Le dipôle électrostatique

I Potentiel et champ créés par un dipôle
A) Approche du dipôle : champ et potentiel créés à grand distance par deux charges
opposées
On note
OMr
, on suppose
lABr
, et on note
ABqp 
:
AB
-q+q O
r
M
On note
AMrA
,
BMrB
.
1) Potentiel
On a
AB rr
q
V11
40
.
- A l’ordre 1 en
rl /
,
rrr AB 
, donc
0V
.
- Au deuxième ordre (en
rl /
),
AB
rrrr P
AB
 1111 
Ainsi,
AB
r
rq
V 3
0
4
, ou
3
0
41rrp
V 
Donc V décroît en
2
/1 r
Et q,
AB
n’interviennent pas individuellement.
On peut écrire aussi
2
0
cos
41r
p
V
Remarque :
On a un potentiel décroissant en
2
/1 r
La seule caractéristique utile est
p
, et pas q et
AB
séparément.
2) Champ E.
 On a
VE  
,
Donc
3
0
cos2
4r
p
Er
,
3
0
sin
4r
p
E
,
0 E
.
 Expression intrinsèque :
On a
 rp
rr
rp
rrp
VE M
33
0
3
0
11
.
41 41
Et,
32
2
3311
3
1r r
rrrr M
De plus,
zpypxprp zyx  
, donc
prp 
 )(
D’où
pr
rrp r
E
23
0
3
41
 Lignes de champ :
- Méthode 1 :
Le dipôle électrostatique

r
u
p
u
E
Vecteur tangent à une courbe polaire :
u
ds
d
ru
ds
dr
Tr
En effet :
Pour une courbe polaire, et deux points
21,MM
infiniment voisins :
M1
M2
O
r
u
u
d
r
Donc
u
ds
d
ru
ds
dr
ds urdudr MM MM
Tr
r
 ..
21
21
Ainsi, pour
uEuEE rr
, comme
E
et
T
sont colinéaires :
sin
cos2
 E
E
rd
dr r
Soit
sin .cos
2d
r
dr 
Donc
ctesinln2ln  r
, soit
2
sinKr 
.
- Méthode 2 :
Les lignes de champ sont orthogonales aux équipotentielles.
Maisquand
cteV
,
'
cos
2K
r
Soit
0
cos2sin 32  dr
rr d
Pour un petit déplacement à
cteV
,
urdudrOMdr
 .. 
Et sur la ligne de champ,
udrudrOMdr
 '.''.'
Comme les deux lignes sont orthogonales,
0'''  ddrrdrdr
Donc
''' dr
dr
rd
dr
On a
rd
dr
cos2sin 
Donc
'''
'cos2'sin dr
dr
(en M,
'
et
'rr 
)
Et on retrouve en intégrant la relation précédente.
B) Généralisation : développement multipolaire d’une répartition de charge finie
OP
)(P
M

1) Potentiel
On note
OMr
,
PMr'
Ainsi,
Pr
dP
MV '4 )( )(
0
On a
...
1
'
13 OP
r
r
rr
Donc
...
...).(
41 4
)(
...
4)( 4)(
)(
10
3
00
3
00
VV
r
r
dOPP
r
dP
OPr
r
dP
r
dP
MV
P
P
PP
2) Analyse
 Terme monopolaire :
On a
r
Q
V
0
04
 Terme dipolaire :
- Moment dipolaire :
On pose
PdOPPp ).(
.
Ainsi,
3
0
141r
r
pV 
- Retour sur le cas de deux charges opposées :
On a dans ce cas
)()( OBOPqOAOPq
Soit
ABqdOPPp P  ).(
- Changement d’origine :
Si on remplace l’origine O par O’, le moment dipolaire devient
'p
avec :
pOOQdOPPdOOPp
p
P
OOQ
P
  ').(').('
'
Donc le moment dipolaire dépend de l’origine.
Mais en général on n’utilise p que lorsque le terme monopolaire est nul,
c'est-à-dire
0Q
, et dans ce cas p est indépendant de l’origine.
3) Développement multipolaire
On a
...
3210  VVVVV
2
V
: quadrupolaire
3
V
: octupolaire…
qmonopolaire
+q dipolaire -q
+q -q
+q
-q quadrupolaireou -q -q
+2q

Dans tout les cas, pour le terme quadrupolaire, on peut montrer que
2
V
s’écrit sous la forme
3
2
0
21cos3
.
.161r
LV 
(L : moment quadrupolaire)
C) Dipôle
1) Définition
C’est un être « physique » :
- Ponctuel
- Caractérisé par
p
, moment dipolaire
- Qui crée en tout point de l’espace un potentiel
3
0
41
)( r
r
pMV 
2) Discussion
- Un dipôle n’existe pas réellement.
- On peut définir de même des quadrupôles…
II Action d’un champ E sur un dipôle
+q
-q
l
On fait un développement en
1/ Dl
(D : distance caractéristique de variation de
E
)
A) Pour un champ uniforme
+q
-q
E
A
B
1) Résultante
+q
-q
B
A
A
F
B
F
On a
)()( BEqAEqF  
Donc
0
F
Donc le dipôle est soumis à un couple.
2) Moment
On a :
EqAB
EqOBEqOAOM   )()()(
Soit
EpM 
.

Ainsi, le champ tend à faire en sorte que
p
soit colinéaire à
E
.
3) Energie potentielle
On a
)( EpdABdEqOBdEqOAdEqW 
Donc
cte EpEp
B) Champ non uniforme
+q
-q
B
A
A
F
B
F
(On suppose que
1/ Dl
)
1) Résultante
 Expression 1 :
On a
))()(( AEBEqF  
Donc
xxxxx EpABEqAEBEqF  
)())()((
Et de même pour
zy FF ,
.
On utilise alors la notation :
EpF 
 Expression 2 :
On a
z
E
p
y
E
p
x
E
pF x
z
x
y
x
xx 
Comme
0
  E
, on a
...
x
E
y
Ey
x
Donc
xEp x
E
p
x
E
p
x
E
p
x
E
pF z
z
y
y
x
xx 
)( 
(pour
p
indépendant de x)
Et donc si
p
ne dépend pas de la position du dipôle,
)( EpF 
.
2) Moment en O.
(O : milieu des deux charges)
On a
))()(()()()()( 2
1BEAEABqBEqOBAEqOAOM  
Soit
)()( OEpOM 
3) Energie potentielle
On a
)(OEpEp
4) Conséquences
Un dipôle va s’orienter dans le sens du champ.