Applications des eclt_irrotationnels 09
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1 http://www.hach.ulg.ac..be Eléments de mécanique des fluides q ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 2 Objectifs de la séance • Etude de solutions analytiques d’écoulement potentiel • Utilisation du principe de superposition – – – – Écoulement irrotationnel complexe Vortex libre Génération de « corps » imperméable Couche tourbillonnaire - utilité http://www.hach.ulg.ac..be • Portance et traînée en écoulement irrotationnel – Effet Magnus-Robbin – Quantification de la portance – liaison à l’amplitude de la circulation – Paradoxe de dd’Alembert Alembert • Modélisation de corps complexes – Problème direct et indirect – Transformation conforme – Application aux ailes d’avion ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 1 3 http://www.hach.ulg.ac..be Solutions analytiques d’écoulements irrotationnels ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Rappel mathématique : Coordonnées polaires 4 • Coordonnées polaires (x y z) → (r θ ⎧ x = r cos θ ⎨ ⎩ y = r sin θ http://www.hach.ulg.ac..be U = ( vr z) ⎧ ⎛ y⎞ ⎪θ = Atan ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ 2 2 ⎩r = x + y vθ vz ) ⎡⎛ ∂w ∂v ⎞ ⎛ ∂u ∂w ⎞ ⎛ ∂v ∂u ⎞ ⎤ ∇ × U = ⎢⎜ − ⎟,⎜ − ⎟ , ⎜ − ⎟⎥ ⎣⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎦ ⎡ ⎛ 1 ∂vz ∂vθ ⎞ ⎛ ∂vr ∂vz ⎞ 1 ⎛ ∂ ( rvθ ) ∂vr ∇ ×U = ⎢ ⎜ − − − , , ⎜ ∂z ⎟⎠ ⎜⎝ ∂z ∂r ⎟⎠ r ⎜⎝ ∂r ∂θ ⎣⎢ ⎝ r ∂θ ⎞⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎦⎥ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 2 Rappel : Deux équations similaires … http://www.hach.ulg.ac..be 5 • Les deux équations ΔΨ = 0 Δφ = 0 pour un fluide incompressible en stationnaire ou non φ constante isopotentielle u= ∂φ ∂φ ; v= ∂x ∂y Ψ constante t t ligne de courant u= ∂Ψ ∂Ψ en 2D ; v=− ∂y ∂x ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 6 Principe de superposition • L’équation de Laplace est linéaire et donc le principe de superposition est d’application ∇ 2 f = Δf = 0 ∇ 2 g = Δg = 0 m= f +g http://www.hach.ulg.ac..be ∇2m = ∇2 ( f + g ) = 0 • La combinaison de solutions simples peut permettre d’envisager des écoulements complexes ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 3 7 Types d’écoulements irrotationnels principaux • Types d’écoulements irrotationnels principaux en 2D: http://www.hach.ulg.ac..be – Champ de vitesse uniforme – Source ou puits – Vortex ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Champ de vitesse uniforme 8 • Définition du problème : – Écoulement 1D selon x – U ∞ vitesse caractéristique à l’infini – En terme de fonction de courant : ∂ψ ⎧ ⎪⎪u = U ∞ = ∂y ⎨ ⎪v = 0 = − ∂ψ ∂x ⎩⎪ – En terme de ppotentiel de vitesse : ∂φ ⎧ ⎪⎪u = U ∞ = ∂x ⎨ ⎪v = 0 = ∂φ ⎪⎩ ∂y • Solutions : http://www.hach.ulg.ac..be ⎛U ⎞ U =⎜ ∞⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎧ψ = U ∞ y ⎨ ⎩φ = U ∞ x lignes de courant horizontales isopotentielles verticales ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 4 http://www.hach.ulg.ac..be 9 Solutions analytiques : Champ de vitesse uniforme ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Source/Puits 10 • Définition du problème : – – – – – – Source : apport ponctuel Puits : retrait ponctuel Position os t o : (0,0) Débit spécifique [m²/s] :Q Problème symétrique Æ solution symétrique Il est préférable de travailler en coordonnées cylindriques http://www.hach.ulg.ac..be • Solutions : – Puisque la solution est symétrique, le débit est conservée sur l’ensemble des cercles centrés en (0,0) Q= ∫ v ds r C = par symétrie vr ∫ ds = 2π rvr C – Définition de l’intensité de la source/puits : m=± Q 2π b Débit total périmètre du tube d’injection/retrait ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 5 Solutions analytiques : Source/Puits 11 • Source/Puits http://www.hach.ulg.ac..be m=± Q 2π b ⎛ ±m ⎞ ⎛v ⎞ U =⎜ r⎟=⎜ r ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ±m Q 1 ∂ψ ∂φ ⎧ ⎪⎪vr = r = 2π rb = r ∂θ = ∂r ⎨ ⎪v = 0 = − ∂ψ = 1 ∂φ ⎪⎩ θ ∂r r ∂θ ⎧ψ = ± mθ ⎨ ⎩φ = ± m ln r m/r Lignes de courant radiales Isopotentielles circulaires ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 12 Solutions analytiques : Fil tourbillonnaire rectiligne • Rappel : un fil tourbillonnaire engendre un champ de