1 DETENTE DE L`HYDROGENE 2 Gaz de VAN DER WAALS en

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1 DETENTE DE L’HYDROGENE
Au cours de l’évolution élémentaire et réversible d’une mole de fluide
dont la pression Pvarie de dP et la température Tvarie de dT ,cette
mole de fluide échange sous forme de chaleur une énergie Qdonnée
par :
δQ =Cp(T, P )dT +ℓ(T, P )dP
1.1- Ecrire en fonction de dT et de dP les variations élémentaires
correspondantes dH et dS de son enthalpie et son entropie molaires.
1.2- Rappeler les quatres identités thermodynamique et en déduire
les quatres équations thermodynamiques de Maxwell.
1.3- Déduire que :ℓ=−T³∂V
∂T ´Pet ³∂CP ∂P ´T=−T³∂2V ∂T 2´Pavec V le
volume molaire du fluide considéré.
1.4- le fluide considéré est de l’hydrogène gazeux. Ce gaz vérifie
bien ,dans les domaines de températures et de pression considéré ,
l’équation d’état molaire proposée par YANG et LEE :
P=−a
V2−RT bln ³1−b V´
Les termes a
V2et b Vsont des termes correctifs.
1.4.1- Comment écrit - on l’équation de YANG et LEE pour nmoles
de fluides, en fonction du volume V,de la pression P,la température T
et de n.
On donne ln(1 + x) = x−x2
2+x3 3pour x≪1
1.4.2- On rappelle le développement du Viriel :
¤En P:P V
RT = 1 + B1(T)P+B2(T)P2+B3(T)P3···
¤En 1/V :P V
RT = 1 + C1(T)1 V+C2(T)1 V2+C3(T)1 V3···
1.4.3- Discuter les cas limites pour ces deux développements.
1.4.4- Déterminer l’expression de C1(T)en fonction de a,b,Ret
T.
1.4.5- Déterminer une relation entre C1(T)et B1(T).
1.4.6- Déduire des questions précédentes l’expression de B1(T)
en fonction de a,b,Ret T.
Dans toute la suite du problème on utilisera la formule simplifiée de
l’équation d’état de l’hydrogène.
P V =RT (1 + B1(T)P)
1.5- Déduire l’expression des coefficients Cp(T, P )et ℓ(T, P )en fonc-
tion de Rde Tet de B1(T)et éventuellement de sa dérivée. On suppo-
sera que Cp(T, P )tend vers une valeur C0indépendante de la tempéra-
ture lorsque la pression tends vers 0.
1.6- Déterminer à une constante prés l’expression de l’enthalpie mo-
laire H(T, P )et de son entropie molaire S(T, P )du fluide en fonction de
R,C0,T,P,B1(T)et dB1
dT .
1.7- Vérifier en utilisant les résultats des questions précédentes
que :
H(T, P ) = C0T+³b
2−2a RT ´P+H0et S(T, P ) = C0ln T−Rln P−aP RT 2+S0
2 Gaz de VAN DER WAALS en cycle de CARNOT
Un fluide ( γ= 1,4 ) subit le cycle de CARNOT composé d’une com-
pression isotherme A→Bà température Tf, d’une adiabatique B→C,
d’une détente isotherme C→Dà la température Tc> Tfet d’une adia-
batique D→A.
Toutes ces transformations seront considérées quasi - statiques.On
prendra :
VA= 1 Litre, VB= 0,1 Litre , Tf= 300 K , Tc= 800 K et n= 0,04 mol.
2.1-Dans le cas où le fluide est un gaz parfait
2.1.1- Déterminer les volumes VCet VD
2.1.2- Calculer le transfert thermique avec la source chaude.
2.1.3- Calculer le travail total reçu par le fluide sur un cycle. En
déduire le rendement du cycle.
2.2-Dans le cas où le fluide est un gaz réel
Le cycle est décrit par un gaz obéissant à l’équation d’état suivante :
(P+an2
V2)(V−nb) = nRT
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On donne : b= 3,19.10−5m3mol−1
On introduit le coefficient calorimétrique Ldéfini par la relation :
δQ =nCVdT +LdV
2.2.1- Sachant que la différentielle dU de l’énergie interne et la
différentielle dS d’entropie sont exactes, Montrer brièvement que : L=
T³∂P
∂T ´V, L’exprimer en fonction de Pet V.
