Revista Volumen IDlECARACTERISATION DES ANNEAUX par

Revista
Volumen
IDlE CARACTERISATION DES ANNEAUX
par
Constantino M. de BARROS
On montre que la classe des anneaux fortement reguliers introduits et etudies par Arens-Kapla~sky [1] corncide avec celle des anneaux dont le demi-groupe multiplicatif est inverse, done c01ncide avec celle
des
anneaux reguliers dont l'ensemble de leurs idempotents
est commutatif.
1. Soit
A
a
lement unite
te
a
un anneau. Si
droite
e,
alors
gaucne. En effet, soit
a droite
ments unites
P
soit
P (x)
e
de
a
C
U (A).
d
yP (x )
e
possede un unique ee
est aussi une unil'ensemble des ele-
Ud(A)
A. Pour chaque
l'applica tion de
e
ex - x + e. On a
(a) P e(A)
A
A
dans
A
e E Ud(A)
telle
E~1 e f'f'e t , pour tout
,
que
yEA
on
y,
=
p
la restriction de
e
a
En effet, soient e' , e"E
p (e")
entratne
Ud(A)
est injective.
Ud(A), alors Pe(e')=
e
ee"-
e"+
ee
done
e
e
"
. D' apres
ee - e + e
mais
ee
Suppasons
x E A
sequent
on a
e
e
Ud(A)
=
,
e,
e
(a)
e, e est-a.-dire ex
Pe(x)
est un element unit~ de A.
pour tout
=
x. Par con-
1§MM§.
2.
Soient
dempotent de
A
un anneau et
e
un element i-
A. 1es quatre conditions suivantes
sont eguivalentes:
A·,
( i )
e
appartient au centre de i'anneau
( ii)
e
commute avec tout autre element idempo-
A·,
tent de
(iii)
e
est l'element unite du sous-anneau
(iv)
eA
=
Ae
eAe •
=
Demonstration.
Ae;
(i) entratne
(ii) en vertu de la de-
finition du centre d'un anneau.
Pour montrer que (ii) entralne (iii), il suffit,
d'apres le §l, de montrer que
,
ment unite a droi te de
tout
x
Ae
E
ment unite
,
..a
x
on a
est l'unique
81e-
Ae.
11 est clair que,
pour
xe.
Si
e' est un autre ele-
"
il serait idempotent, d " ou
droi te ,
,
=
= ee = e.
(iii) entralne
xe
=
on a
Ae
eAe,
d'
ye, ey
(iv) car, pour tout
= ex = exe, d'ou
oil
E
eAe
eA
=
d'ou
ye
--~,...,. _---""',...,,-1 .
COR011AlRE
.....
de
A.
3. Si
pour tout
0l
e
I(A)
=
Soit
(eae - ea)2
y
eA
=
E
A,
on a
eye = ey.
I (A), resp • Z (A),
l'ensem-
A, resp. le centre
est commutatif, alors I (A) c Z(A).
est un element idempotent de
a E A
on a
eAe c Ae
Comme
pour tout
ble des elements idempotents de
C' .
Ae,
E
= Ae.
(i), car
entralne
Ae,
Ae c eAe.
x
De fagon analogue on montre que
eAe.
(iv)
2
e
,
e e
x
e
on a
(eae -ea) (eae -ea)
A, alors
= eaeae - eaea - eaeae
on a aussi
(j)
(eae - ae)2
A
Si
=
o.
+ eaea = 0 ;
11 en resulte:
n'admet pas des elements nilpotents diffe-
rents de zero, alors tout element idempotent de
A.
appartient au centre de
.
1'!r§Q~~.
A
,
Soit
un anne au,
A
Les trois conditions
suivantes sont equivalentes:
Pour tout a
il existe
2
xa ) •
x
E A
tel que
a=
A il existe
x
E
A
tel que
a=
A
E
2
a x (resp. a
(2) Pour tout
axa
et
a
A
E
n'admet pas des elements nilpotents
differents de zero.
(3) Pour tout
de
A,
a
note
il existe un unique element
A
E
tel que
a'"
a
aa*a
=
et
a:#=
a'IFa. a#:.
Demonstration.
2
a x,
(1)
entra'lne (2).
En effet, si
a
alors
ax(a2x)a - axa2 _ (a2x)a + a2
(axa - a) (axa - a)
axa
(1)
11 est clair que
2
- axa
222
+ a
- a
entraine que
A
= O.
n'admet pas des
elements nilpotents differents de zero, done a =axa.
On sait
(3')
[21Ith. 1.17
Pour tout
a = axa
et
a
A
(3) est equivalente ~
i1 existe
x
E
A
tel que
I (A) est cornmu t a t i f",
(2) entra1ne (y).
I(A)
E
que
En effet,
a
cause de (j)
on a
c Z(A).
(3') entra'lne (1). Etant
I(A)
commutatif, alors
3
ICA) c Z(A)
en vertu du corollaire 1. Done
a
axa
entra~ne que
ax, xa E I(A), par consequent
a
axa
a2x.
On dit III qu'un anneau
s'.ilverifit l'axiome
migroupe multiplicatif de
Si
A
lier, alors pour tout
~BQrQ§I~!Q~.
est fortement regulier
(1) du theoreme ci-dessus. La
propriete (3) du theo~me
QQBQ~~bI~_~.
A
ci-dessus signifie que Ie deA
est inverse.
est un anneau fortement regua
A
E
aa1f
on a
Pour qu'un anneau
A
a'IFa•
=
soit forte-
ment regulier il faut et il suffit que tout ideal a
principal
a
gauche (resp.
a
droite) soit engendre
par un element idemp6tent central.
D~monst~ation. La condition est necessaire
a
cause
de (3) du theoreme, du lemme et du corollaire 2, puisque e = aa7F = a:#a est un idempotent central.
a
Si
..
appartient a l'ideal
l'idempotent central
lemme il existe
done
x, y
e,
E
A
a
gauche engendre par
alors en vertu de (iv) du
tels que
a = ye
et
e=ax,
2
a = ye = yee = ae = a x.
·11
est facile de tirer de la ltterature des demi-
groupes, voir
[2J,
et des resultats ci-dessus, d'autres
c az-ac
ter-asat i one pour les anneaux fortement reguliers.
REFERENCES
ARENS, R. F. and KAPLAN SKY ,1., Topologi cal repre sentations of algebras, ~E~E~'~£E.~~~g.§£~.,t.63(1948)
457-481.
CLI~~ORD,A.H. and PRESTON,G.B., The algebraic theory of semigroups, vol.l,2 (Math.Surveys, no. 7, A4
merican Math.Soc.), Providence, R.I.,1961,1967.
(Recibido en marzo de 1968)
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