vitesse bidimensionnel dans le plan perpendiculaire au fil vθ = Γ 2π r http://www.hach.ulg.ac..be • La vitesse varie de manière inversement proportionnelle à la distance • Si RÆ0, vθ Æ∞ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 6 Solutions analytiques : Fil tourbillonnaire rectiligne 13 • A l’extérieur du noyau, comment est l’écoulement ? ΓC1 = ∫ U id r = ( vθ 1 R1 − vθ 1 R2 ) Δθ + C1 = a + b + c + d ∫ U id r vθ = Γ 2π r vθ = Γ 2π r =0 b+d http://www.hach.ulg.ac..be = 0 car direction radiale • L’écoulement est irrotationnel • La vitesse dérive donc d’un potentiel • φ est univoque Æ le long de C2 ⎛ ∂φ ∂φ ⎞ ΓC2 = ∫ U id r = ∫ ∇φ id r = ∫ ⎜ dx + dy ⎟ = dφ = 0 ∂ ∂y ⎠ C∫2 x C2 C2 C2 ⎝ • Ce type de courbe est réductible ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Fil tourbillonnaire rectiligne 14 • Rappel de la loi de Helmholtz (slide 24 séance 4) « La circulation Γ du champ de vitesse autour d’un tube tourbillonnaire est constante et représente une mesure de l’intensité du tube tourbillonnaire » ΓC3 = ∫ U id r = Γ fil tourbillonnaire http://www.hach.ulg.ac..be C3 • Ce type de courbe est dite irréductible • Le point de percée du fil tourbillonnaire constitue un point singulier ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 7 Solutions analytiques : fil tourbillonnaire rectiligne 15 • Vortex libre http://www.hach.ulg.ac..be vθ = Γ 2π r ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞ ⎜ U =⎜ ⎟= Γ ⎟ ⎟⎟ ⎝ vθ ⎠ ⎜⎜ ⎝ 2π r ⎠ 1 ∂ψ ∂φ ⎧ ⎪⎪vr = 0 = r ∂θ = ∂r ⎨ ⎪v = Γ = − ∂ψ = 1 ∂φ θ 2π r ∂r r ∂θ ⎩⎪ Γ ⎧ ⎪⎪ψ = − 2π ln r ⎨ ⎪φ = Γ θ ⎪⎩ 2π Lignes de courant circulaires Isopotentielles radiales ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be 16 Solutions analytiques : fil tourbillonnaire rectiligne ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 8 Vortex « libre » 17 • Vortex « forcé » vs. vortex « libre » – Vortex « libre » : écoulement irrotationnel La vitesse tangentielle décroît avec l’écartement l écartement au centre 1 → vθ r = C te r http://www.hach.ulg.ac..be vθ ∼ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Vortex « forcé » 18 • Vortex « forcé » vs. vortex « libre » – Vortex « forcé » : écoulement rotationnel v tesse tangentielle ta ge t e e est constante co sta te Laa vitesse http://www.hach.ulg.ac..be vθ ∼ r ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 9 Résumé des solutions analytiques 19 • 3 solutions de base : – Champ de vitesse uniforme – Source/Puits ponctuel(le) – Ligne tourbillonnaire rectiligne : vortex « libre » http://www.hach.ulg.ac..be Q ⎧ ⎪vr = 2π r ⎨ ⎪⎩vθ = 0 ⎧vr = 0 ⎪ ⎨ Γ ⎪⎩vθ = 2π r Source/Puits Vortex « libre » ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 20 Principe de superposition • Par superposition de solutions analytiques simples, il est possible de représenter l’écoulement autour de corps : – Laa forme o e du corps co ps est lee résultat ésu tat secondaire seco da e de laa superposition supe pos t o : Æ problème direct http://www.hach.ulg.ac..be – La forme du corps est une donnée et l’écoulement est recherché Æ quelles sont les intensités de chaque solution de base ? Æ problème indirect ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 10 Solutions combinées http://www.hach.ulg.ac..be 21 • Recherchons les solutions pour : – Doublet « combinaison d’une source et d’un puits de même intensité symétriquement disposé autour du centre » – Dipôle « combinaison d’une source et d’un puits de même intensité au même point d’application » – Corps fictif immobile (ellipse) « combinaison d’un doublet et d’un champ uniforme » – Corps fictif immobile (cercle) « combinaison d’un dipôle p et d’un champp uniforme » – Corps fictif en rotation (cercle) « combinaison d’un dipôle, d’un champ uniforme et d’un vortex libre centré sur le dipôle » – Couche tourbillonnaire « combinaison d’une série infiniement mince de vortex libres » ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Doublet http://www.hach.ulg.ac..be 22 • Doublet source & puits (à même débit) Passage g en coordonnées cartésiennes… ⎧ ⎛ y⎞ ⎪θ = Atan ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ 2 2 ⎩r = x + y ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 11 Solutions analytiques : Doublet 23 • Doublet source & puits (à même