Le dipôle électrostatique

Le dipôle électrostatique
I Potentiel et champ créés par un dipôle
A) Approche du dipôle : champ et potentiel créés à grand distance par deux charges
opposées

On note r  OM , on suppose r  AB  l , et on note p  q AB :
M
r
A
-q
O

B
+q


On note rA  AM , rB  BM .
1) Potentiel
q 1 1
  .
40  rB rA 
- A l’ordre 1 en l / r , rB  rA  r , donc V  0 .
- Au deuxième ordre (en l / r ),
1 1
1  1
     P  AB
rB rA
r
r
 

1 pr
q r
Ainsi, V 
 AB , ou V 
40 r 3
40 r 3
On a V 
Donc V décroît en 1 / r 2
Et q, AB n’interviennent pas individuellement.
1 p cos 
On peut écrire aussi V 
40 r 2
Remarque :
On a un potentiel décroissant en 1 / r 2

La seule caractéristique utile est p , et pas q et AB séparément.
2) Champ E.


On a E  V ,
p 2 cos 
p sin 
Donc Er 
, E 
, E  0 .
3
40 r
40 r 3


Expression intrinsèque :
 


1  p  r
1      1  1    
 3 
 p  r . 3   3 p  r 
On a E   M V 
40
r
40 
r  r


2
 1 
1  1 3 r
Et,  3   3     M  2  3
r r
r
r 
r
  
 

De plus, p  r  p x x  p y y  p z z , donc ( p  r )  p
 

1  3p r   
D’où E 
r  p

40 r 3  r 2

 Lignes de champ :
- Méthode 1 :

u

 ur
E

p
 dr 
d 
Vecteur tangent à une courbe polaire : T  ur  r
u
ds
ds
En effet :
Pour une courbe polaire, et deux points M1 , M 2 infiniment voisins :
M2
d
O
r

ur
M1

u
 M 1M 2 dr.ur  rd .u dr 
d 
Donc T 

 ur  r
u
M 1M 2
ds
ds
ds





Ainsi, pour E  Er ur  E u , comme E et T sont colinéaires :
dr
E
2 cos 
 r 
rd E
sin 
dr
cos  .d
2
Soit
r
sin 
2
Donc ln r  2 ln sin   cte , soit r  K sin  .
- Méthode 2 :
Les lignes de champ sont orthogonales aux équipotentielles.
cos 
 K'
Maisquand V  cte ,
r2
 sin d 2 cos 

dr  0
Soit
r2
r3


Pour un petit déplacement à V  cte , d OM  dr.ur  rd .u


Et sur la ligne de champ, d ' OM  dr '.ur  r ' d '.u
Comme les deux lignes sont orthogonales,
drdr 'rr ' dd '  0
dr
 r ' d '

Donc
rd
dr '
dr
On a  sin   2 cos 
rd
r ' d '
Donc  sin  '  2 cos  '
(en M,    ' et r  r ' )
dr '
Et on retrouve en intégrant la relation précédente.
B) Généralisation : développement multipolaire d’une répartition de charge finie
O
P
 (P)
M
1) Potentiel


On note r  OM , r '  PM
 ( P)d
Ainsi, V ( M )  
P 4 r '
0

1 1 r
On a   3  OP  ...
r' r r
Donc
 ( P)d
 ( P)d 
V ( M )  
 
r  OP  ...
P 4 r
P 4 r 3
0
0


P
 ( P)d
40 r

r

 ( P).OPd  3  ...
40 P
r
1


 V0  V1  ...
2) Analyse

Terme monopolaire :
Q
On a V0 
40 r
 Terme dipolaire :
- Moment dipolaire :

On pose p    ( P).OPd .
P

1  r
Ainsi, V1 
p 3
40
r
- Retour sur le cas de deux charges opposées :
On a dans ce cas   q (OP  OA)  q (OP  OB)

Soit p    ( P).OPd  q AB
P
- Changement d’origine :

Si on remplace l’origine O par O’, le moment dipolaire devient p ' avec :


p '    ( P ).O' Od    ( P).OPd  QO' O  p
P
P

 



p
Q O 'O
Donc le moment dipolaire dépend de l’origine.
Mais en général on n’utilise p que lorsque le terme monopolaire est nul,
c'est-à-dire Q  0 , et dans ce cas p est indépendant de l’origine.
3) Développement multipolaire
On a V  V0  V1  V2  V3  ...
V2 : quadrupolaire
V3 : octupolaire…
monopolaire
q
+q
-q
+q
-q
+q
-q
dipolaire
ou
-q
+2q
-q
quadrupolaire
Dans tout les cas, pour le terme quadrupolaire, on peut montrer que V2
1
3 cos 2   1
s’écrit sous la forme V2 
(L : moment quadrupolaire)
L.
16 . 0
r3
C) Dipôle
1) Définition
C’est un être « physique » :
- Ponctuel

