1 Convergence simple

Convergence des suites et s´ eries de fonctions
6 octobre 2016
Dans ce qui suit, nous nous int´ eresserons ` a la convergence des suites et s´ eries de fonctions.
Comme on le verra, il n’y a pas UNE bonne notion de convergence pour ces objets math´ ematiques,
mais plusieurs.
Comme de juste, elles seront d’autant moins maniables qu’elles seront plus puissantes. . .
On consid` erera sauf mention contraire des suites de fonctions num´ eriques (` a valeurs r´ eelles ou
complexes, donc) (fn)n∈Ndont chaque terme fnest d´ efini sur une partie Ad’un evn E. La th´ eorie
s’´ etend sans difficult´ e` a un espace d’arriv´ ee de dimension finie : il suffit d’´ etudier les composantes
de l’application pour se ramener au cas pr´ ec´ edent.
Une s´ erie de fonctions est une suite particuli` ere, not´ ee Pfn, la suite sous-jacente ´ etant la suite
des sommes partielles :
x7→sn(x) = f0(x) + . . . +fn(x)
Les fonctions snsont parfaitement d´ efinies l` a o ` u les fnle sont.
Il faut bien conc´ eder qu’une s´ erie de fonctions est un ˆ etre math´ ematique remarquablement abs-
trait.
1 Convergence simple
Si l’on se demande comment d´ efinir la convergence d’une suite (ou s´ erie) de fonctions, l’id´ ee qui
vient le plus naturellement est de consid´ erer la suite (fn)en chaque point : si a∈A, on a une suite
num´ erique (fn(a))n∈N.
Ainsi en tout point xde [0, 1[la suite (xn)tend vers 0.
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D´ EFINITION 1. La suite (fn)converge simplement sur Assi pour tout a∈A, la suite num´ erique
(fn(a)) est convergente.
En d’autres termes, la suite de fonctions converge en chaque point.
Bien entendu, s’il y a convergence simple, ` a chaque point aon peut associer l’unique valeur
lim fn(a). Ce qui d´ efinit une fonction sur A.
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D´ EFINITION 2. La limite simple de la suite de fonctions (simplement convergente) (fn)est la fonc-
tion d´ efinie par
∀a∈A f(a) = lim
n→+∞
fn(a)
On peut aussi d´ efinir la convergence simple de la suite (fn)vers la fonction fpar :
∀ε>0 ∀x∈A∃n0∀n>n0|f(x) − fn(x)|6ε
Par exemple, la suite fn:x7→x/n tend simplement vers la fonction nulle.
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EXERCICE 1. Quelle est la limite simple de la suite de fonctions (xn)sur le segment [0, 1]?
Quelle est la limite simple (on dit la somme) de la s´ erie Pxnsur {z∈C| |z|< 1}?
Remarquer deux choses instructives dans cet ´ enonc´ e d’exercice :
1. L’abus de notation : on ferait mieux d’´ ecrire la suite de fonctions x∈[0, 1]7→xn. Enfin,
c’est l’usage. . .

2. L’abus de langage : il est toujours dangereux de parler d’une limite alors que l’on n’a aucune
garantie quant ` a son existence.
Un troisi` eme ph´ enom` ene m´ erite que l’on s’y attarde : alors que les fonctions de la premi` ere suite
sont des plus r´ eguli` eres (des polynˆ omes !), la limite ne l’est plus du tout (discontinue). En fait,
comme on pourra le voir en exercice, la limite simple n’a aucune raison de conserver les propri´ et´ es
des termes de la suite.
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EXERCICE 2. Est-ce qu’une limite simple de fonctions croissantes reste croissante ? Mˆ eme ques-
tion avec strictement croissantes.
C’est pourquoi nous allons d´ efinir des notions plus compliqu´ ees, mais plus efficaces, de conver-
gence. Elles vont en particulier permettre de conserver par passage ` a la limite des propri´ et´ es
comme la continuit´ e, l’int´ egrabilit´ e, etc. . .
2 La convergence uniforme
2.1 Convergence uniforme d’une suite ou d’une s´ erie de fonctions
En fait, il y a aussi une id´ ee simple derri` ere la notion de convergence uniforme : on veut exprimer
que les fonctions fndeviennent proches de leur limite f. Pour cela, il faut disposer d’une fac¸on
de mesurer la proximit´ e:
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D´ EFINITION 3. La suite de fonctions (fn)converge vers funiform´ ement sur Assi la suite num´ erique
de terme g´ en´ eral
kf−fn||∞=Sup
A
|f−fn|
est d´ efinie ` a partir d’un certain rang, et tend vers 0.
