Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Stage Février Thème: Algorithmique Terminale S
Exercice 1
Que fait l’algorithme ci-dessous ?
Variables aet bréels
Entrée Saisir aet b
Traitement aprend la valeur a+b
bprend la valeur a−b
aprend la valeur a−b
Sortie Afficher aet b
Exercice 2
Que peut-on dire de l’algorithme suivant ?
Variables x,y,zet tréels
Entrée Saisir xet y
Traitement Affecter à zla valeur 2x−y
Affecter à yla valeur 2y−3z
Affecter à tla valeur 5z+y−4x
Sortie Afficher t
Exercice 3
Quel fait l’algorithme ci-dessous ?
Variables a,i,nentiers naturels non nuls
Entrée Saisir n
Traitement Affecter la valeur 1àa
Pour iallant de 2àn
aprend la valeur a×i
Fin Pour
Sortie Afficher a
Exercice 4
La notation E(x)désignant la partie entière d’un réel
x, que fait l’algorithme suivant ?
Variables n,aet sréels
Entrée Saisir un entier naturel n
Initialisation Affecter la valeur 0às
Traitement Tant que n6= 0
aprend la valeur n−10 ×E(n÷10)
sprend la valeur s+a
nprend la valeur (n−a)÷10
Fin Tant que
Sortie Afficher s
Exercice 5
1. Exécuter l’algorithme suivant avec m=48 et n=11.
Entrée Saisir m, entier naturel non nul
Saisir n, entier naturel non nul
Initialisation Affecter à pla valeur m
Traitement Tant que p>n
pprend la valeur p−n
Fin Tant que
Si p= 0
Alors
Afficher « Oui »
Sinon
Afficher « Non »
2. À quelle question cet algorithme répond-il ?
3. Dans cette question, aet bdésignent deux chiffres.
Démontrer qu’en exécutant l’algorithme avec men-
tier à six chiffres s’écrivant ababab et n= 37, on
obtient toujours le résultat « Oui ».
Exercice 6
175 présente une drôle de particularité.
En effet, 175 = 1 + 72+ 53.
Le but de l’exercice est de déterminer tous les entiers
de trois chiffres présentant cette particularité.
1. Vérifier que 598 est l’un d’eux.
2. On considère un entier de trois chiffres et on nomme
ason chiffre des centaines, bson chiffre des dizaines
et cson chiffre des unités.
Écrire l’égalité à tester afin de savoir si cet entier
présente la même particularité que 175 et 598.
3. Écrire un algorithme en langage naturel permettant
de lister tous les entiers de trois chiffres présentant
la particularité.
4. Traduire cet algorithme en langage Algobox puis
donner la liste des entiers recherchés.
Exercice 7
Dans un lycée, un code d’accès à la photocopieuse est
attribué à chaque professeur. Ce code est un nombre
à quatre chiffres, chaque chiffre pouvant être répété à
l’intérieur d’un même code.
1. Combien de codes différents peut-on ainsi former ?
2. Ce code permet aussi de définir un identifiant pour
l’accès au réseau informatique. L’identifiant est
constitué du code à quatre chiffres suivi d’une clé
calculée à l’aide de l’algorithme suivant :
Entrée Nest le code à quatre chiffres
Initialisation Affecter à Pla valeur de N
Affecter à Sla valeur 0
Affecter à Kla valeur 1
Traitement Tant que K64
Affecter à Ule chiffre des unités
de P
Affecter à Kla valeur K+ 1
Affecter à Sla valeur S+K×U
Affecter à Pla valeur P−U
10
Affecter à Rle reste dans la di-
vision euclidienne de Spar 7
Affecter à Cla valeur 7−R
Fin Tant que
Sortie Afficher C
a) Faire fonctionner l’algorithme avec N= 2282
et vérifier que la clé qui lui correspond est 3.
On prendra soin de faire apparaître les diffé-
rentes étapes du déroulement de l’algorithme
(on pourra par exemple faire un tableau.).
b) Un professeur s’identifie sur le réseau informa-
tique en entrant le code 4732 suivi de la clé 7.
L’accès lui est refusé. Le professeur est sûr des
trois derniers chiffres du code et de la clé, l’er-
reur porte donc sur le premier chiffre (qui n’est
donc pas égal à 4). Quel est ce premier chiffre ?

