Primitives et intégrales

DOCUMENT 37
Primitives et intégrales
On désigne par I un intervalle de R non vide et non réduit à un point.
1. Primitives d’une fonction
Définition 37.1. On dit qu’une fonction f : I → R possde une primitive sur I, ou est
primitivable sur I, s’il existe une fonction F : I → R dérivable sur I et telle que, pour tout
x ∈ I, F 0 (x) = f (x). Toute fonction F dérivable sur I et telle que F 0 = f est appele une
primitive de f sur I.
On désignera parfois par PR(I) l’ensemble des applications de I dans R primitivables.
Proposition 37.1. Soit f une fonction primitivable sur I.
(1) Si F est une primitive de f sur I alors la fonction G : I → R est une primitve de f
sur I si et seulement si G − F est constante sur I.
(2) Pour chaque x0 ∈ I et chaque c ∈ R il existe une unique primitive F de f telle que
F (x0 ) = c.
Preuve. 1) Si G − F est constante sur I alors la relation G = (G − F ) + F entraine que G
est dérivable sur I et pour tout x ∈ I,
G0 (x) = F 0 (x) + (G − F )0 (x) = F 0 (x) = f (x).
La fonction G est donc bien une primitive de f sur I.
Réciproquement, si G est une primitive de f sur I alors, pour tout x ∈ I,
(G − F )0 (x) = G0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0
et, I étant un intervalle, G − F est constante sur I.
2) Soit F une primitive de f sur I. Pour toute primitive G de f il existe λ ∈ R tel que
G = F + λ et
G(x0 ) = c ⇔ F (x0 ) + λ = c ⇔ λ = c − F (x0 )
ce qui montre que G : I → R définie par G(x) = F (x) − F (x0 ) + c est l’unique primitive de f
prenant la valeur c en x0 .
Remarque. 1). Si I n’est pas un intervalle les affirmations 1. et 2. de la proposition précédente
peuvent être fausses. Par exemple, les fonctions F et G de R∗ dans R définies par F (x) = ln |x|,
G(x) = ln |2x| si x < 0 et G(x) = F (x) si x > 0 sont dérivables sur R∗ et, pour tout x 6= 0,
1
1
mais la
F 0 (x) = G0 (x) = . Les fonctions F et G sont donc des primitives sur R∗ de x →
x
x
fonction G − F n’est pas constante sur R∗ et F (1) = G(1) = 0.
2) Toute fonction définie sur I n’est pas primitivable. En effet, les fonctions dérives vérifient
le théorème des valeurs intermédiaires (voir le document 26). La satisfaction de ce théorème est
donc une condition nécessaire pour posséder une primitive et si f (I) n’est pas un intervalle alors
401
402
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
on est certain que f n’a pas de primitive sur I. Par exemple, la fonction partie entière n’est pas
primitivable sur R.
Il existe des fonctions vérifiant le théorème des valeurs intermédiaires et qui ne sont pas des
fonctions dérivées. Dans le document 27, on construit une fonction définie sur [0, 1], satisfaisnt
ce théorème et continue en aucun point. Cette fonction n’est pas une dérivée car si une dérivée
est définie sur un intervalle alors l’ensemble des points où elle est continue est dense dans son
intervalle de définition (Document 26).
3) Il existe des fonctions primitivables non continues et même non bornées au voisinage d’un
point. Par exemple, soit f : R → R définie par
1
F (x) = x2 sin 2 si x 6= 0 et F (0) = 0.
x
Cette fonction est dérivable sur R et
1
2
1
F 0 (x) = 2x sin 2 − cos 2 si x 6= 0 et F 0 (0) = 0.
x
x
x
La fonction f = F 0 estZprimitivable sur R et n’est bornée sur aucun voisinage de 0.
4) On désigne par
f (x)dx l’ensemble des primitives de f mais ce symbole désigne parfois
une primitive de f d’où une certaine ambiguité de cette notation.
Proposition 37.2. Pour tout intervalle I, PR(I) est un espace vectoriel sur R.
Preuve évidente.
Ce résultat permet de trouver des primitives par combinaison linéaire de fonctions élémentaires
primitivables. On obtient ces dernières fonctions en lisant de droite à gauche un tableau don1
nant les dérivées usuelles. Par exemple une primitive sur R∗ de x → 2 sin x + 3 + 4 est
x
x → −2 cos x + 3 ln |x| + 4x et toute fonction polynôme est primitivable.
