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Démonstration Une fonctionnelle linéaire L qui est bornée satisfait à une condition
de Lipschitz:
|L(u) − L(v)| = |L(u − v)| ≤ Cku − vkV .
Donc, si {ϕk } est une suite qui converge dans V à une fonction ϕ ∈ V lorsque
k → ∞, alors
|L(ϕk ) − L(ϕ)| = |L(ϕk − ϕ)| ≤ Ckϕk − ϕkV → 0 lorsque k → ∞.
Inversement, supposons que L est continue. Si L n'est pas bornée, alors il existe une
suite vk dans V telle que |L(vk )|/kvk kV ≥ k . Introduisons
wk = vk /(kkvk kV ) ∈ V.
Alors, |L(wk )| ≥ 1. Mais
kwk kV = 1/k ⇒ wk → 0,
et par la continuité de L on devrait avoir L(wk ) → 0, ce qui est une contradiction.
Pour une fonctionnelle L linéaire et continue sur un espace de Banach V , la
proposition dit que la quantité suivante est toujours nie:
kLkV 0 := sup
06=v∈V
|L(v)|
.
kvkV
(41)
k · kV 0 est une norme sur l'espace de toutes les fonctionnelle linéaires et continues
sur V (l'espace dual de V ), et appelée la norme dual. Muni de cette norme on peut
démontrer que V 0 est un espace de Banach.
2.1.1
Dérivées d'une distribution
Soit une fonction continue f : [a, b] → R dont la dérivée est continue par morceaux
(sauts nis de f 0 ). Alors f ∈ L1loc (a, b) et on voit qu'on peut associer à la dérivée f 0
une distribution Tf 0 , dénie par
Z b
hTf 0 , ϕi =
f 0 (x)ϕ(x) dx,
∀ϕ ∈ D(a, b),
a
Z b
b
= [f ϕ]a −
f (x)ϕ0 (x) dx
a
Z b
=−
f (x)ϕ0 (x) dx = −hTf , ϕ0 i.
(42)
a
Les dénitions suivantes généralisent la notion d'une dérivée d'une distribution:
Dénition 15 T (n) , la dérivée d'ordre n d'une distribution T est dénie par
hT (n) , ϕi := (−1)n hT, ϕ(n) i.
Pour un domaine Ω ⊂ RN , la dérivée partielle de T par rapport au multi-indice α
est donnée par
¿ |α|
À
À
¿
∂ T
∂ |α| ϕ
|α|
, ϕ = (−1)
,
∀ϕ ∈ D(Ω).
T,
∂xα
∂xα
14
On note que pour une fonction f : [a, b] → R continue et dont la dérivée est continue
par morceaux,
Z b
0
hTf , ϕi = −
f ϕ0 dx = hTf 0 , ϕi, ∀ϕ ∈ D(Ω) ⇒ Tf0 = Tf 0 .
a
Dénition 16 (Dérivée faible ou au sens des distributions) Que f ∈ L1loc (Ω) soit
associé à une distribution Tf donnée par (40). Supposons qu'il existe une fonction
g ∈ L1loc (Ω) telle que
¿ |α|
À Z
∂ Tf
,ϕ =
g(x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ D(Ω).
∂xα
Ω
Alors on dit que la α-ième dérivée distributionnelle de f (ou, tout simplement, la
α-ième dérivée faible de f ) est représentable par une fonction intégrable g . On la
notera par la suite par g = Dα f .
La dénition de la dérivée Dα f coincident avec la dénition classique de la dérivée
partielle lorsque celle-ci existe.
Exemple: Beilina p8
On prend N = 1, Ω = (−1, 1) et f (x) = 1 − |x|.