Stage Février Thème: Algorithmique Terminale S
Exercice 8
Écrire un algorithme correspondant au jeu suivant :
deviner un entier compris entre 1et 100 en au plus
cinq essais.
On souhaite de plus, qu’ à chaque essai infructueux,
un message soit renvoyé (« Plus » si l’entier à trouver
est supérieur à la proposition faite, « Moins » dans le
cas contraire).
Enfin, on souhaite que le nombre à trouver soit affiché
en fin de partie. Exercice 9
Sur une île, chaque jour et dans cet ordre, chaque
loup tue un mouton, chaque mouton tue un serpent
et chaque serpent tue un loup.
Après dix jours, il ne reste plus sur l’île qu’un seul
animal, un mouton.
Combien y avait-il d’animaux de chaque espèce au dé-
part ? Exercice 10
Michel Strogonoff partit à l’aventure, sans un sou en
poche, à travers les étendues infinies de la Sibérie.
Las, à peine avait-il parcouru une verste qu’il rencon-
tra un ermite qui lui dit :
« Donne-moi un rouble, ou tu t’en repentiras.
- Mais je suis trop pauvre, je ne peux pas te donner
un rouble.
- Puisque c’est comme ça, répliqua l’ermite, c’est moi
qui vais te donner un rouble ! Tiens ! »
Michel Strogonoff reprit sa route, avec un rouble dans
la poche.
Une verste plus loin, nouvel ermite, même tableau :
« Donne-moi deux roubles, ou tu t’en repentiras.
- Mais je suis trop pauvre, je ne peux pas te donner
deux roubles.
- Puisque c’est comme ça, répliqua l’ermite, c’est moi
qui vais te donner deux roubles ! Tiens ! »
Michel Strogonoff reprit sa route, avec maintenant
trois roubles dans la poche.
Et à la fin de la troisième verste, ça recommence avec
un troisième ermite :
« Donne-moi trois roubles, ou tu t’en repentiras.
- Tiens, mon pauvre ermite, je me réjouis de pouvoir
soulager ta misère ! »
Et Michel Strogonoff lui donna ses trois roubles, et
reprit sa route, la bourse vide.
Et ça continue comme ça, à la fin de la n-ième verste,
un ermite lui demande nroubles. Si Michel Strogonoff
les possède, il les lui donne, sinon c’est l’ermite qui lui
donne nroubles.
1. De quelle somme Michel Strogonoff dispose-t-il
après avoir quitté le dixième ermite ?
Justifier en reproduisant et complétant le tableau
ci-dessous dans lequel ndésigne le nombre de
verstes, c’est-à-dire le nombre de roubles deman-
dées par l’ermite nonet Sle nombre de roubles
que possède Michel Strogonoff.
Valeur de n1 2 3 4 ... 8 9 10
Valeur de S1 3 0 ...
2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin
qu’il permette de déterminer le nombre de roubles
que Michel Strogonoff possède au bout de pverstes,
c’est-à-dire après avoir quitté le p-ième ermite (p
entier naturel non nul).
Variables n,S,p
Entrée Saisir . . .
Initialisation Affecter la valeur . . . à S
Traitement Pour nallant de . . . à . . .
Si S>n
Alors
Sprend la valeur . . .
Sinon
Sprend la valeur . . .
Fin Si
Fin Pour
Sortie Afficher . . .
3. De quelle somme Michel Strogonoff dispose-t-il
après avoir quitté le 800-ième ermite ?
4. Proposer un algorithme permettant de déterminer
la distance (exprimée en verstes) que Michel Stro-
gonoff devra parcourir pour détenir pour la pre-
mière fois la somme de Rroubles, où Rest un réel
strictement positif choisi.
L’appliquer dans le cas R= 3000.
(⋆)Unité de longueur utilisée dans la Russie des Tsars,
équivalant à un peu plus d’un kilomètre.
Exercice 11
λdésignant une constante réelle, on nomme (Eλ)
l’équation d’inconnue réelle xsuivante : x3−12x=λ
1. En étudiant une fonction bien choisie, discuter du
nombre de solutions de (Eλ)en fonction de la valeur
de λ.