Remarque. Si PR(I) est bien un sous espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions
définies sur I, en revanche ce n’est pas une sous algèbre. En d’autres termes, un produit de
fonctions dérivées n’est pas nécessairement une fonction dérivée.
1
Exemple. Soit f et g de R dans R définies par f (0) = g(0) = 0 et, pour x 6= 0, f (x) = x2 sin ,
x
1
2
0
0
g(x) = x cos . Les fonctions f et g sont dérivables sur R avec f (0) = g (0) = 0 et, pour
x
1
1
1
1
x 6= 0, f 0 (x) = 2x sin + cos , g 0 (x) = 2x cos − sin . Si h : R → R est définie par
x
x
x
x
h(x) = f 0 (x)2 + g 0 (x)2 − 4x2 alors h(0) = 0 et h(x) = 1 pour x 6= 0. Cette fonction h n’est donc
pas primitivable et donc au moins l’une des fonctions (sans doute les deux) (f 0 )2 ou (g 0 )2 n’est
pas une fonction dérivée.
2. Primitives et intégrale d’une fonction continue
2.1. Définition et propriétés. Nous avons vu que toute fonction admettant une primitive
sur un intervalle vérifie le théorème des valeurs intermédiaires et l’on sait que ce théorème est
satisfait par les fonctions continues. Nous admettrons le théorème suivant dont différentes
preuves seront vues dans la partie ”Compléments ” de ce document.
Théorème 37.1. Toute fonction continue sur un intervalle I possde des primitives sur I.
2. PRIMITIVES ET INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE
403
Lemme 37.1. Soit f une fonction primitivable sur I et a et b deux éléments de cet intervalle.
Le nombre rel F (b) − F (a) est indépendant de la primitive F de f .
Preuve. C’est une conséquence immédiate de la proposition 37.1
Définition 37.2. Soit f une fonction ayant une primitive F sur I et a, b ∈ I. Le nombre
réel F (b) − F (a) est appelé intégrale entre a et b de f et on note
Z b
f (x)dx .
F (b) − F (a) =
a
Z
b
f (x)dx la variable x est muette et peut être remplacée
Z b
Z b
f (t)dt =
f (x)dx =
par toute autre variable sans occurrence dans f . On a par exemple
a
a
Z b
f (u)du.
a
Z a
Z b
Z a
2) Il résulte immédiatement de la définition que
f (x)dx = 0 et
f (x)dx = −
f (x)dx.
Remarques. 1) Dans la notation
a
a
a
b
Proposition 37.3. Soit f une fonction ayant une primitive F sur I et a ∈ I. La fonction
G de I dans R définie par
Z x
G(x) =
f (t)dt
a
est dérivable sur I et est la primitive de f prenant la valeur 0 au point a.
Preuve. On a G(x) = F (x) − F (a) d’où la dérivabilité de G sur I avec G0 (x) = F 0 (x) = f (x).
De plus G(a) = F (a) − F (a) = 0.
Remarque. Si on remplace la notion d’intégrale introduite ici par celle d’intégrale de Riemann
alors on est certain que G est dérivable en x0 ∈ I seulement si f est continue en x0 et on a alors
G0 (x0 ) = f (x0 ). Par
Z exemple la fonction partie entière de x est intégrable au sens de Riemann
x
sur R mais x →
E(t)dt est seulement dérivable sur R − Z et cette fonction n’est donc pas
0
une primitive de la fonction partie entière (qui n’est pas primitivable sur R).
Dans la suite, nous allons étudier les propriétés de l’intégrale d’une fonction continue mais de nombreux résultats s’étendent facilement au cas des fonctions primitivables. On
désignera par C 0 (I, R) l’espace vectoriel réel des fonctions continues sur I.
Proposition 37.4. (La relation de Chasles) Soit a, b et c trois éléments de I et f une
fonction continue sur I. On a
Z b
Z c
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
a
a
c
Preuve. Soit F une primitive de f sur I. L’égalité cherchée est une autre façon d’écrire
F (b) − F (a) = F (b) − F (c) + F (c) − F (a).
404
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
Proposition 37.5. (Linéarité de l’intégrale) Soit f et g deux fonctions continues sur I.
Pour tout (λ, µ) ∈ R2 et tout (a, b) ∈ I 2
Z b
Z b
Z b
g(x)dx.
f (x)dx + µ
(λf (x) + µg(x))dx = λ
a
a
a
Preuve. On utilise la définition de l’intégrale et le fait que si F et G sont des primitives de
f et g sur I alors λF + µG est une primitive de λf + µg.