- Caractérisé par p , moment dipolaire
-

 r
Qui crée en tout point de l’espace un potentiel V ( M ) 
p 3
40
r
1
2) Discussion
-
Un dipôle n’existe pas réellement.
On peut définir de même des quadrupôles…
II Action d’un champ E sur un dipôle
l
-q
+q

On fait un développement en l / D  1 (D : distance caractéristique de variation de E )
A) Pour un champ uniforme
A
-q
B
+q

E
1) Résultante

FA
A
-q
B
+q

FB



On a F  qE ( A)  qE ( B)
 
Donc F  0
Donc le dipôle est soumis à un couple.
2) Moment
On a :



M (O)  OA  (qE )  OB  (qE )

 AB  qE
  
Soit M  p  E .


Ainsi, le champ tend à faire en sorte que p soit colinéaire à E .
3) Energie potentielle



 
On a W  qE  d OA  qE  d OB  qE  d AB  d ( p  E)
 
Donc E p   p  E  cte
B) Champ non uniforme

FA
A
-q
B
+q

FB
(On suppose que l / D  1 )
1) Résultante
 Expression 1 :



On a F  q( E ( B)  E ( A))

 
Donc Fx  q( Ex ( B)  Ex ( A))  q(Ex )  AB  p  Ex
Et de même pour Fy , Fz .
On utilise alors la notation :
  
F  p  E
 Expression 2 :
E
E
E
On a Fx  px x  p y x  pz x
x
y
z
  
E x E y
Comme   E  0 , on a

...
y
x

 
E y
Ex
Ez  E ( p  E )
Donc Fx  px
 py
 pz
 p

x
x
x
x
x

(pour p indépendant de x)
   

Et donc si p ne dépend pas de la position du dipôle, F  ( p  E ) .
2) Moment en O.
(O : milieu des deux charges)





On a M (O)  OA  (q) E ( A)  OB  qE ( B)  12 q AB  ( E ( A)  E ( B))

 
Soit M (O)  p  E (O)
3) Energie potentielle
 
On a E p   p  E (O)
4) Conséquences
Un dipôle va s’orienter dans le sens du champ.
  
Il est ensuite soumis à une force ( p  E ) , et va donc se déplacer dans le
sens d’augmentation du champ :

p

p

E
déplacement

E
III Compléments
A) Polarisabilité
1) Définition

Polarisation atomique :
r
-e
+e
On considère que le noyau est fixe.
- En l’absence de champ appliqué, on a un moment dipolaire


p(t )  e.r (t )


Mais  r (t )   0 pour    ~ 10 16 s
(En moyenne, par symétrie, l’électron est situé sur le noyau)

- En présence d’un champ E :

E
-e 
F
+e

On a donc créé un petit dipôle proportionnel à E (Au premier ordre) et

colinéaire (par isotropie, la direction de p ne peut être que la même que celle de



E ) : p   .E .
Remarque :


On trouve parfois p   '  0 .E (on verra pourquoi après)
C’est la même chose pour d’autres atomes :
Plus l’atome sera gros, plus il aura des électrons éloignés du noyau donc
sensibles au champ, et plus il sera donc polarisable.
 Polarisabilité moléculaire :
 
- En l’absence de champ ( E  0 ) :
Certaines molécules n’ont pas de moment dipolaire, comme par exemple
H 2 ; d’autres au contraire le sont, comme HCl :
-e
H2
HCl
+e
+e


 p  0
-e


 p  0
- Lorsque le champ n’est pas nul :


Pour H 2 : p   .E .


Pour HCl : on a deux effet cumulés :  p   .E
On peut ainsi trouver plusieurs (4) types de molécules :
Des molécules polarisables non polaires ( H 2 ), polaires et polarisables ( HCl
), polaires non polarisables ( FCl est très peu polarisable), ou même non polaires
non polarisables.
2) Modèle de l’électron élastiquement lié (faux)
 Force de rappel élastique :


On modélise la force exercée par le noyau sur un électron par F  kr :
+e
 -e
F
On sait qu’en réalité la force est coulombienne (et donc en 1 / r 2 )


On ajoute aussi une force de frottement F f   fv

-
Polarisabilité :
 
Pour E  0 , on a une trajectoire de forme elliptique, et à l’équilibre
 
l’électron est dans le noyau, et p  0 .