2. Résoudre algébriquement l’équation (E0).
3. a) Vérifier que (−2) est solution de (E16).
b) Résoudre algébriquement l’équation (E16).
4. a) Montrer que l’équation (E25)admet une unique
solution, notée α, et que cette dernière appar-
tient à [4; 5].
b) On souhaite obtenir un encadrement d’ampli-
tude 10−2de α.
Compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il per-
mette d’obtenir l’encadrement voulu.
Variables xet yréels
Initialisation Affecter la valeur . . . à x
Affecter la valeur x3−12xày
Traitement Tant que y < 25
xprend la valeur . . .
yprend la valeur . . .
Fin Tant que
Sortie Afficher x−0,01 et x

Stage Février Thème: Algorithmique Terminale S
Exercice 12
On considère la suite (Cn)n>0définie par :
C0= 1 et ∀n∈NCn+1 =4n+ 2
n+ 2 Cn
Le mathématicien Eugène Charles Catalan (1814 −
1894) a étudié cette suite de nombres que l’on appelle
depuis « suite des nombres de Catalan ».
Elle répond au problème suivant : étant données n
couples de parenthèses (n« ouvrantes » et n« fer-
mantes »), de combien de façons peut-on les écrire de
telle sorte qu’à tout moment, en les lisant de gauche à
droite, le nombre de parenthèses ouvrantes soit supé-
rieur ou égal au nombre de parenthèses fermantes.
1. Calculer C1,C2et C3.
2. Donner les cinq façons d’ordonner trois couples de
parenthèses.
3. a) Écrire un algorithme permettant de calculer la
valeur de Cnpour un entier naturel nchoisi.
b) De combien de façons peut-on écrire dix couples
de parenthèses ?
4. a) Écrire un algorithme permettant de déterminer
le plus petit entier naturel ntel que Cnatteigne
ou dépasse un seuil schoisi.
b) Combien faut-il, au minimum, de couples de pa-
renthèses pour qu’il y ait plus de 1010 façons de
les écrire ? Exercice 13
Jack et le haricot magique
Jack a planté un haricot magique, qui mesure déjà dix
mètres de haut lorsqu’il décide de l’escalader. Jack est
un lilliputien, qui n’est capable de grimper que d’un
mètre par jour : il voudrait parvenir tout en haut de
ce haricot magique mais, chaque nuit, pendant que
Jack dort sur une feuille, le haricot pousse et sa tige
s’allonge uniformément de 3m : pendant son sommeil,
Jack s’éloigne ainsi à la fois du sol et du sommet de la
plante !
L’objectif de cet exercice est de déterminer si Jack
pourra atteindre son but.
1. Justifier que, au coucher du deuxième jour, il lui
reste 10,70 m à escalader.
2. Compléter le tableau suivant avec des valeurs ap-
prochées au centième.
Jour nHauteur
Hndu
haricot
Hauteur
Rnrestant
à escalader
au réveil
Hauteur
Cnrestant
à escalader
au coucher
1 10
2
3
4
3. Jack atteindra-t-il le sommet du haricot magique ?
Si oui, quel jour ?
Pour répondre à cette question, on pourra utiliser
la calculatrice après avoir précisé les relations exis-
tant entre les différentes grandeurs en jeu dans le
tableau précédent. Exercice 14
On considère la suite (un)définie par u0= 1 et, pour
tout entier naturel n,un+1 =√2un.
1. On considère l’algorithme suivant :
Variables nest un entier naturel
uest un réel positif
Entrée Demander la valeur de n
Initialisation Affecter à ula valeur 1
Traitement Pour ivariant de 1àn
Affecter à ula valeur √2u
Fin Pour
Sortie Afficher u
a) Donner une valeur approchée à 10−4près du
résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on
choisit n= 3.
b) Que permet de calculer cet algorithme ?
c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs appro-
chées obtenues à l’aide de cet algorithme pour
certaines valeurs de n.
n5 10 15 20
Valeur
affichée 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999
Quelles conjectures peut-on émettre concernant
la suite (un)?
2. a) Prouver que : ∀n∈N0< un62
b) Déterminer le sens de variation de (un).
c) Démontrer que (un)est convergente.