Proposition 37.6. (Positivité de l’intégrale) Soit f une fonction continue et positive sur
Z b
Z b
I = [a, b]. Si a < b alors
f (x)dx ≥ 0 et
f (x)dx = 0 si et seulement si f est identiquement
a
a
nulle sur [a, b].
Preuve. Soit F une primitive de f sur I. Comme la fonction f est positive, F est croissante
Z b
f (x)dx ≥ 0.
et a < b implique F (a) ≤ F (b) d’où
a
Z b
Si
f (x)dx = 0 alors F (a) = F (b) et la fonction F étant croissante, elle est constante sur
a
[a, b] et sa dérivée f est identiquement nulle. La réciproque est évidente.
Remarques. 1) La proposition est encore vraie si f n’est pas continue. Si on considère
l’intégrale au sens de Riemann, la première affirmation de la proposition
est toujours vraie mais
Z
1
la seconde peut être fausse si f n’est pas continue. Par exemple,
E(x)dx = 0 et la fonction
0
partie entière n’est pas identiquement nulle sur [0, 1]. Cependant, si on considére l’intégrale de
Riemann d’une fonction ayant une primitive alors on peut faire la même démonstration qu’ici
et le résultat est donc vrai.
Z
b
2) On peut résumer les deux propositions précédentes en disant que f →
f (x)dx est une
a
forme linéaire positive sur C 0 (I, R).
Corollaire 37.1. Soit f et g deux fonctions continues sur I = [a, b]. Si pour tout x ∈ [a, b],
f (x) ≤ g(x) alors
Z b
Z b
f (x)dx ≤
g(x)dx,
a
a
l’inégalité stricte ayant lieu si et seulement si il existe x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) < g(x0 ).
Preuve. Il suffit d’appliquer la proposition 37.6 à la fonction continue et positive h = g − f .
Corollaire 37.2. L’application
(f, g) ∈ C 0 (I, R)2 → hf |gi =
Z
b
f (x)g(x)dx
a
est un produit scalaire sur C 0 (I, R).
Peuve. En utilisant la proposition 37.5 on voit que (f, g) → hf |gi est une forme bilinéaire
qui est évidemment symétrique. La proposition 37.6 entraine qu’elle est de plus définie positive.
2. PRIMITIVES ET INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE
405
Remarque. On peut déduire du corollaire précédent l’inégalité de Cauchy-Schwarz qui est
vérifiée par toute forme bilinéaire symétrique et positive :
Si f et g sont continue sur [a, b] alors
Z b
Z b
Z b
1
1
f (x)2 dx) 2 (
f (x)g(x)dx| ≤ (
|
g(x)2 dx) 2 ,
a
a
a
l’égalité ayant lieu si et seulement si il existe λ ∈ R tel que f = λg.
1
On déduit de ce résultat un cas particulier (p = q = ) de l’inégalité de Minkowski
2
Z b
Z b
Z b
1
1
1
2
2
f (x) dx) 2 + (
g(x)2 dx) 2 .
( (f (x) + g(x)) dx) 2 ≤ (
a
a
a
(Pour la preuve, partir de (f + g)2 = f 2 + g 2 + 2f g.)
Une preuve directe de l’inégalité de Cauchy-Schwarz se trouve dans le document du fascicule
1 consacré au trinôme du second degré.
Corollaire 37.3. (L’inégalité des accroissements finis) Soit f une fonction dérivable sur
[a, b] avec a < b. S’il existe (m, M ) ∈ R2 tel que
m ≤ f 0 (x) ≤ M
alors
m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a).
Preuve. Il suffit d’appliquer le corollaire 37.1.
Exercice. Etudier la suite (In ) définie pour n > 0 par
Z π
2
1
(sin x) n dx.
In =
0
1
1
π
Si x ∈ [0, ] alors 0 ≤ sin x ≤ 1 et 0 ≤ (sin x) n ≤ (sin x) n+1 ≤ 1. Le corollaire 37.1 entraine
2
π
que 0 ≤ In ≤ In+1 ≤ . La suite croissante et majorée In est donc convergente.
2
1
2 1
2
On a x ≤ sin x (voir Document 33) d’où ( x) n ≤ (sin x) n et donc
π
π
Z π
2 2
1
( x) n dx ≤ In .
