1 http://www.hach.ulg.ac..be Eléments de Mécanique des Fluides q ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 2 Objectifs de la séance • Ecoulements irrotationnels et fluide visqueux • Notion de couche limite – liaison aux conditions limites de non-glissement • Ecoulements laminaire et turbulent – Expérience de Reynolds – Ecoulements en transition et établi http://www.hach.ulg.ac..be • Dimension caractéristique de la couche limite – plaque oscillante – Plaque infiniment mince – Formulation générale des équations de la couche limite • Décollement de la couche limite – Liaison avec la prise en compte d’un gradient de pression • Couche limite et traînée ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 1 3 Ecoulements irrotationnels – domaine d’application • Historiquement, les écoulements irrotationnels sont étudiés pour résoudre le problème « extérieur » si Re >> 1 • Le problème « intérieur », » couche limite, limite est un lieu d’épaisseur limitée où la viscosité est dominante http://www.hach.ulg.ac..be • La liaison entre les deux est assurée par cohérence du champ de vitesse à l’interface ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 4 Ecoulements irrotationnels – domaine d’application • Les solutions de base de l’écoulement irrotationnel sont définies pour un domaine spatial infini où les conditions limites sont imposées http://www.hach.ulg.ac..be • La modélisation d’écoulement autour de corps fictifs est possible mais il n’est possible de les remplacer par des corps réels que dans l’hypothèse supplémentaire d’un fluide parfait (pas de viscosité) • Il y a en effet ff toujours j glissement li t des d particules ti l à la l paroii ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 2 Ecoulements irrotationnels – domaine d’application 5 • Rappel : vitesse tangentielle pour un corps fictif en rotation : v r rc 2U sin 2 rc http://www.hach.ulg.ac..be • Cette vitesse dépend de , un cylindre réel en rotation aurait une vitesse tangentielle constante il existe un glissement différentiel entre le fluide et le corps p réel valable uniquement pour un fluide parfait ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 6 Rappel : Corps imperméable • En toute généralité, à la paroi d’un corps imperméable, une particule fluide adhère à la paroi : U W fluide à la paroi surface du corps • Si le corps est fixe : http://www.hach.ulg.ac..be U 0 U n U t 0 n U fluide à la paroi t ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 3 7 Rappel : Corps imperméable • Pour un fluide parfait, il n’y a pas de viscosité et donc pas de frottement entre le fluide et le corps: U tangentielle 0 http://www.hach.ulg.ac..be • Pour un corps imperméable dans un fluide parfait, la condition sur la vitesse normale est donc suffisante : U n W n ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Ecoulements irrotationnels – domaine d’application 8 • Cohérence des conditions aux limites pour l’équation de Laplace : – Equation en dérivées secondes – Besoin analytique d’une seule condition à chaque frontière – Vis-à-vis Vis à vis des équations complètes, complètes il s’agit d’un problème aux perturbations singulières – Pour un domaine spatial infini, approche cohérente vu le report des conditions aux limites http://www.hach.ulg.ac..be • Questions à se poser : – Un écoulement irrotationnel est-il physiquement possible en présence d’une paroi fixe ou mobile ? – Il a été démontré « Un écoulement irrotationnel d’un fluide newtonien incompressible ne mobilise pas les contraintes visqueuses » (cours 5 slide 34). Quelle en est la signification physique ? – Pour un domaine spatial fini, quelle est l’influence des conditions aux limites de non-glissement observées pour un fluide visqueux (même faiblement) ? ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 4 9 Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux • Considérons deux cylindres concentriques en rotation • Conditions aux limites : parois solides imperméables • Quelle sont les caractéristiques de l’écoulement stationnaire ? ω2 http://www.hach.ulg.ac..be V ω1 r ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux 10 • Développement d’un écoulement irrotationnel possible ? • 2 approches h : http://www.hach.ulg.ac..be – Résoudre Navier-Stokes en général et chercher les conditions suffisantes – Poser l’irrotationnalité et chercher les conditions suffisantes ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 5 Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux – Navier‐Stokes ω2 11 V Passage en coordonnées cylindriques… r ω1 u, v, w vr , v , w x, y , z r , , z http://www.hach.ulg.ac..be →N-S pour un écoulement stationnaire et un fluide incompressible vr vr 1 v w r r r z 0 ui vr v vr v 2 v v 1 p 2 v w r vr r2 2 x 0 vr r r z r r r i r u p 1 v v v v v v v p 1 2 v j r u v u j w v 2 2 r i xi r r x r r z r r r j v w w w 1 p v r r r w z z w ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux – système simplifié 12 • L’écoulement est symétrique vr 0 v f r w 0 p f r http://www.hach.ulg.ac..be • Les 4 équations de N-S se réduisent à : • Ou encore : v 1 p r r 1 r v v 0 r r r r 2 2 v 2 1 p r r 0 v v r2 v 1 v r r r r 2 2 1 v v 2 2 z r p f v v ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 6 13 Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux 1 v r r r r v 2 0 r v r Ar Composante rotationnelle CL (aux parois): v r r1 1r1 http://www.hach.ulg.ac..be p r r1 p1 B Composante irrotationnelle (non glissement) v r r2 2 r2 A B r (référence) 2 r22 1r12 r22 r12 1 2 r22 r12 r22 r12 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux 14 • Expressions finales de la vitesse et de la pression : v r p r p1 r22 2 r12 2 2 2 r2 1r1 2 2 r22 1r12 r22 r12 r 1 2 r22 r12 1 r22 r12 r r 2 r12 1 2 1 2r22 r12 2 1 2 r22 1r12 r24 r14 2 1 2 2 r 2 r 1 Ecoulement de Taylor-Couette entre deux cylindres pour un fluide visqueux • Condition suffisante d’un écoulement irrotationnel : http://www.hach.ulg.ac..be 2 r22 1r12 r22 r12 0 v 2 2 r2 r1 v 1 1r1 r2 Rappel : vortex libre v r 1 p p1 v r12 r 12 r12 2 r2 1 12 r 2 r ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 7 Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux http://www.hach.ulg.ac..be 15 • Ecoulement irrotationnel entre deux cylindres en rotation? vr r v 1 r v r1 v 1 v v 2 r2 1 vz v U z r (symétrie) vr vz , z r vr 0 r1 v 1 r2 v 2 A r1 A r2 A 1 2 U 0, 0, r r v f r v v 1 rv vr , r r 2 0 f A r v 1 v 2 v r 1 1 r1 r2 v 2 r2 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Ecoulement irrotationnel entre deux cylindres coaxiaux 16 • Conclusion « Un écoulement irrotationnel entre deux cylindres en rotation est possible pour autant que les vitesses de rotations des cylindres varient de façon inversement proportionnelle au rayon » http://www.hach.ulg.ac..be v 1 r1 v 2 r2 • Cette conclusion est valable pour un fluide visqueux • Dans le cas d’un fluide parfait, la rotation des cylindres n’entraînerait pas de mouvement du fluide puisqu’il n’existe pas de viscosité pas d’interaction fluide-solide ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 8 Un écoulement irrotationnel est‐il physiquement possible ? 17 • Ecoulement irrotationnel d’un fluide visqueux et paroi fixe 0 paroi 0 • La solution du laplacien est harmonique et ne peut accepter d’extremum dans le domaine (slide 54 - cours 5) http://www.hach.ulg.ac..be • La condition d’imperméabilité prend la forme d’un extremum La seule solution possible est un fluide au repos = 0 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 18 Limite de la théorie potentielle • « Un écoulement irrotationnel d’un fluide newtonien incompressible ne mobilise pas les contraintes visqueuses » (cours 5 slide 34) • Quelle en est la signification physique ? http://www.hach.ulg.ac..be Les tensions visqueuses existent mais sont en équilibre dans les trois directions ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 9 19 Limite de la théorie potentielle • Irrotationnel : Paradoxe de d’Alembert « pas de force appliquée dans un écoulement incompressible uniforme stationnaire sans surface libre » stationnaire, http://www.hach.ulg.ac..be Distribution de pression (rouge : pression haute, bleu : pression basse) • Ecoulement visqueux de Stokes (Re<<1) « développement pp d’une force de traînée composée d’une fraction liée à la pression et une autre fraction due au frottement » ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 20 Expérience de Reynolds • Le régime d’écoulement a été caractérisé en fonction du nombre de Reynolds (cours 4 – slide 69 – valable pour un écoulement en conduite): • Laminaire - Re < 2000 • Transitoire – 2000 < Re < 3000 • Turbulent – Re > 3000 • Quelle en est la signification physique ? http://www.hach.ulg.ac..be Expérience de Reynolds ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 10 http://www.hach.ulg.ac..be 21 Expérience de Reynolds ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Régimes d’écoulement 22 • Régime laminaire – Ecoulement dont les filets fluides ne s’entrecroisent pas – Pas de mélange mais interaction visqueuse entre les filets fluides – En stat stationnaire, o a e, les es lignes g es de courant cou a t sont so t confondues co o dues avec les es trajectoires Solutions analytiques possibles au prochain cours http://www.hach.ulg.ac..be • Régime turbulent – L’écoulement devient instable – Il existe un mélange des filets fluides même en écoulement globalement stationnaire – La notion de ligne de courant n’a plus de sens sauf « en moyenne temporelle » Fera l’objet de deux cours spécifiques ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 11 Régimes d’écoulement 23 • La transition de régime dépend du nombre de Reynolds Re U c Lc • Dépend donc de : http://www.hach.ulg.ac..be – La viscosité du fluide – La vitesse de l’écoulement – Une longueur caractéristique • Exemple d’une conduite circulaire en laminaire longueur caractéristique = diamètre • Exemple d’une plaque mince parallèle à l’écoulement longueur caractéristique = abscisse ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Régimes d’écoulement 24 • Exemple d’une conduite circulaire en laminaire : http://www.hach.ulg.ac..be Régime non établi Régime établi – La vitesse entre de façon uniforme et l’écoulement est stationnaire – A la paroi, condition de non-glissement ralentissement – Par continuité, les vitesses au centre augmentent – Une fois le régime établi, le profil de vitesse est constant – Une couche limite laminaire s’est développée dans toute la section depuis les bords ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 12 • Dès les nombres de Reynolds faibles, il existe des tourbillons derrière le cylindre • Si la vitesse augmente, les tourbillons commencent par se détacher de façon ç alternée (tourbillons ( de Von Karmann)) • A Re>>1, la couche limite « décolle » et forme un large sillage http://www.hach.ulg.ac..be 25 Ecoulement autour d’un cylindre en fonction du Reynolds ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 26 Importance de la couche limite • Dès qu’une viscosité existe, l’observation d’écoulement met en évidence un comportement particulier à la paroi • A cet endroit, les conditions de non glissement perturbent ll’écoulement écoulement http://www.hach.ulg.ac..be Couche limite Il ppeut arriver qque cette couche limite se « décolle » de la pparoi ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 13 27 http://www.hach.ulg.ac..be Couche limite laminaire ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Viscosité, couche limite et pertes de charge 28 • Quelques questions sur la couche limite : Quelles en sont les grandeurs caractéristiques ? Quelles Que es so sontt les es équat équations o s régissant ég ssa t lee pproblème ob è e ? D’où provient la rotationnalité d’un écoulement ? Peut-on relier la viscosité et donc la couche limite aux pertes de charge d’un écoulement ? – … http://www.hach.ulg.ac..be – – – – ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 14 29 Rappel : Navier‐Stokes • La formulation non-conservative des équations de NavierStokes valables pour un fluide newtonien incompressible barotrope : U 0 DU U p U U F U Dt t http://www.hach.ulg.ac..be peut être écrite sous une forme similaire aux équations de Lamb: U 0 2 U U p U F 2 t U ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 30 Rappel : Projection sur une ligne de courant • Si le champ de force est conservateur et que l’écoulement est stationnaire : U 0 2 U p G 2 U U http://www.hach.ulg.ac..be • Par une multiplication scalaire de l’équation de quantité de mouvement par U : U 0 2 U p U G U U 2 H =Fonction de Helmholtz ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 