2.2.2- Sachant que la capacité calorifique molaire du gaz est
constante et vaut : CV=5
2R. Exprimer l’énergie interne U(T, V )à une
constante additive près.
2.2.3- Exprimer également l’entropie S(T, V ), à une constante
près.
2.2.4- Quelles sont les équations qui permettraient de calculer VC
et VD? On ne demande pas de calculer VCet VD.
Une résolution numérique donne VC= 9,8 mL et VD= 87,3 mL.
2.2.5- Calculer le transfert thermique reçu sur l’isotherme chaude
(de température Tc).
2.2.6- Déterminer le travail total reçu sur un cycle.
2.2.7- En déduire le rendement du cycle avec le gaz de Van Der
Waals. Expliquer.
3 Pompe à chaleur
Dans une pompe à chaleur, on utilise comme fluide caloporteur du
fréon. Le tableau suivant donne quelques données thermodynamiques
à différentes températures relatives à l’équilibre liquide - vapeur.
¤Psat est la pression de vapeur saturante.
¤vliq, hliq et sliq représentent respectivement le volume massique, l’en-
thalpie massique et l’entropie massique du liquide dans les conditions
d’équilibre avec sa vapeur.
¤vvap, hvap et svap représentent respectivement le volume massique, l’en-
thalpie massique et l’entropie massique de la vapeur dans les condi-
tions d’équilibre avec le liquide. Au voisinage de 60 oC la vapeur est
assimilée à un gaz parfait de capacité CP= 0,879 kJ.kg−1.K−1et de
constante : r=R
M= 53,2 J.kg−1.K−1
θ(oC) 5 40 60
Psat (bar) 3,6 9,6 15,2
vliq (L.kg−1) 0,73 0,80 0,86
vvap (L.kg−1) 48,6 13,8 11,7
hliq (kJ.kg−1) 4,7 39 61
hvap (kJ.kg−1) 157 171 178
sliq (kJ.K−1kg−1) 0,017 0,133 0,198
svap (kJ.K−1kg−1) 0,565 0,554 0,552
3.1- Déterminer les caractéristiques : Pression P, Volume V, Tempé-
rature θ, Masse de liquide, Entropie Set Enthalpie Hde 1 kg de fréon
correspondant à un état :
3.1.1- A 5 oC et H= 61 kJ
3.1.2- Sous 15,2 bars et S=0,565 kJ.K−1
3.2- Le diagramme de la figure ci - dessous est le diagramme en-
tropique ( T,S). Donner l’allure en diagramme de Clapeyron ( Pen
ordonnée et Ven abscisse ) relatif à un kg de fluide. On représentera
sur ce diagramme une isobare et une isotherme.
3.3- La pompe à chaleur sert à chauffer une maison en extrayant de
l’énergie à une source froide à la température de 10 oC.
Le dispositif comprend : Un compresseur K, un détendeur D, un évapo-
rateur E ( source froide ) et un condenseur C ( source chaude ). Le fréon
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subit au cours de sa circulation les transformations :
(1)−→ (2) compression adiabatique réversible
(2) −→ (4) transformation isobare
(4) −→(5) détente isenthalpique
(5) −→ (1) transformation isobare
P(bar)θ(oC)État du fluide
(1) 3,6 5 V apeur
(2) 15,2
(3) 15,2 60 V apeur
(4) 15,2 60 Liquide
(5) 3,6
3.3.1- Déterminer les caractéristiques ( température, pression, vo-
lume, masse du liquide ) pour un kg de fréon pour les états : (1), (2), (3),
(4) et (5).
3.3.2- Représenter approximativement le cycle dans les dia-
grammes ( P,V ) et ( T,S ).
3.3.3- Définir et calculer l’efficacité de la pompe à chaleur.
