Dynamique homomorphe: Fatou et Julia au pays des fractals

Dynamique homomorphe: Fatou et Julia au pays
des fractals...
Julien Bled∗& Victor Lambert†
Ens Cachan Bretagne
Université de Rennes 1
Juin et juillet 2010
∗julien.bled[@]ens-cachan.org
†victor.lambert[@]eleves.bretagne.ens-cachan.fr
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Table des matières
1 Préliminaires 3
1.1 Sphère de Riemann et applications holomorphes dans b C....... 3
1.2 Familles normales et théorème(s) de Montel . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Théorèmes utiles pour la suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Dynamique holomorphe : premières notions 7
2.1 Introduction............................... 7
2.2 Ensembles de Fatou et de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Vers un point de vue plus local : orbites périodiques et points fixes . 8
3 Local 11
3.1 Points fixes non neutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Cas irrationnellement neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Cas parabolique : λq= 1 ........................ 23
4 Un peu plus loin... 31
4.1 Structure de l’ensemble de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.1 Théorème de Sullivan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2 Classification de Fatou-Cremer . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A Théorie de l’approximation diophantienne 33
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1 Préliminaires
1.1 Sphère de Riemann et applications holomorphes dans
c
C
Donnons désormais quelques propriétés fondamentales des fonctions holomorphes
sur b C.
Proposition 1. Les applications holomorphes de b Cdans Csont les fonctions
constantes.
Démonstration. Soit fune application holomorphe de b Cdans C. Si l’on traduit
la continuité en l’infini, on obtient le caractère borné de fsur le complémentaire
d’une partie compacte de C. Comme fest également bornée sur ce compact, fest
bornée donc constante.
Proposition 2. Les applications holomorphes de b Cdans b Csont les fractions ra-
tionnelles.
Démonstration. Soit fholomorphe de b Cdans b C.
Si fest constante, le résultat est immédiat. Sinon, comme les fonctions holo-
morphes non constantes, fa ses zéros isolés, si bien que fn’admet qu’un nombre
fini de pôles et de racines (car b Cest compact). Soit Pune fraction rationnelle
ayant pour racines (en tenant compte de leur multiplicité) les pôles de fet pour
pôles les racines de f, de sorte que fP n’ait ni pôle, ni racine. La fonction fP
définit alors une application holomorphe de b Cdans C. Elle est constante d’après
la proposition précédente, si bien que fest une fraction rationnelle.
A fortiori, nous considérerons souvent des fractions rationnelles et nous utili-
serons la définition du degré suivante :
Définition 1. Soit f(z) = p(z)
q(z)une fraction rationnelle. Le degré de fque nous
noterons deg fest alors égal au maximum du degré de pet q.
Cette définition du degré peut-être comprise autrement. En effet, pour tout c
appartenant à b C, il y a exactement deg fsolutions à l’équation f(z) = c.
Proposition 3. Les applications holomorphes de b Cdans b Cqui sont holomorphes
dans Cau sens usuel sont les polynômes.
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Démonstration. Soit fholomorphe de b Cdans b Cet holomorphe dans Cau sens
usuel.
Si f(∞)6=∞,f:b C→Cest holomorphe donc constante d’après la proposition
1.
Ainsi, supposons f(∞) = ∞. Par continuité, fn’admet donc pas de zéros
sur le complémentaire d’un compact Kde C. Les possibles zéros de fse situent
donc dans K, et d’après le théorème des zéros isolés, fadmet un nombre fini
(éventuellement nul) de zéros sur Ket donc sur b C.
Soit Pun polynôme ayant pour racines (en tenant compte de leur multiplicité)
les zéros de f, de sorte que la fonction g=f/P n’ait pas de racine dans C. Si
g(∞) = ∞, alors la fonction 1
gdéfinit une application holomorphe de b
Cdans C
qui s’annule uniquement en ∞, ce qui est impossible d’après la proposition 1. On
a donc g(∞) = λ∈C. Mais alors gest holomorphe sur b Cet à valeurs dans Cet
est donc constante, ce qui donne le résultat.
1.2 Familles normales et théorème(s) de Montel
Commençons par définir la notion fondamentale de famille normale de fonc-
tions holomorphes.
Définition 2. Soit F ⊂ H(Ω)une famille de fonctions holomorphes.
Une telle famille sera dite normale si de toute suite d’éléments de Fon peut
extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de Ω.
Le théorème suivant donne une condition suffisante pour justifier la normalité
d’une famille de fonctions holomorphes :
Théorème 1 (Montel).Si F ⊂ H(Ω)et Fest uniformément bornée sur tout
compact inclus dans le domaine Ω, alors la famille Fest normale.
La démonstration suivante est largement tirée de [6].
Démonstration. Spo
Le lemme suivant donne une condition suffisante pour que la réciproque soit
vraie. Nous ferons d’ailleurs appel à ce résultat ultérieurement :
Lemme 4. Soit fholomorphe sur b C. Soit z0tel que {f◦n}soit normale sur un
voisinage Ude z0. Si z0est un point fixe, alors pour tout compact Kde Uil existe
CK>0telle que
|f◦n(z)|6CK,∀z∈K, ∀n∈N
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Démonstration. Procédons par l’absurde, supposons qu’il existe Kcompact de
Utelle que ∀M∈N,∃zM∈K, nM∈Ntels que |f◦nM(zM)|> M. Mais zM∈
K, ∀M∈N, donc il existe φune extraction telle que zφ(M)→z1∈K. Or, {f◦nφ(M)}
est normale sur Udonc il existe ψtelle que f◦nφ◦ψ(M)→g.
Comme ∀n∈N, f◦n(z0) = z0, on en déduit par unicité de la limite que g(z0) =
z0. (does it implies that |g(z1)|<∞, this is the point I don’t understand why...
sorry, it is the same quesyion I asked you the other day, I thought I understood,
but trying to write it, I realize that i don’t really understand)
On a d’une part f◦nφ◦ψ(M)(znφ◦ψ(M))>∞et |g(z1)|<∞, alors que f◦nφ◦ψ(M)(znφ◦ψ(M))→
g(z1)ce qui apporte la contradiction.
Il existe un autre théorème de Montel extrêmement utilisé en dynamique ho-
lomorphe, dont nous ne ferons par contre pas la démonstration.
Théorème 2. Soit Uun ouvert de b C.
Si a, b, c sont trois points distincts, alors toute famille d’applications holo-
morphes fα:U → b C\ {a, b, c}est normale.
1.3 Théorèmes utiles pour la suite
Dans la suite, nous ferons référence à certains théorèmes connus de l’analyse
complexe, que nous rappelons ici.
Théorème 3 (de convergence uniforme de Weierstrass).Si une suite de fonctions
holomorphes fn:U 7→ Cconverge uniformément vers f, alors fest holomorphe.
En outre, f0
nconverge uniformément sur tout compact de Uvers f0.
On rappelle également l’inégalité de Cauchy à laquelle nous ferons souvent
référence.
Elle est un corollaire immédiat à la formule de Cauchy.
Proposition 5. Soit f∈ H(Ω), et D(a, R)⊂Ω. On a alors ∀n∈N
f(n)(a)6n!
Rnmax
C(a,R)|f|
Théorème 4 (Principe du maximum).Soit Ωun ouvert connexe de C. Soit f
holomorphe sur Ω.
Si |f(a)|= maxz∈Ω|f(z)|avec a∈Ω, alors fest constante.
Ce théorème est très utile pour démontrer le suivant.
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