ( B ) − E p ( A) )
Exemple : force de pesanteur, force de gravitation, force de Coulomb, force exercée par un ressort…
Le travail du poids quand le point M se déplace de A vers B vaut : WA→B = −∆E p = − ( mgz B − mgz A ) .
V.3 Autres cas : forces non conservatives
G JJG
Il faut dans ce cas calculer le travail élémentaire δ W = f ⋅ dl = 0 et intégrer sur le chemin suivi par le point M.
VI. QUELLE RELATION ENTRE FORCE DE GRAVITATION ET POIDS ?
On verra dans le cours que le poids comprend un terme gravitationnel et un terme centrifuge. Le terme
r
gravitationnel est prépondérant.
Soit la terre de centre O et de masse MT. On considère un point M à la surface de la terre de masse m.
G
GM T m G
ur
• La force de gravitation exercée par la terre sur le point M est : f = −
O
r2
G
GM T m G
G
ur .
En première approximation, le poids est égal à la force de gravitation : P = mg ≈ −
r2
GM G
G
Le champ de pesanteur terrestre vaut : g ≈ − 2 T ur .
r
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G
ur
M
G
f
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•
On définit le champ de pesanteur au niveau du sol : g 0 =
GM T
= 9,8 m.s −2 noté parfois g. avec RT = 6400 km = rayon
RT2
de la terre.
•
−GM T m
. Si le point M se déplace sur une verticale en restant au
r
voisinage de la terre. On pose r = RT + z avec z RT . On peut faire un développement au premier ordre de Ep :
L’énergie potentielle de gravitation vaut E p =
Ep =
−GM T m
=
RT + z
Soit E p =
−1
−GM T m
−GM T m 
−GM T m 
z 
z 
α
=
1 +
 ≈
1 −
 car (1 + x ) ≈ 1 + α x .
RT
RT

z 
 RT 
 RT 
RT  1 +

 RT 
−GM T m
=
RT + z
−1
−GM T m
−GM T m 
−GM T m 
z 
z  GM T m
=
z + cte = mgz + cte
1 +
 ≈
1 −
≈
R
R
R
R
RT2


z
T
T 
T
T 


RT 1 +

 RT 
On retrouve l’énergie potentielle de pesanteur.
Quelle force faut-il utiliser et dans quel référentiel ?
−GM T m
dans le
r
•
satellite en orbite autour de la terre : force de gravitation et énergie potentielle de gravitation : E p =
•
référentiel géocentrique.
point matériel se déplaçant sur au voisinage de la terre : E p = mgz + cte dans le référentiel terrestre avec z orienté
vers le haut et le champ de pesanteur de terrestre vers le bas.
VII. PROPRIÉTÉS DES FORCES QUI DÉRIVENT D’UNE ÉNERGIE POTENTIELLE
VII.1 Surface équipotentielle
Une surface équipotentielle est une surface (Σ) pour laquelle l’énergie potentielle Ep est la même en chaque point.
M
M’
(Σ )
surface équipotentielle
Ep = cte
Soit M un point appartenant à une surface équipotentielle ( Σ ) . Soit un point M’ voisin de M appartenant à la même
G JJG
JJG JJJJJG
JJJJG
JJG
équipotentielle. En se déplaçant de M vers M’ dl = MM ' et E p ( M ') − E p ( M ) = 0 = dE p = grad E p ⋅ dl = − f ⋅ dl . Cette
relation est vérifiée pour tout point M’ voisin de M appartenant à l’équipotentielle. Un produit scalaire est nul si et
seulement si le premier vecteur est nul ou le deuxième vecteur est nul ou les deux vecteurs sont orthogonaux. On en
G JJG
déduit que f ⊥ dl . Cette relation doit être vérifiée pour tout point M’ voisin de M et appartenant à ( Σ ) .
La force en un point est orthogonale à la surface équipotentielle passant par ce point.