débit) – Source: http://www.hach.ulg.ac..be ⎧ ⎛ y ⎞ ⎪⎪ψ = mθ1 = mAtan ⎜ x + a ⎟ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪φ = m ln r = m ln ⎡( x + a )2 + y 2 ⎤ 1 ⎣ ⎦ ⎩⎪ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Doublet 24 • Doublet source & puits (à même débit) http://www.hach.ulg.ac..be – Puits: ⎧ ⎛ y ⎞ ⎪⎪ψ = −mθ 2 = −mAtan ⎜ x − a ⎟ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪φ = −m ln r = −m ln ⎡( x − a )2 + y 2 ⎤ 2 ⎪⎩ ⎣ ⎦ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 12 Solutions analytiques : Doublet 25 • Doublet source & puits (à même débit) 2 2 φ = φsource + φ puitit = m ln ⎡( x + a ) + y 2 ⎤ − m ln ⎡( x − a ) + y 2 ⎤ ⎣ On sait que ln a − ln b = ln http://www.hach.ulg.ac..be ln a x = x ln a ⎦ ⎣ ⎦ a b ⎡ ( x + a )2 + y 2 ⎤ 1 ⎥ → φ = m ln ⎢ 2 ⎢⎣ ( x − a )2 + y 2 ⎥⎦ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Doublet 26 • Doublet source & puits (à même débit) ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞ ⎟ − mAtan ⎜ ⎟ ⎝ x+a⎠ ⎝ x−a⎠ tan(a) − tan(b) On sait que tan(a − b) = 1 + tan(a) tan(b) ψ = ψ source + ψ puits = mAtan ⎜ Atan(−b) = −Atan(b) ⎧ ⎡ ⎛ ⎛ψ ⎞ ⎞ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞⎤ ⎫ = Atan ⎜ tan ⎜ ⎟ ⎟ = Atan ⎨ tan ⎢ Atan ⎜ ⎟ − Atan ⎜ ⎟⎥ ⎬ m ⎝ m ⎠⎠ ⎝ x+a⎠ ⎝ x − a ⎠⎦ ⎭ ⎝ ⎩ ⎣ http://www.hach.ulg.ac..be ψ ⎧ ⎛ ⎛ ⎛ y ⎞⎞ ⎛ y ⎞⎞ ⎫ ⎪ tan ⎜ Atan ⎜ ⎟ ⎟ − tan ⎜ Atan ⎜ ⎟⎟ ⎪ ⎪ ⎝ x + a ⎠⎠ ⎝ x − a ⎠⎠ ⎪ ⎝ ⎝ =Atan ⎨ ⎬ ⎪1 + tan ⎛ Atan ⎛ y ⎞ ⎞ tan ⎛ Atan ⎛ y ⎞ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎪⎩ ⎝ x + a ⎠⎠ ⎝ ⎝ x − a ⎠ ⎠ ⎪⎭ ⎝ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 13 Solutions analytiques : Doublet 27 • Doublet source & puits (à même débit) ⎧ ⎛ ⎛ ⎛ y ⎞⎞ ⎛ y ⎞⎞ ⎫ ⎪ tan ⎜ Atan ⎜ ⎟ ⎟ − tan ⎜ Atan ⎜ ⎟⎟ ⎪ ψ ⎪ ⎝ x + a ⎠⎠ ⎝ x − a ⎠⎠ ⎪ ⎝ ⎝ Atan ⎨ =Atan ⎬ m ⎪1 + tan ⎛ Atan ⎛ y ⎞ ⎞ tan ⎛ Atan ⎛ y ⎞ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎪⎩ ⎝ x + a ⎠⎠ ⎝ ⎝ x − a ⎠ ⎠ ⎪⎭ ⎝ y ⎫ ⎧ y ⎪ x+a − x−a ⎪ ⎛ ⎞ -2ay = Atan ⎜⎜ 2 =Atan ⎨ ⎟⎟ ⎬ 2 2 y ⎪ m ⎝ x + y −a ⎠ ⎪1 + y ⎩ x+a x−a ⎭ http://www.hach.ulg.ac..be ψ ⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎝ x + y −a ⎠ ψ = - mAtan ⎜⎜ 2ay 2 2 2 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be 28 Solutions analytiques : Doublet ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 14 Solutions analytiques : Doublet 29 • Doublet source & puits (à même débit) http://www.hach.ulg.ac..be ⎧ ⎛ ⎞ 2ay ⎪ψ = −mAtan ⎜⎜ 2 2 2 ⎟ ⎟ ⎪⎪ ⎝ x + y −a ⎠ ⎨ ⎡ ( x + a )2 + y 2 ⎤ 1 ⎪ ⎢ ⎥ φ = ln m ⎪ 2 2 2 ⎢ ⎥ x a y − + ( ) ⎣ ⎦ ⎩⎪ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Dipôle 30 • Dipôle – Doublet source/puits au même point → a te tendd vers ve s 0!! http://www.hach.ulg.ac..be – Cependant, il faut un débit!! → m tend vers ∞!! Enfin, on fixe le produit am… ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 15 Solutions analytiques : Dipôle • Dipôle 31 ψ = ψ doublet ⎛ 2ay = − mAtan ⎜⎜ 2 2 2 ⎝ x + y −a → Atan ( a ) ∼ a http://www.hach.ulg.ac..be a = 2 am = λ −2amy Taylor = ⎞ ⎟⎟ 0 ⎠ am→ →∞ x2 + y 2 − a2 Intensité du dipôle a →0 m →∞ 2 am = λ −λ y 2 x + y2 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Dipôle • Dipôle φ = φdoublet 32 ⎡ ( x + a )2 + y 2 ⎤ 1 ⎥ = m ln ⎢ 2 ⎢⎣ ( x − a )2 + y 2 ⎥⎦ a →0 m →∞ 2 am = λ a → ln (1 + a ) ∼ a 2 2 ⎞ 1 ⎛ ( x + a) + y ⎜ ⎟ m = − 1 ⎟ a →0 2 ⎜ ( x − a )2 + y 2 ⎝ ⎠ m→∞ Taylor Intensité du dipôle 2 am = λ = 2 2 1 ( x + a) + y − ( x − a) − y m 2 ( x − a )2 + y 2 = −4ax 1 m 2 ( x − a )2 + y 2 http://www.hach.ulg.ac..be 2 2 a →0 m →∞ 2 am = λ = a →0 m →∞ 2 am = λ −2amx x2 + y 2 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 16 Solutions analytiques : Dipôle • Dipôle 33 −λ y ⎧ ⎪ψ = x 2 + y 2 ⎪ ⎨ ⎪φ = −λ x ⎪⎩ x2 + y 2 http://www.hach.ulg.ac..be −λ r sin θ −λ sin θ ⎧ = ⎪⎪ψ = r r2 ⎨ ⎪φ = −λ r cos θ = −λ cos θ ⎪⎩ r r2 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be 34 Solutions analytiques : Dipôle Doublet Dipôle ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 17 Solutions analytiques : Corps fictif immobile (ellipse) http://www.hach.ulg.ac..be 35 • Ecoulement autour d’un corps fictif immobile ⎛ ⎞ ⎟ 2 2 2 ⎟ ⎝ x + y −a ⎠ ⎡ ( x + a )2 + y 2 ⎤ 1 ⎥ = U ∞ x + m ln ⎢ 2 ⎢⎣ ( x − a )2 + y 2 ⎥⎦ ψ = ψ source +ψ puit +ψ uniaxial = U ∞ y − m tan −1 ⎜⎜ φ = φsource + φ puit + φuniaxial 2ay ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be 36 Solutions analytiques : Corps fictif immobile (ellipse) ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 18 Solutions analytiques : Corps fictif immobile (ellipse) http://www.hach.ulg.ac..be 37 • Ecoulement autour d’un corps fictif immobile ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Corps fictif immobile (cercle) 38 • Ecoulement autour d’un corps fictif immobile – En utilisant un dipôle, on va définir un cercle – Il est plus facile de travailler en coordonnées polaires ψ = U ∞ r sin θ − http://www.hach.ulg.ac..be φ = U ∞ r cos θ − 1 ∂ψ ∂φ ⎧ v = = ⎪⎪ r r ∂θ ∂r ⎨ ⎪v = − ∂ψ = 1 ∂φ ⎪⎩ θ ∂r r ∂θ λ sin θ r λ sin θ r λ sin i θ⎞ ⎛ ⎜ U ∞ r sin θ − ⎟ r ⎠ ⎝ λ cos θ = U ∞ cos θ − r2 vr = 1 ∂ r ∂θ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 19 Solutions analytiques : Corps fictif immobile (cercle) 39 • Ecoulement autour d’un corps fictif immobile vr = U ∞ cos θ − λ cos θ r2 – Déterminons le rayon du cercle rc tel que la vitesse radiale vc,r soit nulle pour tout θ http://www.hach.ulg.ac..be vc , r = U ∞ cos θ − ⇔ rc = λ λ cos θ rc 2 =0 Intensité du dipôle U∞ Vitesse uniforme – Par définition de rc, le cercle est une ligne de courant ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Corps fictif en rotation 40 • Écoulement autour d’un corps fictif en rotation – Ecoulement uniforme 1D – Dipôle pô e – Vortex « libre » http://www.hach.ulg.ac..be ψ = ψ source + ψ dipole + ψ vortex = U ∞ r sin θ − λ sin θ r − Γ ln r 2π ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 20 Solutions analytiques : Corps fictif en rotation 41 • Écoulement autour d’un corps fictif en rotation – Position du corps fictif 1 ∂ ⎛ λ sin θ ⎞ ⎜ U ∞ r sin θ − ⎟ r ∂θ ⎝ r ⎠ λ cos θ = U ∞ cos θ − r2 vr = Cercle inchangé!! http://www.hach.ulg.ac..be – Analyse des vitesses tangentielles sur le corps fictif −vθ ( r = rc ) = ∂ψ λ sin θ Γ = U ∞ sin θ + − 2 ∂r 2π rc rc = 2U ∞ sin θ − Γ 2π rc ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Corps fictif en rotation 42 • Écoulement autour d’un corps fictif en rotation – Cette vitesse tangentielle possède des 0 : points d’arrêt vθ ( r = rc ) = 0 = −2U ∞ sin θ + http://www.hach.ulg.ac..be ⇒ sin θ = Γ 2π rc Γ 4π rcU ∞ Fonction de la vitesse uniforme d’écoulement et de l’amplitude de rotation … ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 21 Solutions analytiques : Corps fictif en rotation 43 • Écoulement autour d’un corps fictif en rotation – Analyse de la position des points d’arrêt sin θ = • Γ 4π rcU ∞ Γ=0 sin θ = 0 http://www.hach.ulg.ac..be ⎧0° ⎩180° θ =⎨ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Corps fictif en rotation 44 • Écoulement autour d’un corps fictif en rotation – Analyse de la vitesse à la circonférence (r = rc)… sin θ = • Γ = −2 π rcU ∞ Γ 4π rcU ∞ http://www.hach.ulg.ac..be sin θ = −0.5 ⎧−30° ⎩−150° θ =⎨ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 22 Solutions analytiques : Corps fictif en rotation • Écoulement autour d’un corps fictif en rotation 45 – Analyse de la vitesse à la circonférence (r = rc)… sin θ = http://www.hach.ulg.ac..be • Γ = −4 π rcU ∞ Γ 4π rcU ∞ sin θ = −1 θ = −90° Γ >4 π rcU ∞ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : obstacle circulaire en rotation 46 • Calcul du temps de parcours vθ = http://www.hach.ulg.ac..be ⇒ ds Γ = −2U ∞ sin θ + 2π rc dt −rc dθ = 2U ∞ dt Γ sin θ − 4U ∞π rc ⇒ ds Γ −2U ∞ sin θ + 2π rc − dθ ⇒ sin θ − Γ 4U ∞π rc = = dt 2U ∞ dt rc • Le temps de parcours vaut θ2 ∫ θ 1 − dθ = sin θ − a τ parcours ∫ 0 dτ = τ parcours avec a = Γ 4U ∞π rc et τ = 2U ∞ t rc ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 23 47 Solutions analytiques : obstacle circulaire en rotation • Calcul du différentiel de temps de parcours • Les points d’arrêt sont situés de façon symétriques à l’axe OY, d’un angle ⎛ Γ ⎞ θ arrêt ≡ θ a = asin ⎜ ⎟ ⎝ 4π rcU ∞ ⎠ π +θ a −ε http://www.hach.ulg.ac..be • Temps de parcours extrados : • Temps de parcours intrados : − a+ 2π −θ a −ε τ parcours, intrados = ∫ π θ + − dθ ∫ sin θ − a θ ε τ parcours, extrados = − a +ε − dθ sin θ − a • Différentiel : Δτ = τ parcours, intrados − τ parcours, extrados ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : obstacle circulaire en rotation 48 a=0 http://www.hach.ulg.ac..be