De fac¸on ´ equivalente, si
∀ε>0 ∃n0∀n>n0∀x∈A|f(x) − fn(x)|6ε
Ainsi la suite des x/n converge uniiform´ ement vers 0 sur le segment [0, 1](ou tout autre segment,
ou toute partie born´ ee), puisque sur cet intervalle kfnk∞=1/n →0. En revanche, sur Ron a
kfnk∞= +∞donc il n’y a pas convergence uniforme sur R.
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REMARQUE 1.
— Ceci exprime que les graphes des fndeviennent indiscernables de ceux de fpour n
grand. L’ordinateur ou les calculettes graphiques illustrent bien ce ph´ enom` ene.
— Dans la pratique, il est rare que l’on puisse calculer le sup. Il est suffisant (et logique-
ment ´ equivalent) de donner une majoration de la forme |f(x) − fn(x)|6αn, o ` uαn→0,
et ce uniform´ ement, autrement dit ind´ ependamment de xdans A.
— Dans certains cas (par exemple dans l’espace des fonctions born´ ees sur A) l’application
f7→Sup
A
|f|d´ efinit une norme d’espace vectoriel norm´ e. La convergence uniforme est
exactement la convergence pour cette norme, qu’on appelle donc norme de la conver-
gence uniforme.
— On d´ efinit ci-dessous la convergence uniforme d’une s´ erie de fonctions sur une partie
Apar la convergence uniforme de la suite des sommes partielles.
— La convergence uniforme est autant une propri´ et´ e de la suite de fonctions que de la
partie Ade E: contrairement ` a la convergence simple, ou ` a la notion de continuit´ e, qui
sont des propri´ et´ es ` a´ etablir en chaque point, l’adverbe uniform´ ement signifie que
l’on a affaire ` a une propri´ et´ e li´ ee ` a toute la partie Aprise dans son ensemble. C’est
une propri´ et´ eglobale, et non locale.
— La d´ emarche pratique la plus courante consiste ` a´ etudier la convergence simple, qui
donne une limite ; puis on s’interroge sur l’uniformit´ e de cette convergence, cf. infra.
Exemple :
— La suite des fonctions un:x7→sin(x+1/n)converge uniform´ ement sur Rvers la fonction
sin. En effet, |un(x) − sin x|=|2sin 1
2n cos(x+1 2n )|61 n→0ind´
ependamment de x.
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— La suite des fonctions un:x7→(x+1/n)2converge simplement, mais pas uniform´ ement
sur R, vers la fonction x7→x2. En effet, |un(x) − x2|>2x
nqui n’est pas born´
e sur Ren en
particulier ne tend pas vers 0 ind´ ependamment de x.
— La suite de terme g´ en´ eral un:x7→xn(1−x)converge uniform´ ement vers la fonction nulle
sur le segment [0, 1]. On le v´ erifie (exceptionnellement) en calculant le sup (∼1/ne).
— La s´ erie de terme g´ en´ eral x7→xnln x(pour n>1, et chaque fonction ´ etant prolong´ ee par
continuit´ e en 0) ne converge pas uniform´ ement sur [0, 1]vers x7→xln x
1−x
Pour ce dernier exemple, examinons de plus pr` es deux probl` emes importants : la convergence
uniforme des s´ eries, et le d´ efaut de convergence uniforme. Commenc¸ons par une propri´ et´ e triviale
mais utile :
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PROPOSITION.Si (fn)converge uniform´ ement vers fsur A, alors (fn)converge aussi simplement
vers fsur A.
En d’autres termes, la CU est une propri´ et´ e plus forte que la CS.
Nous en d´ eduisons un crit` ere tr` es simple de non–convergence uniforme : la non–convergence
simple ! si il existe un point a∈Aen lequel la suite (fn(a)) diverge, il ne peut y avoir convergence
uniforme sur A1. Dans la pratique, les choses se passent diff´ eremment : on a tr` es souvent la
convergence simple (ponctuelle) et l’on s’interroge sur l’uniformit´ e de cette convergence (globale).
D’o ` u le crit` ere :
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TH´ EOR ` EME (CRIT ` ERE DE NON CONVERGENCE UNIFORME). Soit la suite (fn)convergeant simple-
ment vers fsur A, elle converge non uniform´ ement sur Assi il existe une suite (xn)de
points de Atelle que (f(xn) − fn(xn)) ne tende pas vers 0.