 
r  kr  eE  fr
Pour E  0 , on aura à l’équilibre : m



-
0

0
 e 
Donc r 
E
k
+e

 kr -e  eE

 e2 
e2
Donc p  er  E , soit   .
k
k
2
e
Pour Z électrons,   Z
k
 Interprétation du modèle :
- Ce modèle est dû à Thomson (1902) :
Selon lui, un atome de rayon R avait une structure de la forme :
-e
R
 0
uniforme
C'est-à-dire qu’on a des charges négatives ponctuelles dans une boule
uniformément chargée.
(1) Champ dans le « noyau » :
Ze r 3
On a E  4 .r 2 
 0 R3


Ze r
Soit E 
40 R 3


Ze 2 
(2) Et F  eE  
r
40 R 3



k
(3) Le résultat justifie donc le modèle de la liaison élastique.
Ze 2
 40 R 3 (ou  '   .R 3 , avec les dimensions d’un
Et on a ici  
k
volume : 3 le volume de la boule de rayon R)
(4) Variations :
E0
R
r

Si on ajoute un champ E :




Pour E assez petit, à l’équilibre, 0  eE0  eE
E0
E
req R
r

Si E continue d’augmenter, l’électron se rapproche de la paroi extérieure.
Lorsque le champ est suffisant, l’électron s’en va.
Ainsi, plusieurs résultats vrais on été observés réellement à partir de ce
modèle, mais…
(5) 1911 : Rutherford montre que la taille de la charge positive de l’atome
est très petite devant la taille de l’atome.
- Modèle de Bohr :
+Ze
 -e
F
  Ze 2 r
Avec F 
(modèle planétaire de l’atome)
40 r 3
On considère que l’électron a une orbite circulaire (très rapide)
Avec un champ
Sans champ
Le centre négatif est donc légèrement décalé, ce qui donne un moment
dipolaire non nul.
L’électron élastiquement lié de Thomson correspond en quelque sorte à la
position moyenne de l’électron.
B) Diélectriques (=isolants)
1) Polarisation diélectrique

Dans un diélectrique :
Les électrons ne peuvent pas se déplacer d’un noyau à l’autre.
Ainsi, en l’absence de champ, il n’y a pas de moment dipolaire.
 
Mais quand E  0 , les électrons vont se décaler en valeur moyenne.

Un petit volume d va ainsi posséder un moment dipolaire dp , et on pose
 dp
P
: moment dipolaire par mètre cube, ou vecteur polarisation diélectrique.
d
Remarque :
- C’est la polarisation diélectrique électronique.
On peut trouver d’autres types de polarisation (par exemple quand on
applique des champs à des cristaux de NaCl)
- Problème :

Les petits dipôles ainsi créés vont créer eux-mêmes un champ E ' , et on a
donc la superposition de deux champs (mais ce nouveau champ va encore changer

le moment dipolaire, donc E ' …on n’a pas toujours une relation simple)
 Dans un conducteur :
Par exemple, pour le cuivre, on a 29 électrons autour du noyau.
27 d’entre eux restent liés à l’atome, mais 2 peuvent bouger librement.

Lorsque le champ E est nul, les électrons n’ont à priori aucune raison de se
déplacer.

Lorsque E augmente, les électrons qui peuvent se déplacer vont bouger
(conduction) ; on a aussi une polarisation due aux électrons liés, mais elle sera
complètement masquée par la conduction.
2) Potentiel créé par un diélectrique polarisé

v

On suppose qu’on connaît P(P) , et on veut calculer V (M ) .
 Expression :
 
 
dp  r 1
1 Pr
V ( M )  
 
d
3
v 4 r 3
v 4
0
0 r
 

 
Pr   1   P   P
On a 3  P     P    
r
r
r
r
Donc

 
1  P
1 P
V ( M )  
 P   d  
d
v 4
v 4
r
0
0
r

 
1 P 
1 P
 
 dS  
d
 4 r 
v 4

r
ndS
0
0
 
 
Pn
1 P
 
dS  
d
 4 r
v 4
r
0
0
 Interprétation :
 
 
On note P  n   lié ,    P  lié
 lié

Ainsi, V ( M )  
dS   lié d
 4 r
v 4 r
0
0
On a le même potentiel qu’une répartition de la forme :
 lié
 lié

Analyse physique du résultat :
x


On suppose que P  Pu x .

Si P est uniforme :
 
On décompose en cubes élémentaires : P  Pa3
-q
+q
x
qa  Pa , soit q  Pa 2
3
-q
+q-q
+q
x
Ainsi, les charges s’annulent deux à deux.
 