On ne demande pas la valeur de sa limite.
3. On considère la suite (pn)définie, pour tout entier
naturel n, par pn= ln(un)−ln(2).
a) Justifier que la suite (pn)est géométrique et pré-
ciser son premier terme et sa raison.
b) En déduire l’expression de unen fonction de n
puis la limite de la suite (un).
c) Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter
par les instructions du traitement et de la sortie,
de façon à afficher en sortie la plus petite valeur
de ntelle que un>1,999.
Variables nest un entier naturel
uest un réel
Initialisation Affecter à nla valeur 0
Affecter à ula valeur 1
Traitement
Sortie

Stage Février Thème: Algorithmique Terminale S
Exercice 15
Sur la figure ci-dessous, on donne, dans un repère or-
thonormé (O;#» ı , #» ), la courbe représentative Cd’une
fonction f, définie et dérivable sur l’intervalle ]0; +∞[.
A
B
C
O
C
#»
ı
#»
On dispose des informations suivantes :
•les points A,B,Cont pour coordonnées respectives
(1; 0),(1; 2),(0; 2) et la courbe Cpasse par B;
•la droite (BC)est tangente à Cen B;
•il existe deux réels positifs aet btels que :
∀x∈]0; +∞[f(x) = a+bln(x)
x
1. a) f′désignant la fonction dérivée de f, vérifier
que : ∀x∈]0; +∞[f′(x) = (b−a)−bln(x)
x2
b) Lire sur le graphique les valeurs respectives de
f(1) et f′(1) et en déduire les réels aet b.
2. a) Déterminer les limites de fen 0et en +∞.
b) Étudier les variations de fpuis dresser son ta-
bleau de variations complet.
3. a) Démontrer que l’équation f(x) = 1 admet une
unique solution αdans l’intervalle ]0 ; 1].
b) Par un raisonnement analogue, on démontre
qu’il existe un unique réel βde l’intervalle
]1; +∞[tel que f(β) = 1.
Déterminer l’entier ntel que n < β < n + 1.
4. On donne l’algorithme ci-dessous.
Variables : a,bet msont des réels
Initialisation : Affecter à ala valeur 0
Affecter à bla valeur 1
Traitement : Tant que b−a > 0,1
Affecter à mla valeur a+b
2
Si f(m)<1
Alors
Affecter à ala valeur m
Sinon
Affecter à bla valeur m
Fin Si
Fin Tant que
Sortie : Afficher a
Afficher b
a) Faire tourner cet algorithme et compléter le ta-
bleau ci-dessous :
Étape 1 2 3 4 5
a0
b1
b−a
m
b) Que représentent les valeurs affichées par cet al-
gorithme ?
c) Modifier l’algorithme afin qu’il donne les bornes
d’un encadrement de βd’amplitude 10−1.
5. Le but de cette question est de démontrer que la
courbe Cpartage le rectangle OABC en deux do-
maines d’aires égales.
a) Justifier que cela revient à démontrer que
Z1
e−1
f(x)dx= 1.
b) Terminer la démonstration en remarquant que
f(x)peut s’écrire 2
x+ 2 ×1 x×ln(x).
Exercice 16
1. On considère l’algorithme suivant :
Variables a,b,n,N,uet vréels
Entrée Saisir un réel strictement positif
non nul a
Saisir un réel bstrictement supé-
rieur à a
Saisir un entier naturel non nul
N
Initialisation Affecter la valeur 0àn
Traitement Tant que n < N
nprend la valeur n+ 1
uprend la valeur a+b
2
vprend la valeur a2+b2
2
aprend la valeur u
bprend la valeur v
Fin Tant que
Sortie Afficher uet v
Reproduire et compléter le tableau suivant, en fai-
sant fonctionner cet algorithme pour a= 4,b= 9
et N= 2. Les valeurs successives de uet vseront
arrondies au millième.
n a b u v
049
1
2
Dans la suite, aet bsont deux réels tels que
0< a < b et on considère les suites (un)et (vn)
définies par u0=a,v0=bet, pour tout entier
naturel n,un+1 =un+vn
2et vn+1 =u2
n+v2 n
2.