15 Sillage et pertes 31 • H représente la charge de l’écoulement et va diminuer pour autant que U U 0 http://www.hach.ulg.ac..be • Supposons : U 0 • A la surface d’un corps solide imperméable la vitesse normale est nulle et la vitesse tangentielle est nulle • La vérification des CL et un raccordement asymptotique de la vitesse de la couche limite avec l’écoulement extérieur induit : U 0 • Pour un tube de courant passant près de la surface, H tube va diminuer dans le sens de l’écoulement ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 32 Sillage et pertes • Définition du « sillage » : « zone rassemblant toutes les lignes de courant passant à proximité de la surface du corps » http://www.hach.ulg.ac..be • Dans le sillage, H sillage est inférieur à la valeur sur une ligne de courant transitant loin du corps Par conservation de qquantité de mouvement,, la pperte est liée à la traînée du corps = force appliquée ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 16 33 Equations d’Helmholtz, équation de vorticité • Formons le produit vectoriel de la conservation de quantité de mouvement avec l’opérateur (pour un fluide newtonien incompressible barotrope et un champ de force conservateur) U U H U t U H U t http://www.hach.ulg.ac..be 0 U U U U U =0 continuité U 0 D U Dt ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Equations d’Helmholtz en 2D 34 • Dans un écoulement bidimensionnel : 0 0 z U 0 D Dt http://www.hach.ulg.ac..be 2 z 2 z z z z u v z x 2 t x y y 2 Equation d’advection-diffusion d d d ff de d z à la surface d’un corps solide imperméable, une couche tourbillonnaire se diffuse en formant une « couche limite » ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 17 http://www.hach.ulg.ac..be 35 Diffusion de la couche tourbillonnaire ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 36 Création de rotationnalité • La création de rotationnalité dans le fluide s’explique principalement par l’adhérence des particules fluides sur une paroi solide http://www.hach.ulg.ac..be • Le long d’une paroi solide, il y a création continue de vorticité (rotation) ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 18 37 Résolution de la QM en terme de fonction de courant • En utilisant la fonction de courant en 2D (pour un fluide newtonien incompressible barotrope et un champ de force conservateur) : ,v y x U A z u http://www.hach.ulg.ac..be • La conservation de quantité de mouvement devient : U U H U t 4 z t y x x y 38 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be Mouvement d’une plaque oscillante Longueur caractéristique de la couche limite ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 19 Plaque oscillante 39 y • Ecoulement 2D xy • Plaque selon x de longueur infinie • Mouvement oscillatoire selon x u y, t plaque u 0, 0 t U 0 exp it x • Déplacement de la plaque /2 L 2U 0 cos t dt 2 http://www.hach.ulg.ac..be 0 L 2U 0 U0 • Hypothèse: pression uniforme selon x Constatation : à cause de la viscosité, viscosité il existe un entraînement des particules et une propagation du mouvement oscillatoire u y, t U 0 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Plaque oscillante : démarche 40 • Démarche : – – – – – Partir des équations de Navier-Stokes simplifiées en 2D dans le plan xy Hypothèse d’absence de force extérieure Appliquer pp que uunee déco décomposition pos t o de va variables ab es pour pou u y, t f t g y Intégrer analytiquement la solution pour déduire u Déterminer les constantes d’intégration grâce aux CL y Condition limite à la plaque: http://www.hach.ulg.ac..be u y, t plaque u 0, t U 0 exp i t C diti limite Condition li it « à l’infini l’i fi i »: u y, t y 0 x L 2U 0 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 20 Plaque oscillante y 41 Simplification des équations de Navier-Stokes » Ecoulement selon x » Variation des vitesses uniquement selon y » plaque infinie : Indépendance de la pression selon x P dde forces f extérieures té i x » Pas http://www.hach.ulg.ac..be L 2U 0 u v w x y z 0 u u u 1 p u t u x v y w z Fx x u v u v v v w v F 1 p v y t x y z y w w w w 1 p u v w Fz w t x y z z u x 0 2 u u u t y 2 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Plaque oscillante 42 Décomposition