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Électromagnétisme PTSI
Chapitre 2
4
On note n, le nombre de porteurs de charge par unité de volume et v la vitesse d’ensemble
des porteurs de charges.
En présence d’un champ électrique, on aura 0≠v avec v colinéaire à
.
Vecteur densité de courant
On définit le vecteur densité de courant (volumique) vvnqj
m
ρ== où
m
est la densité
volumique de charges mobiles.
Le courant élémentaire d’intensité di qui traverse l’élément dS est
Sj
t
q
id.
d
d==
.
L’intensité totale s’écrit alors ==
S
SjiI d.d .
Remarques :
-
L’intensité totale qui traverse une section S de conducteur est donc égale au flux du
vecteur densité de courant à travers cette section.
-
L’unité de vecteur densité de courant est A.m
–2
où C.s
–1
.m
–2
.
Loi d’Ohm locale
Énoncé de loi d’Ohm locale :
Dans un conducteur, les vecteurs champ électrique
et densité de courant j sont
proportionnels Ej γ= où γ est la conductivité du conducteur et ne dépend que du conducteur
et de la température.
Remarques :
-
γ s’exprime en S.m
–1
et est parfois notée σ.
-
L’inverse de γ est la résistivité notée ρ.
-
On parle de loi d’Ohm locale car les vecteurs j et
sont définis en tout point du
conducteur (donc localement) et par opposition à la loi d’Ohm (intégrale) U = R×I.
Interprétation « classique » de loi d’Ohm locale
On étudie, à l’aide de la mécanique « classique », le mouvement d’une charge (masse m et
charge q) dans un conducteur soumis à un champ électrique
. L’ensemble des interactions
entre la charge de masse m et le milieu environnant est modélisée par une force de frottement
fluide v
m
vhF
−=−= où τ est une durée caractéristique du mouvement (τ ≈ 10
–14
s).
La RFD s’écrit
E
m
qv
t
v=
τ
+
d
, soit après intégration
( )
τ
−+
τ
=t
KE
m
q
tv exp .
Ainsi, après un régime transitoire de durée caractéristique τ, on atteint une vitesse
limite E
m
q
v
=
lim
En reprenant l’expression définissant le vecteur densité de courant et en se plaçant en régime
permanent (t → +∞) on établit une expression du vecteur densité de courant :
EE
m
nq
vnqj γ=
τ
==
2
lim
avec
nq τ
=γ
2
.