Eléments de Mécanique des Fluides q

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05/05/2010
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Eléments de Mécanique des Fluides
q
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Objectifs de la séance
• Nécessité de recourir à des modèles physiques
• Etablissement des règles de similitude
• Similitudes usuelles pour un fluide en mouvement
– Froude
F d
– Reynolds
• Similitudes pour des transports associés
– Transport sédimentaire
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• Exemples d’essais physiques
• L’étude de la mécanique des fluides : pourquoi et comment ?
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Introduction
Les problèmes de mécanique des fluides consistent toujours
en des phénomènes complexes et variés
• Ils peuvent être abordés, moyennant hypothèses
simplificatrices :
– par résolution analytique d’équations
– par résolution numérique d’équations
• Une autre voie consiste à recourir partiellement ou
complètement à l’expérience
– Pour l’établissement de lois comportementales
– Pour la vérification de tendances
– Pour l’établissement de solutions dans des cas non traitables
fiablement
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Interaction numérique ‐ expérimental
Prise d’eau de Rosport (Luxembourg)
Etude numérique 2DH à large échelle et modèle réduit 2DV local
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Interaction numérique ‐ expérimental
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Aménagement de Taoussa (Mali) – Etude
numérique à large échelle (bief de 7 km de
long et plus de 1 km de large sur le Niger) et
modèle réduit limité à l’évacuateur de crue
(250 m de large)
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Introduction
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• Expériences réalisées sur des maquettes (modèles réduits)
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• Nécessité de transposer les résultats entre l’échelle du
modèle (maquette) et celle du prototype,
prototype à l’aide de
conditions de similitudes
• Deux approches possibles :
– méthode directe (à partir des équations de mec. fl.)
– analyse
y dimensionnelle (théorème
(
« PI »))
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Deux types d’application de la similitude
– Pour l’étude de phénomènes trop complexes à modéliser
numériquement
– Nécessite de connaître les rapports ou échelles de similitude
– Exemple : écoulement avec entraînement d’air
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• Conception de modèles réduits
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Application à la conception de modèles réduits
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• Plusieurs types de similitude mécanique :
Xm : X relatif au modèle
Xp : X relatif au prototype
– la similitude géométrique
Lm
 eL  constante
Lp
– la similitude cinématique (vitesses, accélérations, ...)
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U m Lm Tm

 eV  constante
U p L p Tp
am Lm Tm2

 ea  constante
a p Lp Tp2
– la similitude dynamique (forces : ex. forces d’inertie,...)
Fm M m am  m L3m Lm Tm2


 eF  constante
Fp M p a p  p L3p L p Tp2
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Méthode directe : équations adimensionnelles
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• Transformation des équations de NS :
 Lc      uk 

0

U
t
t
x


 cc
k

 Lc    ui      ui uk   gLc  F  pc   p    c 
i
U t
xk
cU c2 xi U c Lc
U c2
 c c t
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• Apparition d’importants nombres sans dimension
–
–
–
–
nombre de Strouhal
nombre de Froude
nombre d’Euler
nombre de Reynolds
Str
ui   ui uk 
1
1
p

 2 Fi  Eu

ui
t
xk
xi Re
Fr
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Analyse dimensionnelle
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• Procédure
– inventaire de toutes les grandeurs intervenant dans le
problème
– grouper les
l grandeurs
d
en produits
d i sans dimension
di
i
– exprimer les conditions de similitude en fonction de
ces grandeurs sans dimension
• Difficulté : ne pas oublier de grandeurs dans
ll’inventaire
inventaire de celles intervenant dans le
phénomène étudié
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La similitude de Froude
• Modèle où les forces d’inertie et de pesanteur
interviennent prioritairement :
Forces d'inertie  M
U2
L
Forces de pesanteur  Mg
P
M
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Fi
F
 iM
P
Fg
Fg
U *2
1
g * L*
U : les termes de vitesse
L : les termes de longueur
M : la masse
g : l’accélération de la pesanteur
u2
U2
m
l
L 

MG
mg
M
Conservation du nombre de Froude
Si g *  1  V *  L*
Et donc…
*5
Q*  U*L*2  L
2
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La similitude de Froude
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• Application: Ecoulement sur un coursier
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Prototype
yp : 16500 m³/s
/
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La similitude de Froude
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• Application: Etude de la houle
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La similitude de Reynolds
• Modèle où les forces d’inertie et de viscosité
interviennent prioritairement :
Forces d'inertie  M
U2
L
Forces de viscosité  M
P
M
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Fi
F
 iM
P
F
F
L*U *
*
1
U
L2
U : les termes de vitesse
L : les termes de longueur
M : la masse
n : la viscosité cinématique
u2
U2
m
l
L 