des variables u y, t f t g y Navier-Stokes http://www.hach.ulg.ac..be u 2u 2 t y Intégration dff u fg f g u dt f t t t d2g 2 u fg 2 g dy 2 f 2 u 2 2 g y y y 2 d2g df dy 2 dt k Cte f g f t C1 exp p kt 1 k 12 k 2 g y C2 exp y C3 exp y 1 k 12 k 2 u y, t C1 exp kt C2 exp y C3 exp y ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 21 Plaque oscillante Utilisation des CL 43 u y, t z 0 C3 0 u 0, t U 0 expp it C C U 0 1 2 k i C1C2 exp kt http://www.hach.ulg.ac..be 1 i 2 u y, t U 0 exp it y ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Plaque oscillante : longueur caractéristique de la couche limite 44 Solution : 1 i 2 u y, t U 0 exp i t y 1 1 2 2 u y, t U 0 exp y exp i t y 2 2 http://www.hach.ulg.ac..be Amplitude f(y) 2 1 2 1 2 U L 2 0 U 0 e1 1 2 1 2 i exp 4 2 1 2 1 i Mouvement oscillant Oscillations limitées à une couche d’une épaisseur de l’ordre de δ 2 2 2 4U 2 0 i 1 2 U0 L 1 2 Re 1 2 Plus l’écoulement est turbulent (Re >>), plus la couche limite est fine … ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 22 Rappel : méthode de calcul 45 • Approximation de couche limite • Calcul de l’écoulement « extérieur » selon l’hypothèse d’un fluide idéal épaisseur de couche limite supposée nulle 1 seule condition aux limites : vitesse normale nulle http://www.hach.ulg.ac..be • Calcul de l’écoulement « intérieur » selon l’hypothèse d’une couche limite mince 2 conditions di i aux limites li i à la l paroii : vitesse i normale l et tangentielle i ll nulles vitesse au somment de la couche limite = vitesse du problème extérieur 46 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be Evolution de la couche limite laminaire Approche macroscopique ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 23 Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane • Supposons : http://www.hach.ulg.ac..be 47 – Un fluide incompressible en écoulement stationnaire – Un champ de vitesse « extérieur » uniforme selon x dans le plan xy – Une plaque infiniment mince alignée selon l’axe x dont le bord d’ d’attaque est en (0,0) ( ) – Un volume de contrôle sur lequel sont appliqués les deux premiers principes de conservation (masse et quantité de mouvement) – Le bord supérieur du volume de contrôle est telle que h>>et que l’on peut supposer l’écoulement selon x comme non perturbé – Le ralentissement de la vitesse à la paroi induit obligatoirement un échange par le bord supérieur ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 48 Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane Question : Comment évolue l’épaisseur de la couche limite laminaire selon x ? http://www.hach.ulg.ac..be Théorie potentielle applicable!! h Couche limite ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 24 Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane 49 • Principe de conservation de la masse x h h x U n dS 0 U 0 dy u x dy v y h dx 0 A 0 h vdx U 0 u dy 0 0 0 • Principe i i de d conservation i de d quantité i de d mouvement selon l x (épaisseur unitaire) http://www.hach.ulg.ac..be Fx udV u U n dA A t V • En supposant que le gradient de pression selon x est nul, la seule force appliquée est la traînée de frottement sur la plaque h h Ftraînée u dy U h U 0 U 0 u dy 0 0 QM x bordentrée 2 2 0 QM x bordsortie QM x bordsup érieur ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 50 Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane • En effet : h 2 2 u U n dA ux u0 dh A 0 x uv y h 0 h x 0 0 uv y 0 dx u x2 U 02 dh U 0 v y h dx h x u x2 dh U 02 h U 0 v y h dx 0 0 http://www.hach.ulg.ac..be par la continuité h h u x2 dh U 02 h U 0 U 0 u x dy 0 0 h h 0 0 u x2 dh U 0 u x dy ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 25 Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane 51 • Combinant les termes : h Ftraînée u U 0 u dy 0 • Etant donné le principe d’action-réaction, la force sur la plaque est de direction opposée : h http://www.hach.ulg.ac..be Fplaque u U 0 u dy 0 • Mais est aussi égale à : x Fplaque 0 dx 0 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 52 Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane • Il est donc possible de déduire une relation liant les contraintes à la distribution de vitesse : h h u u 2 0 u U 0 