Les ouragans : Engins de destruction
publicité
Les ouragans : Engins de destruction M. Laforest École Polytechnique de Montréal 10 janvier 2013 Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 1 / 27 Motivation La majesté des ouragans F IGURE : Image satellite d’un ouragan [NASA]. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 2 / 27 Motivation Objectifs Afin de discuter d’un modèle des ouragans construit par Bister et Emanuel (1998), nous parlerons i) de l’effet de Coriolis, ii) de l’engin de Carnot et de la thermodynamique élémentaire, iii) de la thermodynamique d’un ouragan. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 3 / 27 L’effet de Coriolis Le mystère de la rotation des ouragans L’ouragan impressionne par sa puissance et sa persistance. Mais son mystère vient de sa structure circulaire qu’il génère spontanément. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 4 / 27 L’effet de Coriolis Un problème de perspective F IGURE : Quand on est sur la Terre, elle nous semble plate, comme pour le voyageur dans La gravure de Flammarion (1888). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 5 / 27 L’effet de Coriolis Un problème de perspective F IGURE : Quand on s’éloigne de la Terre, alors la perspective nous permet de voir la Terre pour ce qu’elle est [NASA]. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 5 / 27 L’effet de Coriolis Systèmes de coordonnées O e_3 p_B e_2 p_A B x_AB e_1 A Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 6 / 27 L’effet de Coriolis Systèmes de coordonnées O e_3 p_B e_2 p_A B x_AB Définissons xAB (t) l’origine du système B e1 , e2 , e3 les axes du système B e_1 A Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 6 / 27 L’effet de Coriolis Systèmes de coordonnées O e_3 p_B e_2 p_A B x_AB A Laforest (Poly) e_1 Définissons xAB (t) l’origine du système B e1 , e2 , e3 les axes du système B Définissons les coordonnées d’un objet O pA dans le système A pB dans le système B Les ouragans 10 janvier 2013 6 / 27 L’effet de Coriolis Systèmes de coordonnées O Définissons xAB (t) l’origine du système B e1 , e2 , e3 les axes du système B e_3 p_B e_2 p_A B x_AB Définissons les coordonnées d’un objet O pA dans le système A pB dans le système B e_1 A Alors, ces quantités sont liées par pA (t) = xAB (t) + pB (t) = xAB (t) + 3 X pj (t)ej (t). j=1 Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 6 / 27 L’effet de Coriolis Calcul de la force fictive On calcule d’abord la vitesse 3 3 j=1 j=1 X dej dxAB X dpj dpA = + ej + pj , dt dt dt dt et ensuite l’accélération 3 3 3 j=1 j=1 j=1 X dpj dej X d 2 ej d 2 pA d 2 xAB X d 2 pj + pj 2 . = + e + 2 j dt dt dt 2 dt 2 dt 2 dt Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 7 / 27 L’effet de Coriolis Calcul de la force fictive On calcule d’abord la vitesse 3 3 j=1 j=1 X dej dxAB X dpj dpA = + ej + pj , dt dt dt dt et ensuite l’accélération 3 3 3 j=1 j=1 j=1 X dpj dej X d 2 ej d 2 pA d 2 xAB X d 2 pj + pj 2 . = + e + 2 j dt dt dt 2 dt 2 dt 2 dt La force sur O est ainsi FB = FA + Ff , où la force fictive est 3 3 j=1 j=1 X dpj dej X d 2 ej d 2 xAB Ff = −m − 2m − m pj 2 . dt dt dt 2 dt Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 7 / 27 L’effet de Coriolis Application à la météorologie Soit une rotation autour d’un axe Ω de vitesse angulaire constante |Ω| = ω. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 8 / 27 L’effet de Coriolis Application à la météorologie Soit une rotation autour d’un axe Ω de vitesse angulaire constante |Ω| = ω. Alors, les axes subiront une rotation dej = Ω × ej , dt Laforest (Poly) d 2 ej = Ω × Ω × e . j dt 2 Les ouragans 10 janvier 2013 8 / 27 L’effet de Coriolis Application à la météorologie Soit une rotation autour d’un axe Ω de vitesse angulaire constante |Ω| = ω. Alors, les axes subiront une rotation dej = Ω × ej , dt d 2 ej = Ω × Ω × e . j dt 2 De même pour l’origine dxAB = Ω × xAB , dt Laforest (Poly) d 2 xAB = Ω × Ω × xAB . 