VII.2 Ligne de champ et surface équipotentielle
M2
Σ2
Σ1
G
n
M1
Soient deux équipotentielles proches ( Σ1 ) et ( Σ 2 ) d’énergie potentielle Ep1 et Ep2. Soit M1 un point appartenant à
l’équipotentielle ( Σ1 ) . M2 est l’intersection de la normale passant par M1 et l’équipotentielle ( Σ 2 ) . On applique la
G JJG
JJG JJJJJJG
G
relation dE p = − f ⋅ dl avec dl = M 1 M 2 . On pose n le vecteur unitaire normal à (Σ1) et dirigé de M1 vers M2 ;
G
G
G
G
f = f n . On a donc dE p = E p 2 − E p1 = − f n ⋅ M 1 M 2 n , d’où E p1 − E p 2 = M 1 M 2 f . Si Ep 2 > Ep1, alors f < 0 et si Ep2
< Ep1, alors f > 0 .
La force en un point est orthogonale à la surface équipotentielle passant par ce point et dirigé dans le sens des
énergies potentielles décroissantes.
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VII.3 Étude de l’équilibre en étudiant la force résultante
Un système au repos est à l’équilibre si la somme des forces est nulle et si la somme des moments des forces est nulle
G G
(voir plus tard la définition du moment d’une force), c'est-à-dire ici f = 0 .
L’équilibre est stable si en l’écartant légèrement de sa position d’équilibre, la résultante des actions mécaniques a
tendance à le ramener vers sa position d’équilibre.
L’équilibre est instable si en l’écartant légèrement de sa position d’équilibre, la résultante des actions mécaniques a
tendance à l’écarter de sa position d’équilibre.
VII.4 Étude de l’équilibre à partir de l’énergie potentielle
∂E p
G
G
JJJJG
G
JJJJG
G G
Nous avons vu que f = −grad E p . F = 0 ⇔ f = −grad E p = 0 ⇔
∂x
∂E p
∂y
∂E p
=0
=0
=0
∂z
Étudions le cas particulier d’un mouvement à une dimension suivant l’axe Ox.
dE p
Le point M au repos est à l’équilibre si et seulement si
= 0 , c'est-à-dire Ep passe par un extremum.
dx
L’équilibre est stable si l’énergie potentielle passe par un minimum.
L’équilibre est instable si l’énergie potentielle passe par un maximum.
On considère une bille dans une cuvette représentée ci-contre.
La position x = xeq est une position d’équilibre.
Si on écarte légèrement la bille de sa position d’équilibre avec x > xeq. La force qui
G
JJJJG
dE p G
u x . On a alors f x < 0 . La force a
s’exerce sur le point M est f = −grad E p = −
dx
tendance à le ramener vers sa position d’équilibre. L’équilibre est donc stable.
Ep
xeq
x
Il y a en mécanique deux méthodes importantes pour étudier l’équilibre :
• Un système au repos est à l’équilibre si la somme des forces est nulle et si la somme des moments des forces est
nulle.
• Si la force résultante dérive d’une énergie potentielle, c’est plus simple de raisonner sur Ep. Le système est à
l’équilibre si l’énergie potentielle passe par un extremum.
Il y a en mécanique deux méthodes importantes pour étudier la stabilité d’un équilibre :
• Si on écarte un point M de sa position d’équilibre, l’équilibre est stable si la résultante des forces (ou résultante
des moments) a tendance à le ramener vers sa position d’équilibre.
• Si la force résultante dérive d’une énergie potentielle, c’est plus simple de raisonner sur Ep. L’équilibre est stable
si l’énergie potentielle passe par un minimum. L’équilibre est instable si l’énergie potentielle passe par un
maximum.
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VIII. ÉNERGIE CINÉTIQUE
VIII.1 Théorème de la puissance cinétique
• Système = point matériel M de masse m.