u dy U 0 1 dy x 0 x 0 U 0 U 0 http://www.hach.ulg.ac..be • Cette intégrale peut être évaluée en choisissant un profil de vitesse pour autant que ce profil soit auto-similaire, c’est-àdire qu’il possède la même forme quelle que soit l’abscisse x u y f f U0 0 U 02 y 1 u u 1 d x 0 U 0 U 0 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 26 Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane 53 • Hypothèse de Von Karmann – Hors de la couche limite la vitesse est supposée être uniforme d’intensité U0 – Conditions limites de non-glissement à la paroi : u x, 0 v x, 0 0 – Condition de compatibilité entre écoulement « intérieur » et « extérieur » u x, U 0 – Profil parabolique dans la couche limite d’épaisseur http://www.hach.ulg.ac..be u 2 U0 0 U 02 y 2 2 1 2 d U 02 x 0 x 15 1 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane 54 • Hypothèse de Von Karmann u 2 F U0 0 U 02 2 15 x – A la surface de la plaque : http://www.hach.ulg.ac..be 0 u y y 0 U 0 F U 2 0 0 2 0 U0 – L’égalisation des deux expressions de 0 : 0 2 15 dx d U 0 U0 U 02 15 2 15 x x 2 Cste U 0 2 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 27 Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane 55 • Hypothèse de Von Karmann – La constante peut être déterminée : x 30 x 0 0 30 5.5 Re x Re x xU 0 longueur caractéristique = abscisse http://www.hach.ulg.ac..be – Introduisons cette expression pour déterminer 0 : 0 U 03 2 30 x La tension varie de façon inversément proportionnelle à la racine carrée de la distance ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane 56 • Hypothèse de Von Karmann – La traînée de frottement sur une demi-plaque de longueur L et de largeur unitaire : L Ftraînée 0 dx 0 4 U 03 L 30 – Si la traînée est exprimée en fonction de la pression au point de stagnation: http://www.hach.ulg.ac..be Ftraînée C f L U 02 2 4 U 03 L 30 – On obtient pour le coefficient Cf : Cf 8 30 8 1 U 0 L 30 Re L ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 28 57 Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane • D’autres coefficients peuvent être trouvés selon l’hypothèse choisie pour le profil de vitesse • Hypothèse de Prandtl – Hors de la couche limite la vitesse est supposée être uniforme d’intensité U0 – Conditions limites de non-glissement à la paroi : u x, 0 v x, 0 0 – Condition de compatibilité entre écoulement « intérieur » et « extérieur » u x, U 0 http://www.hach.ulg.ac..be – Profil dans la couche limite d’épaisseur u 3 2 U0 2 Cf y 1.328 Re L ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane 58 • Hypothèse de Blasius – solution exacte – Hors de la couche limite la vitesse est supposée être uniforme d’intensité U0 – Conditions limites de non-glissement à la paroi : – Condition de compatibilité entre écoulement « intérieur » et « extérieur » u x, 0 v x, 0 0 – Profil parabolique dans la couche limite d’épaisseur http://www.hach.ulg.ac..be u x, U 0 Equation de Blasius: 1 2 F 3 F F 0 2 2 3 Pas de solution analytique évaluation numérique ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 29 Ecoulement sur une plaque plane – Solution analytique 59 • solution exacte – Prandtl/Blasius Les conditions aux limites deviennent u x, 0 0 v x, 0 0 u x, y U 0 Evolution de la vitesse selon l’épaisseur de la couche limite f 0 0 f ' 0 0 f ' 1 http://www.hach.ulg.ac..be Intégration numérique U0 x 99% 1 2 5 x 5 Re 1 2 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 60 Généralisation des coefficients de traînée et de frottement • Pour un corps dans un écoulement, il est habituel de calculer la traînée et la portance des corps grâce à ces coefficients : Traînée CD A U 2 http://www.hach.ulg.ac..be 2 U 2 Portance CL A 2 • A est la surface du corps projetée normalement selon la direction d’écoulement • CD et CL sont des coefficients obtenus grâce à des tables ou des abaques (liaison au nombre de Reynolds) ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 30 Coefficient de traînée et de frottement • Le nombre de Reynolds a été défini comme (cours 4 – slide 69): 61 U c2 Re U c Lc Lc U c L2c http://www.hach.ulg.ac..be rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses • Si les équations avaient été adimensionnalisées grâce à une contrainte