Dans la pratique, on exhibe souvent une suite telle que |f(xn) − fn(xn)|reste sup´ erieur ` a une quan-
tit´ e fix´ ee.
D´ emonstration. En effet, la conclusion est la n´ egation de sup |f−fn|→0.
Exemple :consid´ erons la suite nxn(1−x)sur [0, 1]. Elle tend clairement vers 0 en tout point (car
xnl’emporte sur le n).
En prenant x=xn=1−1/n, on trouve (1−1/n)n→1/e > 0. Il n’y a donc pas convergence uniforme
(il y a une bosse glissante que l’on peut visualiser par une animation ` a l’ordinateur). Revenons
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a la convergence uniforme d’une s´ erie : puisqu’il faut passer par la convergence simple, on peut
d´ efinir en tout point le reste de la s´ erie (sinon le probl` eme de la CU ne se pose pas).
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TH´ EOR ` EME (CONVERGENCE UNIFORME D’UNE S ´ ERIE).
Soit Pfnune s´ erie de fonctions, qui converge en tout point de Avers f. La convergence est
uniforme si la suite des restes
Rn=f−
n
X
k=0
fk
tend vers 0 uniform´ ement sur A,i.e. si
Sup
A
|
+∞
X
k=n+1
fk|→0
Exemple :La s´ erie (trigonom´ etrique) Psin nx
n2converge uniform´
ement sur R, car :
1. En tout point xil y a convergence absolue de la s´ erie num´ erique : on en d´ eduit la convergence
simple.
1. Plus g´ en´ eralement, la CU sur une partie implique la convergence uniforme sur toute SOUS-partie.
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2. Le reste de la s´ erie est Rn(x) = X
k>n
sin kx
k2et l’on a
|Rn(x)|6X
k>n
sin kx
k2
6X
k>n
1
k261 n
qui tend vers 0 ind´ ependamment de x.
La combinaison des deux derniers th´ eor` emes permettrait de donner (enfin) un crit` ere de non-CU
pour une s´ erie de fonctions (simplement convergente). Revenons au cas de
X
n>1
xnln x, qui converge sur ]0, 1[vers xln x
1−xet vers 0 en 0 et 1.
Le reste est
Rn(x) =
+∞
X
k=n+1
xnln x=xn+1ln x
1−x
et un choix judicieux de x=xnpermet de montrer que ce reste ne tend pas vers 0 uniform´ ement :
il suffit de prendre xn=1−1
net l’on a
Rn(xn) = n1−1
nn+1
ln1−1
n→1 e6=0
Dans la pratique, on peut souvent utiliser un crit` ere plus simple, mais suffisant dans bien des
cas :
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PROPOSITION.S’il existe une suite (xn)dans Atelle que fn(xn)ne tende pas vers 0, il n’y a pas
convergence uniforme de la s´ erie Pfnsur A.
C’est, en quelque sorte, un crit` ere de divergence grossi` ere uniforme .
D´ emonstration. On ´ ecrit que fn=Rn−1−Rn.
2.2 Conservation de la continuit´ e par passage ` a la limite uniforme
Rappelons que la limite simple d’une suite de fonctions continues peut tr` es bien ne plus l’ˆ etre.
D’o ` u l’int´ erˆ et du r´ esultat fondamental suivant :
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TH´ EOR ` EME 3. Soit a∈A. Si la suite (fn)converge vers funiform´ ement sur A, et si chaque fnest
continue en a, alors fest continue en a.
On g´ en´ eralise d’ailleurs ce th´ eor` eme dans deux directions (admis) :
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TH´ EOR ` EME DE LA DOUBLE LIMITE. Soit aadh´ erent ` aA, ou, si A⊂Ret a=±∞est limite
d’´ el´ ements de A, la convergence uniforme sur Ade la suite (fn)permet d’´ ecrire la relation
lim
x→alim n→+∞
fn(x) = lim
n→+∞
lim
x→afn(x)(1)
Dans la d´ emonstration de la forme la plus g´ en´ erale il faudrait ci-dessous remplacer f(a)(resp.
fn(a)) par lim
af(resp. lim afn).