• Référentiel ℜ galiléen
G
• Bilan des forces : f résultante des forces
G G
• PFD : ma = f
G
Pour faire un bilan de puissance, on multiplie scalairement le PFD par v :
G G
G
G
d ( v2 ) d ( v ⋅ v )
G G G G
G dv
dv G
=
= 2v
ma ⋅ v = f ⋅ v = m ⋅ v . Or
dt
dt
dt
dt
1

d  mv 2  G
2
 = f ⋅ vG
On a donc : 
dt
1 2
mv = énergie cinétique du point matériel M de masse m
2
dEc
Théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen :
=P
dt
avec P la puissance des forces appliquées au point matériel.
On pose Ec =
B
VIII.2 Théorème de l’énergie cinétique
dEc
= P , donc dEc = Pdt = δ W
dt
On intègre entre A et B le long du chemin Γ
∫
B
A
dEc =
B
∫ ( ) δW
Γ
M
G
v
A
AΓ
On obtient le théorème de l’énergie cinétique :
Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel galiléen : Ec ( B ) − Ec ( A ) = W fG( A→B )
La variation d’énergie cinétique entre A et B est égale à la somme des travaux des forces appliquées entre A et B
le long du chemin Γ .
On rencontre trois cas pour calculer les travaux dans les exercices :
• forces conservatives de travail nul : exemple : réaction d’un support quand il n’y a pas de frottement : W = 0
• forces conservatives de travail non nul qui dérivent d’une énergie potentielle : WA→B = −∆E p = − ( E p ( B ) − E p ( A) )
G JJG
• forces non conservatives : il faut calculer le travail δ W = f ⋅ dl = 0 et intégrer sur le chemin suivi par le point M.
IX. ÉNERGIE MÉCANIQUE
IX.1 Théorème de l’énergie mécanique
Il y a trois cas pour calculer les travaux : travail nul (0), travail des forces qui dérivent d’une énergie potentielle
( −∆E p ) et travail des forces non conservatives (Wnon cons ) .
La somme des travaux des forces appliquées entre A et B peut s’écrire : W = 0 − ∆E p + Wnon cons
Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit : ∆Ec = 0 − ∆E p + Wnon cons , d’où ∆Ec + ∆E p = Wnon cons
On pose Em = Ec + E p = énergie mécanique du point matériel M
Théorème de l’énergie mécanique dans un référentiel galiléen : ∆Em = Em ( B ) − Em ( A ) = Wnon cons
avec Wnon cons le travail des forces non conservatives.
•
•
1
Quand il n’y a que des forces conservatives, ∆Em = 0 : l’énergie mécanique est constante au cours du temps.
On dit que l’énergie mécanique se conserve et que le système est conservatif1.
Les forces non conservatives sont essentiellement des forces de frottement, donc dans la plupart des cas,
Wnon cons < 0 et ∆Em < 0 . L’énergie mécanique diminue quand le temps s’écoule. On verra en thermodynamique
ce que devient cette énergie mécanique perdue.
On comprend l’origine du mot « force conservative ».
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•
Les théorèmes de la puissance cinétique, de l’énergie cinétique et de l’énergie mécanique sont équivalents. On
passe très facilement de l’un à l’autre. Dans les exercices, on utilisera souvent le théorème de l’énergie
cinétique. Le théorème de l’énergie mécanique est très pratique à utiliser pour les systèmes conservatifs.
Pendant une durée dt, on peut écrire le théorème de l’énergie mécanique : dEm = δ Wnon cons
En divisant par dt, on a :
dEm
= Pnon cons = puissance des forces non conservatives.
dt
IX.2 Cas particulier d’un système conservatif à une dimension
On rencontre très fréquemment dans les exercices un
Ep
système conservatif (le système n’est soumis qu’à des
forces conservatives) à une dimension (le mouvement
du point matériel est décrit par une seule coordonnée).
Dans ce cas, on peut interpréter facilement les zones
interdites et obtenir l’équation différentielle du
Em
mouvement.