2 dt Les ouragans 10 janvier 2013 8 / 27 L’effet de Coriolis Application à la météorologie Soit une rotation autour d’un axe Ω de vitesse angulaire constante |Ω| = ω. Alors, les axes subiront une rotation dej = Ω × ej , dt d 2 ej = Ω × Ω × e . j dt 2 De même pour l’origine dxAB = Ω × xAB , dt d 2 xAB = Ω × Ω × xAB . 2 dt Une substitution dans la formule pour la force fictive, donne dpB Ff = −m Ω × Ω × xAB + xB − 2m Ω × . dt Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 8 / 27 L’effet de Coriolis Application à la météorologie La force fictive a une composante centrifuge −m Ω × Ω × xAB + xB et une composante que l’on appelle la force de Coriolis −2m Ω × Laforest (Poly) dpB . dt Les ouragans 10 janvier 2013 9 / 27 L’effet de Coriolis Application à la météorologie La force fictive a une composante centrifuge −m Ω × Ω × xAB + xB et une composante que l’on appelle la force de Coriolis −2m Ω × dpB . dt Dans l’hémisphère nord, la force de Coriolis a pour effet de faire dévier vers la droite toute trajectoire. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 9 / 27 L’effet de Coriolis L’effet de Coriolis et la genèse d’un ouragan 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11111 00000 basse pression haute pression 1111 0000 dp 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 F IGURE : Le gradient de pression (noir) autour d’une dépression tropicale. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 10 / 27 L’effet de Coriolis L’effet de Coriolis et la genèse d’un ouragan 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11111 00000 basse pression haute pression 1111 0000 dp 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 F IGURE : La force de Coriolis (rouge). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 10 / 27 L’effet de Coriolis L’effet de Coriolis et la genèse d’un ouragan 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11111 00000 basse pression haute pression 1111 0000 dp 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 F IGURE : L’équilibre entre la pression (noir) et la force de Coriolis (rouge). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 10 / 27 L’effet de Coriolis L’effet de Coriolis et la genèse d’un ouragan 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11111 00000 basse pression haute pression 1111 0000 dp 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 F IGURE : La trajectoire des vents induits par ces forces (bleu). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 10 / 27 L’engin de Carnot Principes d’un moteur à chaleur 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 Reservoir T_c Q_c Travail W Q_f 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 Laforest (Poly) Reservoir T_f Les ouragans 10 janvier 2013 11 / 27 L’engin de Carnot Principes d’un moteur à chaleur 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 Reservoir T_c Q_c Travail W Q_f 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 Laforest (Poly) Reservoir T_f Globalement, ce moteur extrait une chaleur QC d’un réservoir chaud infini à température TC . Il produit un travail W et émet une chaleur résiduelle QF à un réservoir froid infini à température TF . Les ouragans 10 janvier 2013 11 / 27 L’engin de Carnot Hypothèses Cet engin est une expérience de la pensée. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 12 / 27 L’engin de Carnot Hypothèses Cet engin est une expérience de la pensée. On suppose qu’un contenant contient un gaz mono-atomique. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 12 / 27 L’engin de Carnot Hypothèses Cet engin est une expérience de la pensée. On suppose qu’un contenant contient un gaz mono-atomique. Le contenant est étanche. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 12 / 27 L’engin de Carnot Hypothèses Cet engin est une expérience de la pensée. On suppose qu’un contenant contient un gaz mono-atomique. Le contenant est étanche. Le contenant peut être isolé thermiquement à volonté. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 12 / 27 L’engin de Carnot Hypothèses Cet engin est une expérience de la pensée. On suppose qu’un contenant contient un gaz mono-atomique. Le contenant est étanche. Le contenant peut être isolé thermiquement à volonté. Nous pourrons effectuer des transformations sont aussi lentes et lisses que l’on désire. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 12 / 27 L’engin de Carnot Étape # 1 : Détente isotherme p A B etat A etat B 0000000 1111111 0000000 1111111 000000000 111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 Reservoir chaud Laforest (Poly) V Les ouragans 10 janvier 2013 13 / 27 L’engin de Carnot Étape # 2 : Détente adiabatique p A B etat B etat C C Piston isole thermiquement Laforest (Poly) V Les ouragans 10 janvier 2013 14 / 27 L’engin de Carnot Étape # 3 : Compression isotherme p A B D etat D etat C 1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 C 111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 Reservoir froid Laforest (Poly) V Les ouragans 10 janvier 2013 15 / 27 L’engin de Carnot Étape # 4 : Compression adiabatique p A B D etat D C etat A isole thermiquement Laforest (Poly) V Les ouragans 10 janvier 2013 16 / 27 L’engin de Carnot Efficacité de l’engin à Carnot On observe d’abord que le cycle est réversible. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 17 / 27 L’engin de Carnot Efficacité de l’engin à Carnot On observe d’abord que le cycle est réversible. La chaleur totale absorbée par le gaz est QC − QF et la réversibilité implique W = QC − QF . Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 17 / 27 L’engin de Carnot Efficacité de l’engin à Carnot On observe d’abord que le cycle est réversible. La chaleur totale absorbée par le gaz est QC − QF et la réversibilité implique W = QC − QF . L’efficacité énergétique d’un engin est défini par η= Laforest (Poly) W . QC Les ouragans 10 janvier 2013 17 / 27 L’engin de Carnot Efficacité de l’engin à Carnot On observe d’abord que le cycle est réversible. La chaleur totale absorbée par le gaz est QC − QF et la réversibilité implique W = QC − QF . L’efficacité énergétique d’un engin est défini par η= W . QC Le théorème de Carnot stipule que le cycle de Carnot possède la plus grande efficacité et donc η= Laforest (Poly) W Q T =1− F =1− F. QC QC TC Les ouragans 10 janvier 2013 17 / 27 L’engin de Carnot Entropie et réversibilité La formulation de Clausius (1855) de la deuxième loi de la thermodynamique est : Pour tout processus cyclique, I δQ ≤ 0, T où δQ est l’apport de chaleur et T est la température. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 18 / 27 L’engin de Carnot Entropie et réversibilité La formulation de Clausius (1855) de la deuxième loi de la thermodynamique est : Pour tout processus cyclique, I δQ ≤ 0, T où δQ est l’apport de chaleur et T est la température. Durant un processus réversible, cette intégrale s’annulera. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 18 / 27 L’engin de Carnot Entropie et réversibilité La formulation de Clausius (1855) de la deuxième loi de la thermodynamique est : Pour tout processus cyclique, I δQ ≤ 0, T où δQ est l’apport de chaleur et T est la température. Durant un processus réversible, cette intégrale s’annulera. Ceci suggère que l’on définisse la variation de l’entropie par l’intégrale ligne le long d’une trajectoire réversible, Z B δQ . ∆S = A T Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 18 / 27 L’engin de Carnot Entropie et réversibilité La formulation de Clausius (1855) de la deuxième loi de la thermodynamique est : Pour tout processus cyclique, I δQ ≤ 0, T où δQ est l’apport de chaleur et T est la température. Durant un processus réversible, cette intégrale s’annulera. Ceci suggère que l’on définisse la variation de l’entropie par l’intégrale ligne le long d’une trajectoire réversible, Z B δQ . ∆S = A T On conclut que si l’entropie est constante, alors le processus est adiabatique. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 18 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Profil de vitesse F IGURE : À gauche, les courbes de niveau de la vitesse tangentielle des vents. À droite, les courbes de niveau de la vitesse verticale des vents [Emanuel,2003]. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 19 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Profil de l’entropie F IGURE : À gauche, les courbes de niveau de la vitesse radiale des vents. Les couleurs indiquent la perturbation de la température. À droite, on remarque les courbes de niveau de la quantité de mouvement spécifique et les couleurs indiquent l’entropie spécifique [Emanuel,2003]. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 20 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le cycle d’un ouragan Suivons un volume de contrôle durant sa trajectoire A→B→C→D→A: Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 21 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le cycle d’un ouragan Suivons un volume de contrôle durant sa trajectoire A→B→C→D→A: A → B : détente isotherme, gain de chaleur QC Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 21 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le cycle d’un ouragan Suivons un volume de contrôle durant sa trajectoire A→B→C→D→A: A → B : détente isotherme, gain de chaleur QC B → C : détente adiabatique Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 21 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le cycle d’un ouragan Suivons un volume de contrôle durant sa trajectoire A→B→C→D→A: A → B : détente isotherme, gain de chaleur QC B → C : détente adiabatique C → D : compression isotherme, perte de chaleur QF Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 21 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le cycle d’un ouragan Suivons un volume de contrôle durant sa trajectoire A→B→C→D→A: A → B : détente isotherme, gain de chaleur QC B → C : détente adiabatique C → D : compression isotherme, perte de chaleur QF D → A : compression adiabatique Grâce à l’analogie au cycle de Carnot, on sait que W = QC − QF , T W = 1 − F QC , TC où W est l’énergie disponible à l’ouragan. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 21 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le bilan énergétique d’un ouragan Le gain de chaleur QF est dû à la vapeur d’eau flux d’enthalpie attribuable au gain de vapeur d’eau est de la forme Ck ρ(k ∗ − k ). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 22 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le bilan énergétique d’un ouragan Le gain de chaleur QF est dû à la vapeur d’eau flux d’enthalpie attribuable au gain de vapeur d’eau est de la forme Ck ρ(k ∗ − k ). Les vents de l’ouragan génère de la dissipation turbulente modélisée par un flux CD ρ|v |v . Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 22 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le bilan énergétique d’un ouragan Le gain de chaleur QF est dû à la vapeur d’eau flux d’enthalpie attribuable au gain de vapeur d’eau est de la forme Ck ρ(k ∗ − k ). Les vents de l’ouragan génère de la dissipation turbulente modélisée par un flux CD ρ|v |v . On ignore la perte de chaleur dû à la radiation dans l’espace, la perte d’énergie dû à la friction avec le sol ou la surface de la mer ... Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 22 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le bilan énergétique d’un ouragan Le gain de chaleur QF est dû à la vapeur d’eau flux d’enthalpie attribuable au gain de vapeur d’eau est de la forme Ck ρ(k ∗ − k ). Les vents de l’ouragan génère de la dissipation turbulente modélisée par un flux CD ρ|v |v . On ignore la perte de chaleur dû à la radiation dans l’espace, la perte d’énergie dû à la friction avec le sol ou la surface de la mer ... L’énergie disponible T W = 1 − F QC . TC Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 22 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le bilan énergétique d’un ouragan Dans l’ouragan, W et QC ont lieu sur la trajectoire A → B Z B 2π A T − T Z B h i F C CD ρ|v | rdr = 2π Ck ρ|v |(k ∗ − k ) + CD ρ|v |3 rdr . TC A 3 Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 23 