4 CHAUFFAGE D’UN APPARTEMENT PAR UNE
POMPE À CHALEUR
On se propose dans ce problème d’étudier dans les grandes lignes le
principe de chauffage d’une pièce à l’aide d’une pompe à chaleur. On
étudie dans un premier temps le principe de la pompe. On s’intéresse
ensuite à l’établissement de la température moyenne de la pièce.
L’air de la pièce sera assimilé à un gaz parfait diatomique de rapport
γ=Cp
Cv
égal à 1,4 . La masse molaire de l’air est environ M= 29 gmol−1.
Dans tout le problème, on ne tiendra pas compte de la vapeur d’eau
contenue dans l’air.
On rappelle également la valeur de la constante de Joule R=
8.31 Jmol−1K−1et on note r=R
M. Enfin Tdésigne la température en
Kelvin et tle temps.
Propriétés énergétiques de la pièce
4.1- La pièce a une hauteur de 3m, et une surface de 50m2.
4.1.1- Calculer le volume d’air contenue dans cette pièce.
4.1.2- En déduire la masse md’air correspondante en supposant
la pièce sous une pression P0= 105P a, à la température T0= 298K.
N.B : On suppose dans toute la suite du problème que cette masse
d’air demeure constante et que les transformations de l’air sont
supposées effectuées à volume constant.
4.2-
4.2.1- Donner littéralement puis numériquement la capacité ther-
mique à volume constant, notée C, de l’air contenu dans cette pièce.On
rappelle que la capacité thermique à volume constant est le produit
de la masse totale d’air par la capacité thermique massique à volume
constant de ce dernier.
4.2.2- Faire l’application numérique.
4.3-
4.3.1- Rappeler l’expression de l’énergie interne U(T)de l’air de
la pièce en fonction de m, T, r =R
Met γlorsque on prend U(T= 0) = 0.
4.3.2- Calculer numériquement l’énergie interne de l’air de la
pièce pour T0= 298K.
4.4- On appelle S(T, V ),la fonction entropie de la masse d’air de la
pièce .Partant d’un état initial de température Tiet de volume Vi.
4.4.1- Calculer l’expression S(T, V )−S(Ti, Vi)en fonction de
m, T, V, Ti, Vi, r =R
Met γ.
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4.4.2- En déduire numériquement la variation d’entropie du gaz
de la pièce quand on fait passer , à volume constant, la température de
Ti= 275Kà une température T0= 298K.
4.4.3- Commenter le signe de cette variation.
4.5-
4.5.1- Que peut-t-on dire de la variation d’entropie d’une masse
d’air donnée au cours d’un cycle ?
4.5.2- Le fait que le cycle soit réversible ou non a-t-il une influence
sur la variation d’entropie de cette masse d’air lors d’un cycle ?
4.5.3- Qu’est ce qui , fondamentalement , distingue un cycle ré-
versible d’un cycle irréversible ?
Principe théorique de la pompe à chaleur
Dans cette partie , la pompe à chaleur notée PAC est supposée fonc-
tionner entre l’air de la pièce de température Tp(t)à un instant tet de
capacité thermique Cet l’atmosphère extérieure assimilée à un thermo-
stat parfait de température Text = 275K.
A l’instant initial Tp(0) = Text = 275K. On souhaite amener la pièce à
la température Tf= 298K. La pièce est supposée parfaitement isolée et
on néglige donc les pertes énergétiques au travers des murs et fenêtres
de la pièce.
4.6- Définir un thermostat.
4.7- Faire le schéma synoptique d’un cycle de la PAC : préciser
le sens des échanges énergétiques -travail, chaleurs ( ou transferts
thermiques)- en considérant le "fluide" de la PAC comme étant le sys-
tème thermodynamique étudié.
4.8- On se place en régime permanent de fonctionnement de la PAC
,où celle-ci alimentée électriquement reçoit le travail électrique W.
Pour la pièce , on aura à tout instant Tpi`ece =Tf= 298Ket pour l’air
extérieur Text = 275K.
4.8.1- Définir l’efficacité de la PAC.