π
0
n+1
π
2 1
2 1 n
Une primitive sur [0, ] de x → ( x) n est ( ) n
x n et
2
π
π n+1
Z π
2 2
1
2 1 n π n+1
n π
( x) n dx = ( ) n
( ) n =
π
π n+1 2
n+12
0
n π
π
π
d’où
≤ In ≤ et lim In = .
n→∞
n+12
2
2
Remarques. 1). Attention ! La preuve de la proposition 37.6 utilise le fait qu’une fonction
ayant une dérivée positive sur un intervalle est croissante sur cet intervalle. La preuve très
élémentaire de l’inégalité des accroissements finis donnée ici suppose donc aussi ce résultat alors
que souvent il est démontré en utilisant l’égalité ou l’inégalité des accroissements finis. On peut
406
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
aussi remarquer que l’égalité des accroissements finis a aussi été utilisée pour montrer que deux
primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
Si on utilise l’intégration au sens de Riemann alors la preuve de la proposition 37.6 est très
simple et n’utilise pas l’inégalité des accroissements finis mais toutes les fonctions dérivées ne
sont pas intégrables au sens de Riemann.
2). Comme pour la proposition 37.6 on ne peut pas supprimer l’hypothèse de continuité
dans le corollaire 37.1 si l’on veut que la seconde affirmation soit toujours vraie avec l’intégrale
au sens de Riemann.
Corollaire 37.4. Soit f une fonction continue sur I = [a, b]. On a
Z b
Z b
|f (x)|dx .
f (x)dx| ≤
|
a
a
Preuve. Si f est continue sur [a, b] alors |f | l’est aussi et, pour tout x ∈ (a, b], −|f (x)| ≤
f (x) ≤ |f (x)|. Le corollaire 37.1 termine la preuve.
Proposition 37.7. (Inégalité et égalité de la moyenne) Soit f et g deux fonctions continues
sur I = [a, b], la fonction f étant positive. Si m = inf x∈I g(x) et M = supx∈I g(x) alors
(1)
Z b
Z b
Z b
f (x)dx ≤
f (x)g(x)dx ≤ M
f (x)dx
m
a
a
a
et
(2) il existe c ∈ [a, b] tel que
Z b
b
Z
f (x)g(x)dx = g(c)
a
f (x)dx.
a
Preuve. 1). On a pour tout x ∈ I, m ≤ g(x) ≤ M d’où, la fonction f étant positive sur I,
m f (x) ≤ f (x)g(x) ≤ M f (x). L’ application du corollaire 37.1 achève la preuve de la double
inégalité.
Z b
2). Le résultat est évident si f est identiquement nulle sur I. Sinon
f (x)dx > 0 et donc
a
Z
m≤
b
Z
f (x)dx ≤ M.
f (x)g(x)dx /
a
b
a
Le théorème des valeurs intermédiaires entraine l’existence d’un c ∈ [a, b] tel que
Z b
Z b
g(c) =
f (x)g(x)dx/
f (x)dx.
a
a
Remarques. 1). La double inégalité de la proposition précédente reste vraie si m est un
minorant et M un majorant de f sur I.
2). Si f est négative alors l’application à −f de la première partie de la proposition conduit
à :
Z b
Z b
Z b
M
f (x)dx ≤
f (x)g(x)dx ≤ m
f (x)dx
a
a
et l’égalité de la moyenne est encore vraie.
a
2. PRIMITIVES ET INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE
407
En prenant dans la proposition précédente, f égale à la fonction constante de valeur 1, on
obtient le corollaire suivant dont on pourra donner une interprétation géométrique après avoir
interprété l’intégrale en terme d’aire.
Corollaire 37.5. Soit g une fonction continue sur I = [a, b], a < b. Si m = inf x∈I g(x) et
M = supx∈I g(x) alors
(1)
Z b
m(b − a) ≤
g(x)dx ≤ M (b − a)
a
et
(2) il existe c ∈ [a, b] tel que
Z
b
g(x)dx = (b − a)g(c).
a
Z
Remarques. 1) Si on explicite
b
g(x)dx à l’aide d’une primitive de g, on voit que l’affirmation
a
1. n’est rien d’autre que l’inégalité des accroissements finis.
2) L’égalité de la moyenne et le corollaire précédent ont des interprétations graphiques bien
connues. Il est difficile de les placer ici car on n’a pas encore donné l’interprétation géométrique
de l’intégrale.