Donc lié  0    P .
-q
-q
-q
-q
 lié   P
+q
+q
+q
+q
 lié 
 
q
 P  Pn
2
a

Si P n’est pas uniforme :


dP
Si P  P( x)u x , avec par exemple
0 :
dx
-q
+q’
+q-q’
x
On a q  P( x)a 2 , q'  P( x  a)a 2 , soit q  q '  
P 3
a .
x
 
q  q'
P

   P
3
a
x
La charge surfacique est la même que précédemment.
Donc  
3) Equation locale du champ
  
E  0
 
   lié libre    P  libre
 E  



0 0
0
0
0

  P 
Donc    E    libre
0  0


 
Avec D   0 E  P , l’équation devient :
 
  D  libre


D s’appelle l’induction/excitation électrique.
4) Cas des diélectriques LHI (linéaires homogènes isotropes)
 Polarisation :
- Linéaire :


P   0 ~e ( E) où  e est une application linéaire
Ou matriciellement :
 Px 
 Ex 
 
 
 Py    0  e  E y 
P 
E 
 z
 z
~
 e est l’opérateur de susceptibilité électrique.
- Homogène :
~e ne dépend pas du point.
- Isotrope :


 e est scalaire : P   0 e E
 Equation locale du champ :
  
- E  0

   P  libre
-    E   
0  0



Avec P   0  e E , l’équation devient :

 
  1   e E  libre

0
r
  
Soit   E  libre (car le milieu est homogène, donc  r est indépendant du
 0 r
point)
Ainsi, on peut ignorer les charges de polarisation, à condition de remplacer
 0 par  0 r .
 r : permittivité diélectrique relative.
   0 r : permittivité diélectrique.
 Application :
H 2O à 25°C : on a  r  78
- Champ créé par une charge ponctuelle :
M
qP

E

r
(seulP est une particule libre, les autres sont liées)
40 r r 3
q
O 
H H 
2

2
+
M
-
Force entre deux charges ponctuelles :
Na+
Cl-


qq' r
F
40 r 3
Si on ajoute de l’eau :
Na+
Cl-

r
40 r r 3
(Favorise la dissolution)

F'
qq'
C) Couche dipolaire
1) Densité dipolaire surfacique

Approche :

M+

 (r )

M- e ( r )

  (r )



On fait tendre e(r ) vers 0 et  (r ) vers   mais de sorte que

e  D (r )  cte
 Définition :

dS


Pour un élément de surface dS d’une surface, on a un moment dipolaire

 

dp  D(r )dS ; D(r ) ; densité dipolaire surfacique.
2) Exemples

Membrane biologique :


La membrane se comporte comme une couche dipolaire.
 Jonction entre deux conducteurs :
_
+ _
+ _
+
Cu
Fe
Il y a une partie des électrons à la jonction qui vont passer du côté du fer (le
milieu est « plus agréable » pour les électrons)
3) Discontinuité du potentiel à la traversée de la couche

Expression :
M

dS
P


On note r  PM
 
  

1
dp  r
1
D(r )dS  r
1
On a V ( M ) 


D(r )d
3
3






40
r
40
r
40
Où d est l’angle solide sous lequel, depuis M, on voit le confetti :

 
MP  dS  r  dS
d 

r3
r3
Au voisinage de la surface,
M2
M1
On a un confetti pour lequel   2 , et pour les autres on a un angle solide
quasiment nul.
1
1
Ainsi, V ( M 1 ) 
D( M )  2 et V ( M 2 ) 
D( M )  2
40
40
D( M )
Donc V ( M 1 )  V ( M 2 ) 
0
 Analyse :
Pour les champs créés par chacune des plaques,
x
e
2



E

E
e
2

Et donc globalement :

e
2
E
e
2
x

2 0
Ainsi, pour le potentiel :
V
 .e
2 0

e
2
x
e
2
  .e
2 0
Quand e tend vers 0, on obtient ainsi la courbe :
V
D
2 0
x
 D
2 0
4) Relations de passage du champ

Continuité de la composante normale :
S

On a, à travers la surface fermée :  
Q
0
0


  

Donc E2  S  E1  S  0 , et En, 2  En,1  0

Discontinuité de la composante tangentielle :
M2

dl
M1
N2
N1

On a
VM 2  VM1  (VN 2  VN1 ) 
D( M )
0

D( N )
0


D
0

 ( dl )
   
 VM 2  VN 2  (VM 1  VN1 )  E2  dl  E1  dl



D
Donc ET , 2  ET ,1  


Puis E2  E1  

D
0
0