4.8.2- Calculer l’efficacité de la PAC en régime permanent en fonc-
tion de Tpi`ece et Text température en supposant le cycle réversible
4.9- On tient maintenant compte de la capacité thermique finie de
l’air de la pièce calculée précédemment et l’on souhaite établir la loi
d’évolution de la température Tp(t)sachant que Tp(0) = Text = 275K.
On appelle Pu=δW
dt la puissance mécanique fournie à la PAC supposée
positive et constante.
Pour cela , en considérant un cycle élémentaire , de durée dt , du fluide
de la PAC.
4.9.1- Monter que celui-ci reçoit algébriquement de la pièce sous
forme de chaleur la quantité : δQP→F=−CdTp.
4.9.2- Justifier la présence du signe (-).
4.9.3- En appliquant le premier principe de la thermodynamique
au fluide de la PAC lors du cycle élémentaire, exprimer la chaleur
échangée de l’atmosphère extérieure vers le fluide de la PAC , notée
δQA→F, en fonction de C, dTp, dt, et Pu=δW
dt
4.9.4- Calculer de même pour un cycle élémentaire , l’entropie
d’échange élémentaire δSedu fluide de la PAC avec la pièce et avec
l’atmosphère en fonction de C, dTp, Tp, Text, dt et Pu=δW
dt
4.9.5- En supposant le cycle réversible ; montrer alors que Tp(t)
obéit à l’équation différentielle :
dTp(1
Text
−1
Tp
) = Pudt
CText
4.9.6- En intégrant cette équation différentielle , déterminer la
durée ∆tde chauffage de la pièce pour l’amener de la température
Tp(0) = Text = 275Kà la température finale de Tf= 298K.
4.9.7- Faire l’application numérique pour une puissance Pude la
PAC égale à 500W..
4.10-
4.10.1- Calculer la durée ∆t2si la pièce avait été chauffée par
une résistance de même puissance (500W).
4.10.2- Comparer ∆tet ∆t2Commenter le résultat.
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1 Correction de la détente de l’hydrogène
1.1- Les expressions :
dH =CPdT + (ℓ+V)dP ;dS =CP
TdT +ℓ TdP
1.2- Identités thermodynamiques et équations de Maxwell :
dU =T dS −P dV ∂T
∂V ´S=−∂P ∂S ´V
dH =T dS +V dP ∂V
∂S ´P=∂T ∂P ´S
dF =−SdT −P dV ∂S
∂V ´T=∂P ∂T ´V
dG =−SdT +V dP ∂S
∂P ´T=−∂V ∂T ´P
1.3- On a :
◮dH =CPdT + (ℓ+V)dP =⇒∂CP
∂P ´T=∂ℓ ∂T ´P+∂V ∂T ´P(A)
◮dS =CP
TdT +ℓ TdP =⇒∂CP ∂P ´T+∂ℓ ∂T ´P
−ℓ
T(B)
On tire de (A) et (B) que ℓ=−T∂V
∂T ´P
On remplace ℓpar son expression dans (A) ou (B) on trouve le résul-
tat :∂CP
∂P ´T=−T³∂2V ∂T 2´P
1.4-
1.4.1- Pour nmoles on a :
P=−an2
V2−RT bln(1 −nb V)
1.4.2- On a :
◮lim
P→0
P V
RT = 1 ◮lim
V→∞
P V
RT = 1 Donc à pression faible ou à volume
infini tout gaz réel se comporte comme un gaz parfait
1.4.3- L’expression de
C1(T) = b
2−a RT
1.4.4- L’expression de
C1(T) = RT B1(T)
1.4.5-
B1(T) = 1
RT (b 2−a RT )
1.5- La capacité thermique à pression constante :
Cp=Co−RT ³2dB1
dT +Td2B1 dT 2´P
L’expression du cœfficient ℓ
ℓ=−RT ³1
P+B1(T) + TdB1 dT ´
1.6- Par intégration on obtient :
H(T, P ) = Ho+CoT−RT 2PdB1
dT
S(T, P ) = So+Coln T−Rln P−RP (B1(T) + TdB1
dT )
1.7- On remplace B1(T)par son expression on trouve les résultats
demandés :
H(T, P ) = C0T+³b
2−2a RT ´P+H0
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