Première dérivée D1 f
On démontrera qu'il existe une dérivée faible D1 f et qu'elle est donnée par la
fonction
½
1 si x < 0,
(43)
g(x) :=
−1 si x > 0,
Z 1
0
hTf , ϕi = −
f (x)ϕ0 (x) dx, ∀ϕ ∈ D(−1, 1)
−1
On intègre par parties sur les deux sous intervalles [−1, 0] et [0, 1]:
Z 1
Z 0
Z 1
0
0
−
f (x)ϕ (x) dx = −
f (x)ϕ (x) dx −
f (x)ϕ0 (x) dx,
−1
−1
0
Z 0
Z 1
¯0
¯1
¯
¯
= −f ϕ −1 +
1 × ϕ(x) dx − f ϕ 0 +
(−1) × ϕ(x) dx,
−1
0
Z 1
=
g(x)ϕ(x) dx − f (0−)ϕ(0−) + f (0+)ϕ(0+),
−1
Z 1
=
g(x)ϕ(x) dx = hTg , ϕi
(44)
−1
Derivée seconde:
Z
00
2
hTf , ϕi = (−1)
1
Z
00
f (x)ϕ (x) dx = −
−1
Z
0
0
[f ϕ0 ]0−1
0
0
ϕ (x) dx +
−1
1
+
0
ϕ0 (x) dx + [f ϕ]10 ,
= f (0−)ϕ (0−) − f (0+)ϕ (0+) + ϕ(1) − ϕ(0) − [ϕ(0) − ϕ(−1)],
= −2ϕ(0) = h−2δ0 , ϕi,
(45)
15
ce qui nous permet d'égaliser Tf00 et −2δ0 au sens des distributions. On voit ici qu'on
ne peut pas représenter la dérivée seconde au sens des distributions par une fonction
intégrable. La dérivée seconde classique de f serait simplement zéro pour x 6= 0.
Les espaces des fonctions f ayant un certain nombre de dérivées au sens des
distributions qui peuvent être représentées par les fonctions qui sont Lp -intégrables
sont appelés les espaces de Sobolev.
2.2
Normes de Sobolev et espaces associés
Dénition 17 Soit k un entier non-négatif et soit f ∈ L1loc (Ω). Supposons que les
dérivées au sens des distributions Dα f existent pour tout |α| ≤ k . On dénit une
norme de Sobolev par

kf kWpk (Ω) := 
X
1/p
kDα f kpLp (Ω) 
,
|α|≤k
dans le cas 1 ≤ p < ∞, et dans le cas p = ∞ on a
α
kf kW∞
k (Ω) := max kD f kL∞ (Ω) .
|α|≤k
L'espace de Sobolev Wpk (Ω) est maintenant déni comme suite:
Wpk (Ω)
n
p
:= f ∈ L (Ω) : kf kWpk (Ω)
o
< ∞.
Exemples
• W2k (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : Dα v ∈ L2 (Ω) ∀|α| ≤ k.}
W2k (Ω) est plus souvent connu sous le nom H k (Ω).
n
o
∂v
1
2
2
• H (Ω) = v ∈ L (Ω) : ∂xi ∈ L (Ω), i = 1, 2, 3, . . . , N où on a abusé la notation ∂v/∂xi pour vouloir dire la dérivée au sens des distributions.
• H 1 (Ω) ⊃ H01 (Ω) := {v ∈ H 1 (Ω) : v = 0 sur ∂Ω}
On peut dénir un produit scalaire (·, ·)1,Ω sur H 1 (Ω):
!
Z Ã
N
X
∂u ∂v
uv +
(u, v)1,Ω :=
dx,
∂x
∂x
i
i
Ω
i=1
et ainsi une norme induite
ÃZ Ã
1/2
kuk1,Ω = ((u, u)1,Ω )
u2 +
=
Ω
16
¶2
N µ
X
∂u
i=1
∂xi
!
!1/2
dx
.
Remarque
Si une fonction f ∈ H 1 (Ω), alors f et ses premières dérivées (au sens des distributions) sont dans L2 (Ω). Donc, H 1 (Ω) ⊂ L2 (Ω). Continuant ainsi on voit que
H m+1 (Ω) ⊂ H m (Ω) ⊂ . . . H 1 (Ω) ⊂ L2 (Ω). De plus, on a pour un domaine Ω que, si
f ∈ L2 (Ω) et A représente un ensemble compact inclus dans Ω
µZ
Z
¶1/2 µZ
¶1/2
1 dx
= (volA)1/2 kf k0,A < ∞.
2
|f | dx ≤
f dx
A
A
A
Donc L2 (Ω) ⊂ L1loc (Ω).
S
Soit le domaine borné Ω = N
i=1 Ωi d'un
T problème aux conditions limites la réunion nie des sous domaines Ωi , (avec Ωi Ωj = ∅ si i 6= j ), tels que la restriction de
la solution approximative cherchée uh ∈ U h à chaque sous domaine est un polynôme
de degré n. On voudrait savoir sous quelle(s) condition(s) U h ⊂ H 1 (Ω).
Théorème 5 Si la fonction uh décrite ci-dessus est continue à la frontière entre les
sous-domaines Ωi , uh ∈ H 1 (Ω).
