Mouvement de particules chargées dans E et B
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Mouvement de particules chargées dans E et B I Force de Lorentz A) Expression On considère une particule chargée q en M dans un champ électromagnétique E, B . A tout instant t et en tout point P de l’espace, on observe un champ électrique E ( P, t ) et magnétique B ( P, t ) . Soit (R) un référentiel. Cette particule est soumise à une force électromagnétique, appelée force de Lorentz : F q( E ( M , t ) vM /( R ) B( M , t )) . F qE ( M , t ) qvM /( R ) B( M , t ) f magnétique f électrique B) Travail de la force de Lorentz Pour un déplacement infinitésimal dM de la charge q : WLorentz FLorentz dM qE ( M , t ) dM q(vM /( R ) B( M , t )) d M vM /( R ) dt qE ( M , t ) dM Ainsi, la force électromagnétique ne travaille pas. On suppose que E est un champ électrostatique. Alors E grad V . Donc WLorentz qgrad M V dM q.dV d (qV ) Donc FLorentz est conservative, et dérive d’une énergie potentielle E p qV . Exemple : Si (R) est galiléen, q soumise uniquement à FLorentz , on a, d’après le théorème de l’énergie cinétique : dEC WLorentz d (qV ) Soit d ( 12 mv2 qV ( M )) 0 Em V0 V 0 1V B A Charge q e (électron) allant de A à B. donc E m ( A) E m ( B) 1 2 1 2 mvB mv A eV ( B) eV ( A) e 1V( 1eV) 2 2 EC ( B) EC ( A) 1eV , énergie acquise par un électron soumis à une différence de potentiel de 1V. E uniforme et stationnaire A) Equation horaire du mouvement II Mouvement dans On se place dans (R) galiléen, on considère une charge ponctuelle q en M. On suppose E uniforme et stationnaire (qui ne dépend ni de P ni de t)= E0 . Et B 0 Relation fondamentale de la dynamique appliquée à M dans (R) galiléen : dv M /( R ) dv M /( R ) q m qE0 E0 uniforme et stationnaire. dt dt m Analogie avec le mouvement dans g uniforme : qE 0 qE0 2 v M /( R ) t v0 , et OM t v0 t OM 0 . m 2m La trajectoire est donc parabolique si v0 et E0 sont non colinéaires : v0 q0 q0 v0 E0 V croissants Si E0 et v0 sont colinéaires, on a un mouvement rectiligne uniformément accéléré. B) Application – oscilloscope Condensateur : on suppose ici V1 indépendant du temps. ze z z1 O v0 V1 E L écran v1 x l D On envoie un faisceau homocinétique (avec la même vitesse) d’électrons sur l’axe (Ox avec une vitesse initiale v0 v0 i . Champ dans le condensateur : V az b (car le champ est uniforme). V 0 V Donc E grad V ak 1 k 1k l l Relation fondamentale de la dynamique appliquée à un électron dans ( Rlab ) galiléen : dv m eE dt On note v1 la vitesse de sortie, z1 la côte de l’électron à la sortie du condensateur. L Durée de traversée : t v0 dv i 0 , soit v i v0 cte ) ( E n’a pas de composante selon i , donc m dt 1 eE 2 z1 OM 1 k t v0 t OM 0 k 2 m eV 1 t 2 1 2 m.l 1 eV1 L2 2 v02 m.l eE eLE v1 t v0 v0 m mv0 On note t ' le temps nécessaire ensuite pour arriver sur l’écran : t ' D (on a toujours v0 comme composante de la vitesse selon i ) v0 eV1 L D eV1 L D 1 eV1 L2 eV1 L L Ainsi, z e z1 v1z t ' , d’où z e (D ) . 2 2 mv0 .l v0 2 mv0 .l mv0 .l 2 mv0 .l v0 Donc z e est proportionnel à V1 . Schéma de principe de l’oscilloscope : k i V1 j V at b périodique T III t B Mouvement dans uniforme – permanent A) Pulsation synchrotron On travaille dans un référentiel (R) galiléen. On considère une charge q en M dans le champ B B0 B0 k , et E 0 z x B0 y Relation fondamentale de la dynamique appliquée à M dans (R) galiléen : dv qB0 dv v . m qv B0 , soit dt m dt qB0 qB k ( 0 ) On note m m s’appelle la pulsation synchrotron. On a : v OM cte ; v0 OM 0 cte 0 x x0 Donc v M 0 M v0 0 y y 0 v0 . z z0 On a alors le système : x ( y y 0 ) v0 x ( y Y0 ) (1) y ( x x0 ) v0 y ( x X 0 ) (2) z v cte oz (1) x y (( x X 0 )) 2 ( x X 0 ) d 2 (x X 0 ) 2 (x X 0 ) 0 Donc 2 dt Donc x X 0 R cos(.t ) , avec R 0 On reporte dans (1) : R sin( .t ) ( y Y0 ) Donc y Y0 R sin( .t ) . Ainsi, x X 0 R cos( .t ) y Y0 R sin( .t ) z v t z oz 0 H z M O y N x On note H la projection orthogonale de Msur (Oz . Ainsi, z H v0 z t z 0 . On note aussi N le projeté orthogonal de Msur xOy . Ainsi : x N X 0 R cos( .t ) y N Y0 R sin( .t ) Donc H décrit un mouvement rectiligne uniforme sur l’axe (Oz , et M un X0 mouvement circulaire uniforme de centre A , de rayon R et de pulsation . Y0 Avec q 0, B0 0 : B0 A R 2 2 m qB0 T Ainsi, si v0 0 , M décrit un mouvement hélicoïdal d’axe parallèle à k : z B0 O y h x M Pas h de l’hélice : h v0 z T v0 z 2m qB0 Si v0 z 0 , on a un mouvement circulaire uniforme 2 v xOy x 2 y 2 R 2 2 sin 2 (.t ) R 2 2 cos 2 (.t ) R 2 2 cte Donc v xOy R qB0 R m Soit m.v xOy qB0 R B) Applications 1) Spectrographe/spectromètre de masse m1v0 z R1 qB 0 v0 R2 m 2 v0 qB0 i O m1 m2 Ions de même charge q et de masses m1 et m2 différentes (comme des isotopes par exemple) On a donc séparation des isotopes, qui sont pourtant de même charge. 2) Cyclotron v1 v2 O E v3 R1 i On suppose que E E0 cos(.t )i . En dehors du condensateur, de faible épaisseur, on a un champ magnétique B B0 k , uniforme et permanent. On émet des particules de charge qà t 0 , à l’intérieur du condensateur (en O), avec une vitesse initiale v0 0 . On prend par exemple q 0 : mv R1 1 qB0 Si on choisit , le champ E change de sens à chaque passage. mv2 Ainsi, R2 (avec v2 v1 ) qB0 Lorsque la particule sort du système (de rayon R ), elle aura une vitesse finale v telle que : mv qB0 R P On peut vérifier en faisant les mêmes calculs qu’en relativité restreinte, on a 1 mv la même relation en considérant que P .mv 1 v2 / c2 (La relation fondamentale de la dynamique est toujours valable, à condition dP d’écrire F ) dt Application numérique : B0 1T ; R 10m ; q 1,6.10 19 C ; m 1,6.10 27 kg Ainsi, .v 10 9 m.s 1 , d’où v 0,95 c !!