U
u
M 2 m 2
L
l
M
Conservation du nombre de Reynolds
Si  *  1  U * 
1
L*
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La similitude de Reynolds
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• Application : Etude de la trainée
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La similitude parfaite
• Une similitude complète impose à la fois une conservation
des 3 forces en jeu :
Des forces de viscosité
Similitude de Froude
Similitude de Reynolds
Des forces d’inertie
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U*  L*
U* 
1
L*
Des forces de gravité
L 1
*
Le prototype et le modèle sont à la
même échelle. Impossible
!
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Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI
• Phénomène principal à modéliser : pertes internes dans le fluide
• Conséquence : utilisation d’une similitude de Reynolds
U * L*
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*

 *U * L*
1
*
• Echelle du débit: U * L*

*
 1  U * L*   *
Q*  U * L*2   * L*
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Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI
• Phénomène principal à modéliser : pertes internes dans le fluide
• Conséquence : utilisation d’une similitude de Reynolds
U * L*
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*

 *U * L*
1
*
• Echelle du coefficient de perte de charge par la similitude de Reynolds:
y
P
K
P   KQ 2
2
Q
 * L*3 U *2 L*

*

P
F * L*2
K *  * *2 
 L*4
Q
 *U *2 L*4
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Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI
• Phénomène principal à modéliser : pertes internes dans le fluide
• Conséquence : utilisation d’une similitude de Reynolds
U * L*
*

 *U * L*
1
*
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• Propriétés des fluides: Prototype : hydrogène
100 bars = 7,84 kg/m³
 = 7.42 × 10−6 kg/m.s
 = 9.46 10‐7 m²/s
Modèle : eau
 = 1000 kg/m³
 = 10‐3 kg/m.s
 = 10‐6 m²/s
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Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI
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• Prototype :
7 10-2 m
190 m/s
0.731 m³/s
0.73
/s
– Diamètre conduite :
– Vitesse :
– Débit
éb t :
• Modèle :
– Débit maximum des pompes :
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• Échelle
– Viscosité
* 
– Longueur
L* 
0,93 m³/s
 modèle
 1.06
 pprototype
yp
Q*
*
 1.2
Echelle géométrique retenue 1.2/1
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Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI
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• Modèle :
– Débit maximum des pompes :
– Diamètre des conduites :
– Vitesse :
0,93 m³/s
8.4 10-2 m
168 m/s
Re  1.41107
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Lors des essais, de la cavitation est apparue dans le modèle car
pression imposée insuffisante
diminution du débit et donc de la vitesse
perte de la similitude de Reynolds
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• Néanmoins, le régime d’écoulement atteint permet de
conclure à une indépendance du coefficient de frottement
par rapport au nombre de Reynolds
• Rugosité relative  = 1.42
1 42 10-3
Coefficcient de frottement
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Application: Vanne chambre à hydrogène VINCI
Nombre de Reynolds
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Application: Similitude de Froude en régime turbulent rugueux
Prototype
Cooefficient de frottement
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Exemple :
Nombre de Reynolds
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Application: Vanne chambre à hydrogène VINCI
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Application : Barrage en Inde
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Application : Barrage en Inde
Approach channel
Desilting
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Spillweir
Dam
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Etude de la sédimentation
Poussée d’Archimède +
traînée
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Résultante =
Vitesse de
sédimentation
Gravité
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Etude de la sédimentation
Poussée d’Archimède +
traînée
Vitesse de l’écoulement
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Résultante =
Vitesse de
sédimentation
Gravité
Mouvement résultant
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Vitesse de chute
• Définition : vitesse ultime qu’atteint une particule solide
dans de l’eau distillée au repos
• Dépend de
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–
–
–
–
–
FD
Taille de la particule
Forme de la particule
Masse volumique déjaugée de la particule
Viscosité de l’eau
Concentration en sédiments
Ws
• Ex. loi de Stokes
(particule isolée dans un fluide au repos !)
• Autres formulations en pratique
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Vitesse de chute
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• Pour une particule isolée, ou en faible concentration
– Forces s’appliquant sur la particule :
• Poids déjaugé
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• Force de trainée
Ws    s    ga1d 3
FD
ws2
FD  CD  a2 d
2
2
Ws
 Pour une sphère :
a1 

6
a2 

4
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Vitesse de chute
• Pour une particule isolée, ou en faible concentration
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FD
– Equilibre des forces s’appliquant sur la particule :
Ws  FD
  s    ga1d 3  CD  a2 d 2
ws2
2
Ws
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 Vitesse de chute :
ws 
a1 2 s  
gd
a2 CD 
Coefficient de traînée
fonction du nombre de
Reynolds
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Vitesse de chute
• Formule pratique, valable pour des sédiments de taille
entre 100 microns et 1 mm (van Rijn, 1993)
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ws 
0.01 s  1 gd 3 
10  
 1
 1
d 
2