a≠0 ∫ dθ ⎡ θ⎤ ⎡ θ⎤ = log ⎢sin ⎥ − log ⎢cos ⎥ sin θ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ∫ θ ⎡ ⎤ sin α tan + 1 − cos α ⎥ ⎢ dθ 1 2 ln ⎢ = ⎥ sin θ − sin α cos α ⎢ sin α tan θ + 1 + cos α ⎥ 2 ⎣ ⎦ primitive périodique θ ⎡ a tan + 1 − 1 − a 2 ⎢ dθ 1 2 = ln ⎢ 2 θ sin θ − sin α 1− a ⎢ a tan + 1 + 1 − a 2 ⎣ 2 (π + θ ) ( −π + θ ) = tan tan primitive périodique 2 2 ∫ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ sin α = a = Γ 4U ∞π rc cos α = 1 − sin 2 α Pour un cylindre, en rotation ou non, le temps de parcours via l’intrados ou l’extrados est égal ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 24 http://www.hach.ulg.ac..be 49 Solutions analytiques : Corps fictif en rotation ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be 50 Solutions analytiques : Corps fictif en rotation ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 25 51 Solutions analytiques : Corps symétrique • Un doublet représente une ellipse • Un dipôle représente un cercle • Généralisation : http://www.hach.ulg.ac..be Une série continue de sources et de puits d’intensités variables représente un corps fictif imperméable symétrique ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Couche tourbillonnaire http://www.hach.ulg.ac..be 52 • Que représente une série continue de fils tourbillonnaires ? ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 26 53 Solutions analytiques : Couche tourbillonnaire • Une distribution de fils tourbillonnaires rectilignes, orientés selon z, est placée parallèlement dans l’épaisseur 0 ≤ y ≤ h Ω = ( 0, 0, Ω z ) = f ( y ) http://www.hach.ulg.ac..be L’intensité de rotation est seulement fonction de y • Par symétrie, v = 0, ∀point ( x, y ) • La vitesse d’écoulement sera ⎧u1 en y = h ⎨ ⎩u0 en y = 0 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 54 Solutions analytiques : Couche tourbillonnaire r2 r1 r3 vθ 3 vθ 2 http://www.hach.ulg.ac..be vθ 1 • Par symétrie, v = 0, ∀x u = f ( y) ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 27 Solutions analytiques : Couche tourbillonnaire 55 Si h → 0 pour u1 − u0 = Constante ⇒ Ω z → ∞ • Rappel (par Stokes) : ∫ ni( ∇ × U ) dS = ∫ niΩ dS = ∫ U id r = Γ S S C • Considérons C idé une portion i L de d la l couche h : n iΩ = Ω z ( y ) http://www.hach.ulg.ac..be ⎛ Lh ⎞ ⎛ h ⎞ lim ⎜ − ∫ ∫ Ω z dydx ⎟ = lim ⎜ − L ∫ Ω z dy ⎟ = ( u1 − u0 ) L = Γ h →0 h→0 ⎝ 00 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Solutions analytiques : Couche tourbillonnaire 56 • La couche constitue une « couche de discontinuité » : la vitesse tangentielle change de façon discontinue au travers de celle-ci • L’intensité de la couche est définie par unité de longueur : http://www.hach.ulg.ac..be u1 − u0 = γ = Γ L Æ Idéalisation d’une couche de cisaillement dans les fluides de faible viscosité ((ex. : couche limite à la paroi, p , sillage, g , …)) Æ Dans un fluide parfait, la couche sera transportée et déformée de façon stable Æ Dans un fluide visqueux, la couche tourbillonnaire sera « diffusée » voire instable ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 28 Couche tourbillonnaire : illustrations de l’instabilité – Fluide homogène mais gradient de vitesse important (ex. : vent au dessus d’un relief marqué, …) – Couches de fluides de densité et/ou de viscosité différentes http://www.hach.ulg.ac..be 57 • Dans un fluide faiblement visqueux, la couche tourbillonnaire est instable (instabilités de Kelvin-Helmholtz) ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 58 Principes de traînée et portance • La combinaison de solutions analytiques simples permet la représentation de corps fictif • Dans le cas d’un fluide parfait, parfait il est possible de remplacer ce corps fictif par un corps réel : http://www.hach.ulg.ac..be – Pas d’interaction visqueuse avec le fluide Æ vitesse tangentielle – Respect de la condition d’imperméabilité Æ vitesse normale • Y a-t-il développement de portance et de traînée sur ce corps? ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 29 Effet Magnus‐Robins : portance 59 « Un objet en rotation dans un fluide subira une force de portance directement proportionnelle à la vitesse de rotation » Vs Vs > Vi http://www.hach.ulg.ac..be Vi Ecoulement irrotationnel Æ H est une constante sur le domaine Bernoulli… ps < pi La différence de pression provoque un effort vers le haut… ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be 60 Effet Magnus‐Robins : Cours élémentaire de football ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 30 http://www.hach.ulg.ac..be 61 Effet Magnus‐Robins : Cours élémentaire de football ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 62 Effet Magnus‐Robins : applications • Effet Magnus-Robins « Un objet en rotation dans un fluide subira une force de portance directement proportionnelle à la vitesse de rotation » Lift au ping-pong, tennis… Effets au football… Alcyone (navire du commandant Cousteau) … http://www.hach.ulg.ac..be – – – – ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 31 Corps immergé dans un fluide parfait 63 • Rappel : les efforts totaux appliqués sur le corps engendrent : – Parallèlement à l’écoulement Æ traînée – « Drag » – Perpendiculairement à l’écoulement Æ portance – « Lift » ( ) Fportance = ∫ p cos θ − τ 0 sin θ dA http://www.hach.ulg.ac..be ⎛ Ftraînée = ∫ ⎜ p sin θ + ⎜ ⎝ traînée de forme τ 0 cos θ traînée de frottement ⎞ ⎟ dA ⎟ ⎠ Fluide parfait = pas de viscosité ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Corps cylindrique immergé dans un fluide parfait 64 Fportance Ftraînée pc , rel U∞ 2π http://www.hach.ulg.ac..be Fportance = − ∫p c , rel sin θ rc dθ 0 θ 2π Ftraînée = − ∫p c , rel cos θ rc dθ 0 Attention : θ des coordonnées polaires ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 32 Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : champ de pression 65 • Par Bernoulli, on a p p∞ U ∞2 1 ⎛ Γ ⎞ + = c + ⎜ 2U sin θ − ⎟ 2π rc ⎠ ρ g 2g ρ g 2g ⎝ ∞ http://www.hach.ulg.ac..be pc = p∞ + ρ pc , rel = ρ 2 U ∞2 1⎛ Γ ⎞ − ρ ⎜ 2U ∞ sin θ − ⎟ 2 2⎝ 2π rc ⎠ U ∞2 Γ ⎞ 1⎛ − ρ ⎜ 2U ∞ sin θ − ⎟ 2 2⎝ 2π rc ⎠ 2 2 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : portance pc , rel 66 • Force de portance… U2 Γ ⎞ 1⎛ = ρ ∞ − ρ ⎜ 2U ∞ sin θ − ⎟ 2 2⎝ 2π rc ⎠ 2 2π Fportance = − ∫p c , rell sin θ rc dθ 0 2π Fportance = − ∫ http://www.hach.ulg.ac..be 0 Fportance = − ρ 2 ⎡ U2 Γ ⎞ ⎤ 1⎛ ⎢ ρ ∞ − ρ ⎜ 2U ∞ sin θ − ⎟ ⎥ sin θ rc dθ 2⎝ 2π rc ⎠ ⎥ ⎢ 2 ⎣ ⎦ U ∞2 2Γ rc 2 U ∞π rc 2π ∫ sini 2 θ dθ 0 Fportance = − ρU ∞ Γ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 33 67 Théorème de Kutta‐Joukowski « Selon la théorie des fluides parfaits, la portance par unité d d’épaisseur dde tout corps immergé dans d un fluide fl d possédant d un champ de vitesse uniforme vaut http://www.hach.ulg.ac..be Fportance = − ρU ∞ Γ Γ représentant la circulation totale contenue dans le corps. » ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : portance 68 • Rappel : la région hors du cylindre est doublement connexe http://www.hach.ulg.ac..be Æ une solution univoque n’est possible que si la circulation estt définie défi i (théorème de Dirichlet) • Dans un fluide faiblement visqueux, une rotation du cylindre peut engendrer une circulation. • En fluide parfait, la viscosité est nulle Æ le cylindre ne peut pas engendrer de vitesse tangentielle et donc une circulation Æ Il n’existe pas de critère pour déterminer la circulation autour d’un corps réel dans un fluide parfait ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 34 Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : traînée 69 • Force de traînée… pc , rel U2 Γ ⎞ 1⎛ = ρ ∞ − ρ ⎜ 2U ∞ sin θ − ⎟ 2 2⎝ 2π rc ⎠ 2 2π Ftraînée = − ∫p c , rel cos θ rc dθ 0 2π Ftraînée = ∫ 0 2 ⎡ U2 1⎛ Γ ⎞ ⎤ ⎢ ρ ∞ − ρ ⎜ 2U ∞ sin θ − ⎟ ⎥ cos θ brc dθ 2⎝ 2π rc ⎠ ⎥ ⎢ 2 ⎣ ⎦ http://www.hach.ulg.ac..be =0 Ftraînée, cylindre avec circulation = 0 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 70 Corps immergé dans un écoulement irrotationnel : traînée • Un corps immergé dans un fluide parfait à vitesse constante ne subit pas de force de traînée : Ftraînée = 0 http://www.hach.ulg.ac..be Fportance Ftraînée U∞ ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 35 71 Paradoxe de d’Alembert « La force exercée sur un corps arbitraire qui se meut dans un fluide parfait incompressible à vitesse constante selon une trajectoire rectiligne est nulle, pourvu que Γ=0 » • Explication physique : – Si Ftraînée ≠0, la puissance mécanique Ftraînée xU∞ devrait être transformée au sein du fluide en chaleur ou en énergie cinétique • Soit un transport en aval de l’énergie interne croissante http://www.hach.ulg.ac..be – pour un fluide parfait pas de dissipation d’énergie • Soit un transport de ll’énergie énergie cinétique croissante sous forme de mouvement ondulatoire – pas de phénomène ondulatoire en incompressible d’étendue infinie – Si Γ ≠0, une force de portance existe qui est perpendiculaire à U∞ et qui ne produit donc pas d’énergie dans l’écoulement. ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Paradoxe de d’Alembert 72 • Le paradoxe de d’Alembert ne s’applique pas http://www.hach.ulg.ac..be – en présence d’un mécanisme de transport d’énergie ou de quantité de mouvement (ex. : ondes de surface à la surface libre d’un fluide idéal) – En présence d’un mouvement instationnaire – Pour un fluide visqueux ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 36 73 Application du principe de superposition : aile d’avion bidimensionnelle • Une aile d’avion développe généralement de la portance • Historiquement, l’écoulement autour d’un tel corps a été approché par le principe de superposition : http://www.hach.ulg.ac..be – D D’un un écoulement homogène et parallèle – D’une combinaison de dipôle (corps symétrique) – D’une couche tourbillonnaire selon sa ligne de squelette α : angle d’attaque ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Application : aile d’avion bidimensionnelle 74 • Complexité de la théorie : Æ le profil est un résultat (peu utile en pratique) Æ il faut aut ca caractériser acté se les es intensités te s tés des dipôles et de la circulation totale ainsi que leurs distributions spatiales http://www.hach.ulg.ac..be – Soit problème direct – So Soitt problème p ob è e indirect d ect ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 37 75 Application : aile d’avion bidimensionnelle • Une seconde approche consiste en l’utilisation des mathématiques des nombres complexes et de la transformation conforme http://www.hach.ulg.ac..be • Principe : • « Utiliser des solutions d’écoulements connues dans des conditions simples (ex. : cercle) et les transposer dans un autre plan pour obtenir une géométrie complexe » a2 ς = z+ où a est un nombre réel z Transformation de Joukowski : z=x+iy ς =ξ +iη ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be 76 Application : aile d’avion bidimensionnelle • La transformation de Joukowski « convertit » un cercle de rayon a en un plan ς = z+ a2 z où a est un nombre réel z=x+iy ς =ξ +iη ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 38 Application : plan portant 77 • Si cette transformation est appliquée à une combinaison : – d’un écoulement uniforme formant un angle α avec l’horizontale – d’un dipôle Æ cercle – aucune circulation http://www.hach.ulg.ac..be α Points de vitesse infinie ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Application : plan portant 78 • Si cette transformation est appliquée à une combinaison : – d’un écoulement uniforme formant un angle α avec l’horizontale – d’un dipôle Æ cercle Γ = 4π aU ∞ sin α Incidence du flux d’air – C Circulation cu at o http://www.hach.ulg.ac..be Uintrados = Uextrados Points de vitesse infinie ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 39 Application : plan portant 79 • Complexité de la théorie : – Rappel : en fluide parfait, pas de critère pour déterminer la circulation autour d’un corps Æ observations à partir de fluides peu visqueux http://www.hach.ulg.ac..be – Si Γ = 0, la théorie potentielle indique que les vitesses aux bords d’attaque et de fuite tendent vers l’infini – En pratique, de telles vitesses sont impossibles et il est observé un décollement de l’écoulement ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Application : aile d’avion bidimensionnelle http://www.hach.ulg.ac..be 80 • Complexité de la théorie : – Un décollement peut être évité si le bord d’attaque est arrondi Æ création d’une circulation autour du corps Æ dép déplacement ace e t du po pointt P2 ve verss lee bo bord d de fuite u te Le développement d’une circulation telle que le point P2 est au droit du bord de fuite est appelée « condition de Kutta » (1902) ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 40 Application : aile d’avion bidimensionnelle http://www.hach.ulg.ac..be 