2.2. Intégration par parties.
Proposition 37.8. Soit u et v deux fonctions ayant des dérivées continues sur I = [a, b].
On a :
Z b
Z b
0
b
u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]a −
u(x)v 0 (x)dx.
a
a
(en désignant par [u(x)v(x)]ba la quantité u(b)v(b) − u(a)v(a).
Preuve. La fonction produit uv est dérivable sur I et (uv)0 = u0 v + u v 0 , ce qui entraine
en particulier la continuité de la fonction (uv)0 sur I. Les trois fonctions, (uv)0 , u0 v et u v 0 ,
sont donc continues sur I et la proposition 37.5 entraine qu’une primitive de u0 v est obtenue en
faisant la différence entre une primitive de uv et une primitive de u v 0 . On peut donc écrire :
Z b
Z b
0
u (x)v(x)dx =
([u(x)v(x)]0 − u(x)v 0 (x))dx
a
a
Z
b
Z
0
([u(x)v(x)] dx −
=
a
= [u(x)v(x)]ba −
b
u(x)v 0 (x))dx
a
Z
b
u(x)v 0 (x)dx
a
Z
Remarque. En général, on utilise la proposition précédente pour calculer
a
b
u0 (x)v(x)dx et
il est parfois intéressant de prendre pour fonction u la primitive de u0 nulle en a ou en b. Par
exemple :
Z b
Z b
(x − a)2
(x − a)2
(a − b)3
b
(x − b)]a −
dx =
(x − a)(x − b)dx = [
2
2
6
a
a
408
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
si on prend u(x) =
(x − a)2
x2
et non pas u(x) =
− ax.
2
2
Exercice (Second théorème de la moyenne) Soit f une fonction continue sur [a, b], g une
fonction de classe C 1 sur [a, b], décroissante et positive. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que
Z b
Z c
Z b
f (x)dx.
f (x)dx + g(b)
f (x)g(x)dx = g(a)
c
a
a
Solution. Soit F la primitive de f sur [a, b] telle que F (a) = 0. Par intégration par parties on
a:
b
Z
0
F (x)g (x)dx =
[F (x)g(x)]ba
b
Z
Z
f (x)g(x)dx = F (b)g(b) −
−
f (x)g(x)dx,
a
a
a
b
d’où
Z
b
Z
f (x)g(x)dx = F (b)g(b) −
a
b
F (x)g 0 (x)dx
a
Z
= F (b)g(b) − F (c)
b
g 0 (x)dx = F (b)g(b) − F (c)(g(b) − g(a))
a
avec c ∈ [a, b] par application de l’égalité de la moyenne car g 0 est négative sur [a, b]. En
remarquant que
F (b)g(b) − F (c)(g(b) − g(a)) = F (b)g(b) − F (a)g(a) − F (c)(g(b) − g(a))
Z b
Z c
= g(a)
f (x)dx + g(b)
f (x)dx
a
c
on obtient le résultat cherché.
Question. Avec des hypothèses plus faibles, on peut montrer dans le cas de l’intégration au sens
de Riemann qu’il existe d ∈ [a, b] tel que
Z
b
Z
f (x)g(x)dx = g(a)
a
d
f (x)dx.
a
Existe-t-il une démonstration simple de ce résultat avec les hypothèses ci-dessus ?
2.3. Changement de variables.
Proposition 37.9. Soit ϕ une fonction de classe C 1 sur un intervalle [a, b], f une application
continue sur ϕ([a, b]). On a
Z b
Z ϕ(b)
0
f (ϕ(x))ϕ (x)dx =
f (x)dx
a
ϕ(a)
Preuve. Soit F une primitive de f sur ϕ([a, b]). La fonction composée F ◦ ϕ est dérivable
sur [a, b] et (F ◦ ϕ)0 = ϕ0 (f ◦ ϕ). La fonction F ◦ ϕ est donc une primitive de l’application
g = (f ◦ ϕ).ϕ0 continue sur [a, b]. On a
Z b
Z b
Z ϕ(b)
0
b
g(x)dx =
f (ϕ(x))ϕ (x)dx = [F ◦ ϕ]a = F (ϕ(b)) − F (ϕ(a)) =
f (x)dx
a
a
car f est continue sur [ϕ(a), ϕ(b)] ⊂ ϕ([a, b]).
ϕ(a)
2. PRIMITIVES ET INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE
409
En général, on applique la proposition précédente sous la forme suivante.