tangentielle g de référence à la pparoi p , on aurait déjà pu définir : p 1 C U c2 2 f Coefficient de frottement pariétal 62 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be Evolution de la couche limite laminaire Approche exacte – équations de Prandtl ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 31 63 Equations de la couche limite • Equations de Prandtl u v 0 x y p – QM selon y : 0 y u u 1 p 2u – QM selon x : u v 2 x x y y http://www.hach.ulg.ac..be – Continuité : Hypothèses : L 1 U0 x u Re 1 Prise en compte du gradient de pression selon x ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be 64 Couche limite ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 32 65 http://www.hach.ulg.ac..be Prise en compte du gradient de pression d dans le sens de l’écoulement l d l’é l ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Prise en compte du gradient de pression selon x 66 • Quid du gradient de pression ?? u u u 1 p 2u v 2 x x y y – Gradients de pression négligés dans les différents développements – Gradient négatif (pression décroît dans le sens de l’écoulement) : effet stabilisant – Gradient positif: effet déstabilisant sur le profil de vitesse u(y) Analyse mathématique de la quantité 2u http://www.hach.ulg.ac..be y 2 0 y 0 2u y 2 0 y 2u y 2 y 0 2u y 2 u p u p v u y x x x y 0 y 0 (comportement asymptotique) → Passage par 0 obligatoire → Point d’inflexion dans le profil de vitesse! ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 33 Prise en compte du gradient de pression selon x http://www.hach.ulg.ac..be 67 • Quid du gradient de pression ?? ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Prise en compte du gradient de pression selon x http://www.hach.ulg.ac..be 68 • Quid du gradient de pression?? ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 34 Prise en compte du gradient de pression selon x http://www.hach.ulg.ac..be 69 • Conséquence: profil de vitesse dans les divergents ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be 70 Prise en compte du gradient de pression selon x ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 35 http://www.hach.ulg.ac..be 71 Prise en compte du gradient de pression selon x 72 ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) http://www.hach.ulg.ac..be Stabilité de la couche limite d’ d’une plaque plane l l ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 36 73 Stabilité de la couche limite • L’expérience de Reynolds illustre trois comportements de l’écoulement dans une conduite http://www.hach.ulg.ac..be – Laminaire – Turbulent lisse (ondulation) – Turbulent rugueux (brassage fort) • Les mêmes transitions existent pour la couche limite le long d’une plaque plane • La transition entre une couche limite laminaire et turbulente se produit pour un ReL compris entre 5 105 et 106 • Cette couche limite turbulente et le profil de vitesse associé seront étudiés dans le second cours dédié à la turbulence ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) Décollement de la couche limite 74 • Rappel : la traînée d’un corps se compose : – d’une traînée de pression – d’une traînée de frottement • A bas nombre de Re, Re la traînée par frottement est dominante http://www.hach.ulg.ac..be (illustration au prochain cours) • Aux nombres de Re élevés, la traînée de pression (induite principalement par le décollement de la couche limite) devient rapidement dominante • Observation : une couche limite laminaire décolle plus p qqu’une couche limite turbulente rapidement La traînée d’un corps est globalement plus faible en couche limite turbulente car les proportions des deux composantes changent La traînée de frottement augmente mais la traînée de pression diminue plus rapidement ce qui induit une diminution globale ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 37 Comportement de l’écoulement en fonction du Re 75 • Point de découlement de la couche limite laminaire http://www.hach.ulg.ac..be 95° < φ < 105° ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) • Quelle est l’utilité de la forme ou de l’état de surface de ces balles ?? http://www.hach.ulg.ac..be 76 Décollement de la couche limite ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH) 38