81 • Complexité de la théorie : – Le développement d’une circulation telle que le point P2 est au droit du bord de fuite est appelée « condition de Kutta » (1902) – Si le bord de fuite est « tranchant » Æ condition de point d’arrêt (a) – Si le bord de fuite est un point de « rebroussement » Æ ve=vi (b) ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 82 Application : aile d’avion bidimensionnelle • En stationnaire et en aval d’un profil bidimensionnel, il n’y a pas de discontinuité dans le champ de vitesse Æ pas de couche tourbillonnaire dans l’écoulement aval: http://www.hach.ulg.ac..be Pas de sillage • L’amplitude de la portance d’une aile est fonction de la vitesse d’écoulement Æ la circulation augmente avec la vitesse • Mais, le théorème de Kelvin dit que : DΓ =0 Dt ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 41 83 Application : aile d’avion bidimensionnelle • Lors de l’accélération de l’aile, la circulation doit s’adapter constamment de manière à vérifier la condition de Kutta http://www.hach.ulg.ac..be Æ une couche tourbillonnaire doit être crée derrière l’aile pour que la circulation totale soit conservée DΓ =0 Dt • Cette couche est instable et tend à s’enrouler en un tourbillon dit « de démarrage » ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 84 Application : aile d’avion bidimensionnelle • Une fois que la vitesse de l’aile est constante, ce tourbillon s’éloigne de manière à ne plus influencer l’écoulement autour de l’aile. http://www.hach.ulg.ac..be Æ le mouvement redevient stationnaire DΓ =0 Dt • A chaque accélération, un nouveau tourbillon est créé ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 42 http://www.hach.ulg.ac..be 85 Application : aile d’avion bidimensionnelle • Pour une aile bidimensionnelle, la portance est représentée par une couche tourbillonnaire de longueur infinie selon l’axe z : • Mais pour un profil tridimensionnel, tridimensionnel ll’envergure envergure est finie Æ Quelle est la couche tourbillonnaire représentative? ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Application : aile d’avion tridimensionnelle 86 • Selon les théorèmes d’Helmholtz : – Un fil tourbillonnaire ne peut prendre naissance ou s’éteindre dans le fluide – Sa longueur doit être infinie ou être une courbe fermée http://www.hach.ulg.ac..be • La couche tourbillonnaire doit donc se présenter sous la forme d’un U s’étendant vers l’infini et transitant par le profil ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 43 87 Application : aile d’avion tridimensionnelle • Pour une aile tridimensionnelle, il existe, comme en 2D, une dépression sur l’extrados et une surpression sur l’intrados. http://www.hach.ulg.ac..be • En bout d’aile d aile, la pression doit cependant ss’égaler égaler et la circulation tendre vers 0 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Application : aile d’avion tridimensionnelle http://www.hach.ulg.ac..be 88 • Une aile 3D est donc idéalisée par deux couches tourbillonnaires : – Une « fixée » à l’aile : produisant un différentiel de pression Æ portance – Une « libre », résultat direct de la variation de la circulation de long de l’envergure, qui génère une discontinuité dans les vitesses tangentielles selon z • Aux extrémités, cette discontinuité génère ainsi un écoulement de contournement ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 44 http://www.hach.ulg.ac..be 89 Application : aile d’avion tridimensionnelle • Tout comme dans le cas de la couche tourbillonnaire de KelvinHelmholtz, cette couche est instable et tend à s’enrouler pour former un tourbillon de bout d’aile. • Les fils tourbillonnaires libres se rejoignent par le « fil de démarrage » ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be 90 Illustrations : aile d’avion tridimensionnelle ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 45 • La formation en V des oiseaux migrateurs est principalement due au principe que chaque oiseau, à l’exception du premier, vole dans un vortex de bout d’aile porteur Æ il diminue ainsi sa traînée et améliore sa portance Æ moins de fatigue et plus d’endurance http://www.hach.ulg.ac..be 91 Tourbillons de bout d’ailes : oiseaux migrateurs ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 46