Corollaire 37.6. Soit f une fonction continue sur [a, b] et ϕ une fonction de classe C 1 sur
un intervalle [α, β] tel que ϕ(α) = a, ϕ(β) = b et ϕ([α, β]) = [a, b] . On a :
Z b
Z β
0
f (x)dx.
f (ϕ(x))ϕ (x)dx =
a
α
L’hypothèse ϕ([α, β]) = √
[a, b] n’est pas à négliger comme le montre l’exemple suivant.
√
Z 2
dx
2
π
2
p
Soit à calculer I =
(qui vaut arcsin
= ). Si l’on prend ϕ définie
2
4
0
1 − x2
Z 9π
Z π
4 cos t
4
cos t
dt mais pas I =
dt car la fonction
par ϕ(t) = sin t alors on à bien I =
| cos t|
0 cos t
0
cos t
t→
n’est pas définie sur [0, 9π
4 ].
| cos t|
En pratique, ce problème se pose rarement car l’application ϕ est le plus souvent bijective
et on utilise alors le résultat suivant.
Corollaire 37.7. Soit f une fonction continue sur [a, b] et ϕ une bijection de classe C 1 sur
le segment de bornes ϕ−1 (a) et ϕ−1 (b). On a :
Z
ϕ−1 (b)
f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx =
Z
b
f (x)dx.
ϕ−1 (a)
a
Le changement de variables permet de donner une propriété des intégrales des fonctions
paires ou impaires ainsi que des fonctions périodiques.
Corollaire 37.8.
(1) Soit f une fonction continue sur R. Si f possède une période
T alors pour tout x0 ∈ R,
Z x0 +T
Z T
f (x)dx =
f (x)dx.
x0
0
(2) Soit g une fonction continue sur I = [−a, a], a > 0. Si g est paire alors
Z a
Z a
g(x)dx = 2
g(x)dx
−a
0
et si g est impaire
Z
a
g(x)dx = 0.
−a
Preuve. Pour 1. utiliser la relation de Chasles etZ le changement
Z 0de variables
Z adéfinie par
a
ϕ(x) = x + T . Pour 2. on a par la relation de Chasles
g(x)dx =
g(x)dx +
g(x)dx et
−a
le changement de variables ϕ(x) = −x achève la preuve.
−a
0
410
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
3. Applications
1) Définition de nouvelles fonctions.
La fonction logarithme népérien peut être définie sur R∗+ comme la primitive de la fonction
1
continue t → nulle au point 1 :
t
Z x
dt
ln x =
.
1 t
1
nulle en 0 :
On peut aussi définir la fonction arctan sur R comme primitive de T →
1 + t2
Z x
dt
arctan x =
.
1
+
t2
0
π π
La fonction ainsi obtenue est une bijection de R sur ] − , [ ce qui permet, en utilisant la
2 2
π π
théorie des fonctions réciproques d’avoir la fonction tangente sur ] − , [. Voir le document 28
2 2
pour plus de détails.
Il faut remarquer que ces définitions utilisent un résultat non trivial : toute fonction continue
sur un intervalle possède une primitive.
2) Calcul d’aires et de volume.
Ce point est abordé dans la partie Compléments
4. Calcul pratique d’intégrales et de primitives
Le calcul pratique des intégrales et des primitives utilise essentiellement des intégrations
par parties et des changements de variables. Souvent on se ramène au calcul d’une primitive
d’une fraction rationnelle et on verra dans la partie compléments comment déterminer ce type
de primitive.
Remarquons l’emploi un peu abusif du mot calcul car si f est une fonction continue sur
Z x
Z b
[a, b], x ∈ [a, b] →
f (t)dt est une fonction bien définie et
f (x)dx un nombre réel bien
a
a
Z x
déterminé. Le problème précis est plutôt de donner une expression de x ∈ [a, b] →
f (t)dt à
a
Z b
l’aide des fonctions élémentaires et d’écrire
f (x)dx en base 10 ou en utilisant des fractions,
a
Z −10
dx
= ln 2
des radicaux, e, π,... On pourra aussi réfléchir à la signification du ”calcul”
x+2
−6
Z 2
dx
sachant que ln 2 est définie par
.