2. a) Démontrer que : ∀n∈Nun>0et vn>0
b) Établir que :
∀n∈Nv2
n+1 −u2 n+1 =Åvn−un
2ã2
c) En déduire que : ∀n∈Nun6vn
3. a) Montrer que la suite (un)est croissante.
b) Comparer v2
n+1 et v2
n. En déduire le sens de va-
riation de la suite (vn).
4. Justifier que (un)et (vn)sont convergentes.

Stage Février Thème: Algorithmique Terminale S
Exercice 17
On considère la suite (un)définie par son premier
terme u0= 0 et par la relation de récurrence suivante :
∀n∈Nun+1 =un+ 2n+ 2
1. Calculer u1puis u2.
2. On considère les deux algorithmes suivants :
Algorithme 1
Variables : nest un entier naturel non nul
uest un réel
Entrée : Saisir la valeur de n
Traitement : uprend la valeur 0
Pour iallant de 1àn
uprend la valeur u+ 2i+ 2
Fin Pour
Afficher u
Algorithme 2
Variables : nest un entier naturel non nul
uest un réel
Entrée : Saisir la valeur de n
Traitement : uprend la valeur 0
Pour iallant de 0àn−1
uprend la valeur u+ 2i+ 2
Fin Pour
Afficher u
a) De ces deux algorithmes, lequel permet d’affi-
cher en sortie la valeur de un, la valeur de l’en-
tier naturel nétant entrée par l’utilisateur ?
b) Quelles sont les deux lignes qu’il suffit de per-
muter pour que l’algorithme affiche les valeurs
de tous les termes de la suite, de u1jusqu’à un?
3. À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le nuage de
points ci-dessous où nfigure en abscisse et unen
ordonnée.
20
40
60
80
100
120
140
160
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
+++++++++++++
0
a) Démontrer que (un)est strictement croissante.
b) La forme du nuage de points amène à conjectu-
rer l’existence de trois réels a,bet ctels que :
∀n∈Nun=an2+bn +c
Déterminer les valeurs respectives de a,bet cà
l’aide des informations fournies.
4. Soit (vn)la suite de terme général vn=un+1 −un.
Exprimer vnen fonction de n.
Quelle est la nature de (vn)?
5. On pose : ∀n∈NSn=
n
X
k=0
vk
a) Prouver que : ∀n∈NSn= (n+ 1)(n+ 2)
b) Montrer que : ∀n∈NSn=un+1 −u0
c) Exprimer unen fonction de n.
Exercice 18
Suite dite de Syracuse
Soit (un)n>0la suite définie par :
u0=α(α∈N∗)
∀n∈Nun+1 =
un
2si unest pair
3un+ 1 si unest impair
1. Calculer les premiers termes de (un)avec diffé-
rentes valeurs de α. Que remarque-t-on ?
2. Écrire un algorithme permettant, pour une valeur
de αdonnée, de déterminer le plus petit entier na-
turel ntel que un= 1.
Le tester avec α= 50,α= 73 puis α= 97.
3. Écrire un algorithme permettant de déterminer,
parmi les entiers appartenant à [1; 100], l’entier α
pour lequel le plus petit entier naturel ntel que
un= 1 est maximal.
Exercice 19
On considère la suite (zn)à termes complexes définie
par z0= 1 + iet la relation de récurrence suivante :
∀n∈Nzn+1 =zn+|zn|
3
Pour tout entier naturel n, on pose an=Re(zn)et
bn=Im(zn).
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des
suites (an)et (bn).
Partie A
1. Donner les valeurs de a0et b0puis calculer z1et en
déduire les valeurs respectives de a1et b1.
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables Aet Bdes nombres réels
Ket Ndes nombres entiers
Entrée Entrer la valeur de N
Initialisation Affecter à Ala valeur 1
Affecter à Bla valeur 1
Traitement Pour Kvariant de 1àN
Affecter à Ala valeur
A+√A2+B2
3
Affecter à Bla valeur B
3
FinPour
Sortie Afficher A
a) On exécute cet algorithme en saisissant N= 4.
Recopier et compléter le tableau ci-dessous
contenant l’état des variables au cours de l’exé-
cution de l’algorithme (on arrondira les valeurs
calculées à 10−4près).