On note q une coordonnées généralisée (q peut être une
abscisse, un angle…). On représente alors l’énergie
potentielle en fonction de q.
q1 q0 qeq
q2
q3
q
Supposons qu’à t = 0, la particule se trouve en q = q0 et q ( 0 ) < 0 .
Em = Ec + E p , soit E p = Em − Ec . Comme Ec ≥ 0 :
E p ≤ Em . On peut en déduire pour un système conservatif à une dimension les régions interdites et prévoir
qualitativement l’allure du mouvement.
•
•
q est toujours compris entre q1 etq2. Le mouvement est donc borné.
À t = 0, la particule se trouve en q0. Comme q ( 0 ) > 0 , q diminue. L’énergie potentielle augmente, donc
•
•
l’énergie cinétique diminue. La particule s’arrête en q1 et repart dans le sens des q croissants… Il y a des
oscillations entre q1 et q2.
L’énergie potentielle passe par un minimum en qeq. C’est une position d’équilibre stable.
Dans les conditions de l’expérience, le point matériel ne peut pas franchir la col q3. Il n’a pas assez d’énergie
pour le franchir. Il aurait fallu communiquer plus d’énergie mécanique à t = 0 pour avoir Em ( t = 0 ) ≥ E p ( q3 ) .
Remarque : en mécanique quantique, il existe une probabilité non nulle que la particule franchisse le col et passe de
l’autre côté même si elle n’a pas assez d’énergie, c’est l’effet tunnel (application diode à effet tunnel) !
IX.3 Exercice important : pendule simple
On considère une masse m accrochée à un fil. Il y a trois méthodes pour obtenir l’équation différentielle du
mouvement :
Méthode n°1 : Principe fondamental de la dynamique.
Méthode n°2 : Raisonnement énergétique pour un système conservatif à une dimension. Em = cte . En écrivant
dEm
= 0 , on obtient directement l’équation différentielle du mouvement.
dt
Méthode n°3 : Théorème du moment cinétique (voir chapitre sur le moment cinétique).
G
uy
a) Principe fondamental de la dynamique
• Système = {Point matériel M de masse m}
G G G
• Référentiel ℜ = ( O, u x , u y , u z ) terrestre galiléen
•
•
Bilan des forces :
G
G JJG
G
¾ T = −T ur tension du fil : δ W = T ⋅ dl = 0 . La tension du fil ne
travaille pas. C’est une force conservative.
G
¾ P : poids.
G G G
PFD : ma = P + T . Il est préférable de projeter dans la base des
coordonnées cylindriques qui sont adaptées à la symétrie du problème :
mouvement à une dimension.
Sur le schéma, I représente la position de M pour θ = 0 . On a donc
OI = OM = l = cte .
Q Énergie d’un point matériel (33-108)
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G
uz
G
ux
O
l
θ
H
Z I
G
T
M
G
uθ
G
ur
G
P
JN Beury
G G
On projette dans la base ( ur , uθ ) :
(
(
)
m r − rθ 2 = −T + mg cos θ

avec r = l = cte.

m 2 r θ + rθ = −mg sin θ
G
La tension du fil a une composante nulle suivant uθ . On obtient ainsi directement l’équation différentielle :
)
g
g
2
mlθ = − mg sin θ , soit θ + sin θ = 0 . On pose ω02 = , soit θ + ω0 sin θ = 0 . Cette équation différentielle
l
l
n’a pas de solution formelle. On peut la résoudre numériquement.
2
Si θ 1 , on peut faire un développement limité au premier ordre : sin θ ≈ θ et θ + ω0 θ = 0 . On reconnaît
l’équation d’un oscillateur harmonique : θ = θ m cos (ω0 t + ϕ ) . La période vaut T telle que : ω0 =
soit T0 = 2π
2π
=
T0
g
,
l
l
.
g
Cette mise en équation est à connaître parfaitement : utilisation des coordonnées polaires, bien faire la
différence entre le référentiel et la base de projection.
b) Raisonnement énergétique
• Bilan des forces :
G
G JJG
G
¾ T = −T ur tension du fil : δ W = T ⋅ dl = 0 . La tension du fil ne travaille pas. C’est une force
conservative.