1 x
4.1. Utilisation de l’intégration par parties. Si, sur I = [a, b], u0 est la dérivée continue
d’une fonction u et si v a une dérivée continue alors
Z b
Z b
0
b
u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]a −
u(x)v 0 (x)dx.
a
a
4. CALCUL PRATIQUE D’INTéGRALES ET DE PRIMITIVES
On a aussi
Z
Z
0
u (x)v(x)dx = u(x)v(x) −
411
u(x)v 0 (x)dx,
ce qui signifie que les primitives sur I de x → u0 (x)v(x) sont obtenues en ajoutant à x → u(x)v(x)
une primitive quelconque de x → −u(x)v 0 (x)
On utilise en particulier l’intégration par parties lorsque la fonction f se présente sous la
forme f (x) = g(x)h(x), la fonction g étant la dérivée continue d’une fonction u connue et la
fonction h ayant une dérivée continue h0 ”plus simple” que h.
Z
Exemple 1. Calculer x2 sin xdx.
Avec u0 (x) = sin x et v(x) = x2 on obtient :
Z
Z
2
2
x sin xdx = −x cos x + 2x cos xdx.
et une seconde intégration par parties donne :
Z
x2 sin xdx = −x2 cos x + 2x sin x − 2
Z
sin xdx = −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x.
Z
Z
Z
Par une méthode semblable, on peut calculer
P (x) cos xdx,
P (x) sin xdx,
P (x)ex dx, où
P est une fonction polynôme.
Par exemple, si P est un polynôme de degré p et m ∈ R∗ alors
Z
1
1
1
P (x)emx dx = emx [ P (x) − 2 P 0 (x) + . . . + (−1)p p+1 P (p) (x)].
m
m
m
Exemple 2.
Si f possède sur I une dérive continue alors l’intégration par parties avec u0 (x) = 1 et
v(x) = f (x) donne
Z
Z
xf 0 (x)dx
f (x)dx = xf (x) −
ce qui peut être intéressant si l’on sait calculer une primitive de x → xf 0 (x).
Par exemple, sur I = R∗+ ,
Z
Z
ln xdx = x ln x − dx = x ln x − x.
Z
Z
Z p
1 + ax2 dx,
arccos xdx,
arctan xdx,... avec chaque fois
On explicite de la même façon
un intervalle I à préciser.
Exemple 3.
L’intégration par parties permet parfois d’obtenir une relation de récurrence pour le calcul
du terme général d’une suite d’intégrales. On trouve dans tout livre pour le DEUG ou les Classes
Préparatoires le calcul des intégrales de Wallis
Z π
Z π
2
2
In =
cosn xdx =
sinn xdx.
0
0
π
(Faire le changement de variable t = − x pour constater l’égalité des deux intégrales.)
2
412
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
Considérons ici, pour n > 0,
un =
1
n!
1
Z
(1 − x)n ex dx.
0
On a facilement u1 = e − 2 et par une intégration par parties, avec u0 (x) =
v(x) = ex ,
(1 − x)n+1 x 1
e ]0 +
un = [−
(n + 1)!
1
Z
1
(1 − x)n et
n!
(1 − x)n+1 x
1
e dx =
+ un+1 .
(n + 1)!
(n + 1)!
0
Par une récurrence immédiate, un+1 = e − 1 −
n+1
X
p=1
1
.
p!
Déduisons une conséquence intéressante de cette relation. Sur [0, 1],
0≤
1
1
(1 − x)n ex ≤ ex
n!
n!
d’où
1
0 ≤ un ≤
n!
1
Z
ex dx =
0
e−1
e
≤
n!
n!
et donc
n
X
1
e = lim
.
n→∞
p!
p=0
Exemple 4.
Pour le calcul des primitives des fractions rationnelles, il est utile de connaitre pour n > 0,
Z
dx
In =
.
(1 + x2 )n
On a I1 = arctan x et une intégration par parties conduit à
Z
x
x2
In =
+
2n
dx
(1 + x2 )n
(1 + x2 )n+1
d’où
2nIn+1 =
x
+ (2n − 1)In
(1 + x2 )n
si on remarque que
x2
1
1
=
−
.
(1 + x2 )n+1
(1 + x2 )n (1 + x2 )n+1
Si maintenant on considère
Z
dx
(1 − x2 )n
sur un intervalle I ⊂] − 1, 1[ alors on peut montrer que cette suite vérifie la même relation de
récurrence que (In ) (mais I1 6= J1 !).
Jn =
Exemple 5. Intégration par parties itérée.