D´ emonstration. On peut toujours ´ ecrire pour x∈Aet n∈N
|f(x) − f(a)|6|f(x) − fn(x)|+|f(a) − fn(a)|+|fn(x) − fn(a)|
Les deux premiers termes seront petits pour ngrand ` a cause de la CU, le dernier pour xproche
de apar continuit´ e de fn. Mais pour cela il faut que nsoit fix´ e. Pr´ ecisons :
Soit ε>0donn´ e, et choisissons un ntel que
∀x∈A|f(x) − fn(x)|6ε/3
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Pour cette valeur de n, utilisons la continuit´ e en ade fn: il existe un α>0tel que
|x−a|6α⇒|fn(x) − fn(a)|6ε/3
En recollant tout cela, on obtient |x−a|6α⇒|f(x) − f(a)|6ε.
On peut utiliser ce thm pour prouver la NON–CU : si la limite (simple) est discontinue alors que
les fnsont continues, c’est que le convergence n’est pas uniforme.
Exemple :la s´ erie (Pxnln x)converge vers 0 pour x=1, mais sa somme sur ]0, 1[est xln x
1−xqui tend
vers -1 en 1. C’est bien plus simple que l’argument donn´ e plus haut pour ´ etablir la non–uniformit´ e
de la convergence sur [0, 1]. Quelques propri´ et´ es voisines du th´ eor` eme :
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COROLLAIRE 1.
— Si la suite (fn)converge vers funiform´ ement sur A, et si chaque fnest continue sur
A, alors fest continue sur A.
— Si la suite (fn)converge vers funiform´ ement sur un voisinage de chaque point de A,
et si chaque fnest continue sur A, alors fest continue sur A.
— Si la s´ erie (Pfn)converge uniform´ ement sur (un voisinage de tout point de) A, et si
chaque fnest continue sur A, alors la somme de la s´ erie est continue sur A.
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REMARQUE 2. On voit bien ici la diff´ erence entre les propri´ et´ es globales et locales. La continuit´ e
est une propri´ et´ e locale : il nous suffit donc de pouvoir l’´ etablir en chaque point, et ce ` a l’aide
de la convergence uniforme, propri´ et´ e globale, que l’on ´ etablit sur une partie.
Revenons ` a l’evn F=B(A)des applications born´ ees sur A, muni de la norme de la CU. Supposons
de plus Acompacte (dans E) : alors toute application continue sur Aest born´ ee. Nous venons
de montrer que la limite uniforme d’une suite d’applications continues (et donc born´ ees) reste
continue (et born´ ee ! ! !). Ce qui exprime une stabilit´ e par passage ` a la limite dans l’evn F
F
F. En
d’autres termes, un peu abstraits mais concis :
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PROPOSITION.Dans F=B(A), o ` uAest un compact de E, le sous-espace vectoriel des applications
continues est ferm´ e pour la norme de la convergence uniforme.
Mˆ eme si cela paraˆ ıt bien compliqu´ e, ce n’est qu’une paraphrase des r´ esultats ci-dessus.
Un cas particulier tr` es important :
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TH´ EOR ` EME DE WEIERSTRASS. Tout application continue sur un segment est limite uniforme d’une
suite de polynˆ omes.
Pour paraphraser la proposition pr´ ec´ edente : le sev des fonctions polynˆ omes est dense dans l’evn
C0([a, b],R)muni de la norme k k∞.
La longue d´ emonstration de ce th´ eor` eme est hors-programme. Nous la ferons en exercice. . . de
probabilit´ es. Il existe une variante de ce th´ eor` eme avec des polynˆ omes trigonom´ etriques.
`
A rapprocher de ce paragraphe : la section sur les th´ eor` emes d’int´ egration et de d´ erivation de
limites de suites (ou s´ eries) de fonctions (cf. infra).
3 Convergence normale d’une s´ erie de fonctions
On l’a vu, il n’est pas tr` es facile de prouver la convergence uniforme : pour l’instant, dans le cas
— fr´ equent — d’une s´ erie de fonctions, il nous faut v´ erifier la convergence simple, puis calculer
et majorer le reste. C’est souvent impossible. Heureusement, il est possible de donner des condi-
tions suffisantes bien plus simples. Comme de juste, ces conditions suffisantes ne seront pas
n´ ecessaires (attention donc).
Revenons sur l’exemple de la s´ erie Psin nx
n2. Nous avions ´
etabli la convergence normale en majorant
le reste ind´ ependamment de x:
|Rp(x)|=|X
n>p
sin nx
n2|6X
n>p
|sin nx
n2|6X
n>p
1
n2=Tp
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