Coefficient de traînée fonction du
nombre de Reynolds de particule
(Sp = 0.7 pour des sédiments naturels)
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Etude de la sédimentation
gLm
um2
u
1 m 
gLr
ur
2
ur
Lm
 L*
Lr
Echelle géométrique : L*
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1. Ecoulement à surface libre  conservation du nombre de Froude
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Etude de la sédimentation
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1. Ecoulement à surface libre  conservation du nombre de Froude
gLm
um2
u
1 m 
gLr
ur
ur2
Lm
 L*
Lr
Echelle géométrique : L*
2. Conservation du rapport vitesse d’écoulement / vitesse de sédimentation
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Poussée d’Archimède +
traînée
Vitesse de l’écoulement
Résultante =
Vitesse de
sédimentation
Gravité
Mouvement résultant
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Etude de la sédimentation
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1. Ecoulement à surface libre  conservation du nombre de Froude
2. Conservation du rapport vitesse d’écoulement / vitesse de sédimentation
wsm
um
w
u
 1  sm  m  L*
wsr
wsr ur
ur
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On reprend l’expression de la vitesse de chute pour des sédiments de taille supérieure
à 100 microns :

0.01  m eau  1 gd m3 
0.01  m eau  1 gd m 3 
10  
 1
 1
 1
 1
2
dm 

2
 d r 

wsm



 L*
3
3
d
wsr




m
0.01
1
0.01
1


gd


gd


 r eau  r  1
 r eau  r  1
10 
 1
 1
2
2
dr 






On vérifiera a posteriori que le Reynolds de particule sur le modèle reste
suffisamment grand.
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Etude de la sédimentation
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1. Ecoulement à surface libre  conservation du nombre de Froude
2. Conservation du rapport vitesse d’écoulement / vitesse de sédimentation
wsm
um
w
u
 1  sm  m  L*
wsr
wsr ur
ur
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On reprend l’expression de la vitesse de chute pour des sédiments de taille supérieure
à 100 microns :
 m  eau
gd m
 eau
wsm


wsr
 r  eau
1.1
gd r
 eau
1.1
 m  eau  d m
 r  eau  d r
 L*
On vérifiera a posteriori que le Reynolds de particule sur le modèle reste
suffisamment grand.
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Etude de la sédimentation
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Deux degrés de liberté (m et dm) pour vérifier une condition.
1
Une possibilité consisterait à simplement choisir l’échelle géométrique des particules
égale à l’échelle géométrique du modèle (puis d’en déduire l’échelle de densité)
MAIS cela conduit en pratique à des tailles de particules beaucoup trop faibles
(effets de cohésion)
Exemple : projet de Kol Dam
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Diamètre de grain réels = 250 microns
Echelle du modèle = 1 / 18,5
Les particules sur le modèles devraient avoir une taille de
14 microns !!!
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Etude de la sédimentation
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2
Deuxième possibilité : combiner la mise à l’échelle de la taille des particules avec un
changement de matériau (masse volumique différente)
 très porteur en pratique
E
Exemple
l : projet
j t de
d Kol
K l Dam
D
Diamètre de grain réels = 250 microns
Echelle du modèle = 1 / 18,5
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Utilisation de sciure de bois calibrée et saturée :
Diamètre de grain = 650 microns
Densité = 1,05 (après saturation d’eau)
OK : loi de similitude vérifiée
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Sédimentation dans la retenue
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Initial
Final
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Exemples de modèles physique
–
–
–
–
–
Contrôle des projections des roues
Stabilité aux rafales de vent
Visibilité
V
s b té
Désembuage
…
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• Test de pluie sur un cabriolet
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Exemples d’études physiques « On y simulait les mouvements de la marée, des fleuves et des différents phénomènes hydrauliques agitant la
petite Baie, afin d'observer l’effet à long terme des aménagements projetés.
La tangue était figurée par de la sciure de bois, le sable par de la nacre artificielle de couleur rouge. C’était
une première dans l’histoire des techniques de modélisation.
S cette maquette, les
Sur
l reliefs
l f étaient
é
amplifiés
l f é en raison des
d échelles
é h ll et des
d nécessités
é
é de
d la
l modélisation.
dél
»
Source : brochure hydro-sédimentaire http://www.projetmontsaintmichel.fr/agir/iso_album/dossier_hydro_p1a24_0812.pdf
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• Ensablement du Mont Saint-Michel
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Exemples d’études physiques http://www.hach.ulg.ac..be
42
• Etude d’évacuateur de crues (barrage Folsom – Californie)
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05/05/2010
Exemples de modèle physique
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43
• Reproduction du Mississipi
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Exemples de modèles physiques
–
–
–
Etude en soufflerie
Maquette au 1/50
Section de la soufflerie 9 m x 9 m
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44
• Burj Dubaï, gratte-ciel de 750 m de haut
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05/05/2010
Exemples de modèles physique
– Essai en soufflerie en phase de construction
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45
• Viaduc de Millau
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