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le bilan énergétique d’un ouragan Dans l’ouragan, W et QC ont lieu sur la trajectoire A → B Z B 2π A T − T Z B h i F C CD ρ|v | rdr = 2π Ck ρ|v |(k ∗ − k ) + CD ρ|v |3 rdr . TC A 3 La vitesse des vents atteint un maximum vm proche de l’oeil, donc 3 CD ρvm ≈ Laforest (Poly) T − T h i F C 3 . Ck ρvm (k ∗ − k) + CD ρvm TC Les ouragans 10 janvier 2013 23 / 27 La thermodynamique d’un ouragan Le bilan énergétique d’un ouragan Dans l’ouragan, W et QC ont lieu sur la trajectoire A → B Z B 2π A T − T Z B h i F C CD ρ|v | rdr = 2π Ck ρ|v |(k ∗ − k ) + CD ρ|v |3 rdr . TC A 3 La vitesse des vents atteint un maximum vm proche de l’oeil, donc 3 CD ρvm ≈ T − T h i F C 3 . Ck ρvm (k ∗ − k) + CD ρvm TC Si l’on isole ensuite vm , on conclut 2 vm ≈ Laforest (Poly) Ck TC − TF ∗ (k − k). CD TF Les ouragans 10 janvier 2013 23 / 27 Conclusions Conclusions élémentaires La formule 2 vm ≈ Ck TC − TF ∗ (k − k) CD TF est remarquablement précise [Emanuel, 2003]. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 24 / 27 Conclusions Conclusions élémentaires La formule 2 vm ≈ Ck TC − TF ∗ (k − k) CD TF est remarquablement précise [Emanuel, 2003]. Si l’on substitue cette expression dans CD ρ|v |v , alors on apprend qu’un ouragan de puissance moyenne dissipera 3 × 1012 W [Emanuel, 2003], soit environ la consommation anuelle en électricité par l’ensemble des foyers américains. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 24 / 27 Conclusions Conclusions indirectes On apprend indirectement que (i) les ouragans sont des engins de dissipation énergétique ; Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 25 / 27 Conclusions Conclusions indirectes On apprend indirectement que (i) les ouragans sont des engins de dissipation énergétique ; (ii) la dissipation énergétique des ouragans alimente l’ouragan lui-même ; Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 25 / 27 Conclusions Conclusions indirectes On apprend indirectement que (i) les ouragans sont des engins de dissipation énergétique ; (ii) la dissipation énergétique des ouragans alimente l’ouragan lui-même ; (iii) la vitesse maximale dépend de Ck , CD Laforest (Poly) et de Les ouragans TC − TF . TF 10 janvier 2013 25 / 27 Conclusions Conclusions pédagogiques Ce modèle exige une maı̂trise des concepts. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 26 / 27 Conclusions Conclusions pédagogiques Ce modèle exige une maı̂trise des concepts. La force Coriolis : Calcul à plusieurs variables et l’algèbre linéaire ; Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 26 / 27 Conclusions Conclusions pédagogiques Ce modèle exige une maı̂trise des concepts. La force Coriolis : Calcul à plusieurs variables et l’algèbre linéaire ; Les champs de vecteurs Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 26 / 27 Conclusions Conclusions pédagogiques Ce modèle exige une maı̂trise des concepts. La force Coriolis : Calcul à plusieurs variables et l’algèbre linéaire ; Les champs de vecteurs L’entropie : Cette notion rappelle celle de potentiel ; Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 26 / 27 Conclusions Conclusions pédagogiques Ce modèle exige une maı̂trise des concepts. La force Coriolis : Calcul à plusieurs variables et l’algèbre linéaire ; Les champs de vecteurs L’entropie : Cette notion rappelle celle de potentiel ; L’intégration approximative : Une intégrale complexe est approximée par sa valeur en un point. Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 26 / 27 Conclusions Références Cette présentation est un sommaire du modèle que l’on retrouve dans les références suivantes. M. Bister et K. A. Emanuel, Dissipative Heating and Hurricane Intensity, Meteorology and Atmospheric Physics, 65, 233-240 (1998). K. A. Emanuel, Tropical Cyclones, Annual Review of Earth and Planetary Science, 31, 75-104 (2003). M. Bister et al., Comment on Makarieva et al. ’A critique of ...’, Proceedings of the Royal Society A, 467, 1-6 (2011). Laforest (Poly) Les ouragans 10 janvier 2013 27 / 27