G
¾ P : poids. On a vu dans le cours que c’est une force conservative. E p = mgZ avec Z orienté vers le
haut et d’origine le point I (cf schéma). On choisit le point I comme origine des énergies potentielles.
On a E p = mg ( l − OH ) = mgl (1 − cos θ )
•
Le système est conservatif puisque toutes les forces sont conservatives.
G
G
G
G
1
L’énergie mécanique se conserve au cours du temps : Em = mv 2 + mgl (1 − cos θ ) . Or v = r ur + rθuθ = lθuθ
2
2
1
Soit Em = m lθ + mgl (1 − cos θ ) . Cette équation est appelée intégrale première du mouvement.
2
dEm
+ mglθ sin θ .
= 0 = ml 2θθ
D’où
dt
g
Si θ ≠ 0 , on obtient l’équation différentielle θ + sin θ = 0 .
l
( )
Remarque : on peut être surpris d’être obligé de diviser par θ pour obtenir l’équation différentielle. C’est une
solution parasite. En effet, pour obtenir le théorème de l’énergie mécanique, on est parti du PFD et on a multiplié par
la vitesse. Ici, on fait l’opération inverse…
c) Compléments : période des oscillations en fonction des conditions initiales.
Supposons qu’à t = 0 : θ = θ 0 et θ = 0 . Il y 4 phases :
¾ de 0 à T/4 : l’angle varie de 0 à θ 0
¾ de T/4 à T/2 : l’angle varie de θ 0 à 0
¾ de T/2 à 3T/4 : l’angle varie de 0 à −θ 0
¾ de 3T/4 à T : l’angle varie de −θ 0 à 0
On va calculer le temps que met le point M pour aller de 0 à θ 0 pour un angle θ 0 compris entre 0 et π .
On ne sait pas résoudre formellement l’équation différentielle.
L’idée est d’exprimer dt en fonction de θ et dθ . On peut alors intégrer numériquement entre l’état initial et l’état
final. Pour obtenir cette relation, on peut utiliser la conservation de l’énergie mécanique ou partir de la projection du
G
PFD sur uθ , multiplier par θ et l’intégrer.
La conservation de l’énergie mécanique s’écrit : Em =
Q Énergie d’un point matériel (33-108)
( )
2
1
m lθ + mgl (1 − cos θ ) = mgl (1 − cos θ 0 )
2
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2g
dθ
On calcule la constante à t = 0. On a alors : θ 2 =
( cos θ − cos θ0 ) , soit =
dt
l
variables : dt =
On a : T = 4
l
2g
l
2g
∫
dθ
cos θ − cos θ 0
dθ
θ0
θ =0
cos θ − cos θ 0
. On intègre entre 0 et T/4 :
∫
T /4
t =0
dt =
∫
θ0
θ =0
l
2g
2g
( cos θ − cos θ0 ) . On sépare les
l
dθ
cos θ − cos θ 0
.
Pour chaque valeur de θ 0 , on calcule numériquement avec Maple (ou avec Regressi), la période T.
On peut ainsi tracer point par point le graphe représentant T en fonction de θ 0 .
Interprétation physique :
l
.
g
•
Si θ 0 1 , on constate que la période est indépendante des conditions initiales. On retrouve T = T0 = 2π
•
On dit qu’on a un isochronisme des petites oscillations.
On a une augmentation de la période en fonction de θ 0 . Si θ 0 tend vers π , la période tend vers l’infini. La
position d’équilibre θ = π est une position d’équilibre instable.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Oscillateurs/periode_pendule.html
Q Énergie d’un point matériel (33-108)
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