Démonstration
En dimension 1, si uh possède une discontinuité (saut ni) à la frontière entre deux
sous domaines, alors sa dérivée fait intervenir une distribution de Dirac, ce qui n'est
pas carré sommable.
uh est carré sommable puisque
Z
X Z ³ ¯ ´2
¡ h ¢2
dx < ∞.
uh ¯Ω
u
dx =
Ω
Ωi
i
i
Pour démontrer que les premières dérivées de uh au sens des distributions sont carré
sommables, il nous faut trouver des fonctions gj ∈ L2 (Ω) telles que
Z
Z
∂ϕ
gj ϕ dx = − uh
dx, ∀ϕ ∈ D(Ω).
∂xj
Ω
Ω
On choisit gj de sorte que
gj |Ωi
¯
∂uh ¯¯
=
∂xj ¯Ωi
Donc gj ∈ L2 (Ω) puisque
Z
Ω
gj2 dx =
XZ
i
Ωi
Ã
¯ !2
∂uh ¯¯
dx < ∞.
∂xj ¯Ωi
Intégration par parties nous donne
¯
Z
Z
Z
Z
¯
¯ ∂ϕ
∂uh ¯¯
h¯
gj |Ωi ϕ dx =
ϕ dx =
u Ωi ϕnij ds −
uh ¯Ωi
dx,
¯
∂xj
Ωi
∂Ωi
Ωi
Ωi ∂xj Ωi
17
où nij désigne la j -ième composante du vecteur normal unitaire ni à la surface ∂Ωi
de Ωi , dirigé vers l'extérieur. Si on additionne les contributions des intégrales sur
Ωi on a
Z
Z
N Z
X
¯
∂ϕ
h¯
gj ϕ dx =
u Ωi ϕnij ds − uh
dx.
∂x
j
Ω
Ω
∂Ω
i
i=1
La contribution à la première intégrale au membre de droite sur la frontière commune
Γik entre deux sous-domaines Ωi , Ωk est
Z
Z
¯
¯
¯
h¯
h¯
uh ¯Ω ϕ(nij + nkj ) ds = 0,
u Ω ϕnij + u Ω ϕnkj ds =
Γik
i
k
Γik
i
(la valeur de uh le long de Γik est uniquement dénie par la continuité de uh et
nij = −nkj sur Γik .) Également, la contribution à
Z
¯
uh ¯Ω ϕnij ds,
∂Ωi
i
lorsque ∂Ωi ⊂ ∂Ω est zéro parce que ϕ = 0 sur ∂Ω.
Pour Ω = (a, b) ⊂ R on déduit qu'on pourrait dénir H 1 (Ω) comme
©
ª
H 1 (Ω) = u : u ∈ C 0 (Ω), D1 (u) ∈ L2 (Ω) .
Théorème 6 L'espace Wpk (Ω) est un espace de Banach.
Démonstration
Soit {vj } une suite de Cauchy par rapport à la norme k·kWpk (Ω) . Puisque cette norme
est une somme des normes Lp des dérivées faibles il suit que ∀|α| < k , {Dα vj } est
une suite de Cauchy par rapport à la norme k · kLp (Ω) . Donc, ∃v α ∈ Lp (Ω) tel
que Dα vj → v α lorsque j → ∞ (puisqu'une suite converge ssi c'est une suite de
Cauchy). Il faut controller que Dα v existe ∀|α| < k et que Dα v = v α .
Notez que si wj → w dans Lp (Ω), alors ∀ϕ ∈ D(Ω)
Z
Z
wj (x)ϕ(x) dx →
w(x)ϕ(x) dx.
(46)
Ω
Ω
Vérication: de l'inégalité de Hölder, nous avons (1/p + 1/q = 1)
kwj ϕ − wϕkL1 (Ω) ≤ kwj − wkLp (Ω) kϕkLq (Ω) → 0 lorsque j → ∞
Pour vérier Dα v = v α il faut démontrer que
Z
Z
∂ |α| ϕ
α
|α|
, ∀ϕ ∈ D(Ω).
v ϕ(x) dx = (−1)
v
∂xα
Ω
Ω
Il suit de la dénition de la dérivée faible Dα vj que
Z
Z
α
v ϕ dx = lim
Dα vj ϕ dx,
j→∞ Ω
Ω
Z
Z
∂ |α| ϕ
∂ |α| ϕ
|α|
|α|
= (−1)
lim
vj
dx
=
(−1)
v
dx.
j→∞ Ω
∂xα
∂xα
Ω
(47)
Remarques Il s'en suit que W2k (Ω) = H k (Ω) est un espace de Hilbert puisque cet
espace est muni d'un produit scalaire. Puisque H01 (Ω) est un sous-ensemble il est
aussi un espace de Hilbert.
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