4. CALCUL PRATIQUE D’INTéGRALES ET DE PRIMITIVES
413
Si u et v sont de classe C n , n ≥ 1, sur I alors on a
Z
Z
n−1
X
(n)
k (n−k−1)
(k)
n
u (x)v(x)dx =
(−1) u
(x)v (x) + (−1)
u(x)v (n) (x)dx.
k=0
Pour la preuve, on écrit les k égalités, 0 ≤ k ≤ n − 1,
Z
Z
u(n−k) (x)v (k) (x) = u(n−k−1) (x)v (k) (x) − u(n−k−1) (x)v (k+1) (x)dx.
Ensuite on calcule
n−1
XZ
u(n−k) (x)v (k) (x)dx et après un changement d’indice et une simplifica-
k=0
tion on obtient la formule cherchée.
Exemple 6. La formule de Taylor avec reste intégral.
C’est une application classique de l’intégration par parties, voir l’exposé concernant les
formules de Taylor.
Une autre application est la majoration de l’erreur dans le calcul approché de l’intégrale
d’une fonction de classe C 2 par la méthode des trapèzes. On utilise une double intégration par
parties qui montre que pour une fonction h de classe C 2 sur [a, b]
Z b
Z b
00
(x − a)(x − b)h (x)dx = 2
h(x)dx.
a
a
4.2. Utilisation du changement de variables. Rappelons le résultat théorique justifiant
le changement de variables.
Soit ϕ une fonction de classe C 1 sur un intervalle [a, b], f une application continue sur
ϕ([a, b]). On a
Z b
Z ϕ(b)
0
f (ϕ(x))ϕ (x)dx =
f (x)dx.
a
ϕ(a)
Cette égalité permet de calculer l’une des intégrale connaissant l’autre et en pratique on
rencontre donc deux cas.
Z b
Cas 1. On veut calculer
g(x)dx ou une primitive de la fonction g sur I = [a, b] et on
a
remarque que pour une fonction ϕ de classe C 1 sur I on peut écrire g(x) = f (ϕ(x))ϕ0 (x) avec
une fonction f continue sur ϕ(I). Si F est une primitive de f sur ϕ(I), on a donc
Z b
Z b
Z ϕ(b)
g(x)dx =
f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx =
f (x)dx = F (ϕ(b)) − F (ϕ(a)).
a
a
ϕ(a)
Pour tout x ∈ I, on peut aussi écrire :
Z x
Z x
Z
g(t)dt =
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt =
a
a
ϕ(x)
f (t)dt = F (ϕ(x)) − F (ϕ(a)).
ϕ(a)
Une primitive de g sur I est donc F ◦ ϕ.
Illustrons cela par un exemple simple en utilisant les notations usuelles. Soit à calculer
Z π
2
cos3 xdx.
0
414
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
On a cos3 x = (1 − sin2 x) cos x d’où
Z π
Z π
Z 1
2
2
u3
2
3
2
(1 − u2 )du = [u − ]10 =
cos xdx =
(1 − sin x) cos xdx =
3
3
0
0
0
en ayant posé u = sin x et remplacé cos xdx par du. On peut aussi dire que sur tout intervalle
sin3 x
.
de R, une primitive de x → cos3 x est la fonction x → sin x −
3
Z b
Cas 2. On veut calculer
g(x)dx ou une primitive de la fonction g sur I = [a, b] et on
a
remarque qu’il existe une fonction ϕ ayant les deux propriétés
(1) ϕ est de classe C 1 sur [α, β] (ou [β, α]) , avec ϕ(α) = a et ϕ(β) = b ;
(2) on connait explicitement une primitive Γ de x → g(ϕ(x))ϕ0 (x) sur [α, β].
On a
Z
Z
β
b
g(x)dx =
g(ϕ(x))ϕ0 (x)dx = Γ(β) − Γ(α).
α
a
Si l’on veut une primitive de g alors il est utile de supposer que ϕ est une bijection de [α, β] (ou
de [β, α]) sur [a, b] et on a alors pour x ∈ [a, b] :
x
Z
Z
ϕ−1 (x)
g(t)dt =
a
g(ϕ(t))ϕ0 (t)dt = Γ(ϕ−1 (x)) − Γ(ϕ−1 (a))
ϕ−1 (a)
et une primitive de x → g(x) est donc x → Γ(ϕ−1 (x)). Donnons un exemple de ce cas d’utilisation
du changement de variables en utilisant les notations usuelles.
Soit à calculer
Z 1p
1 − x2 dx.
−1
π π
Posons x = sin t, t ∈ [− , ], et remplaçons dx par cos tdt. La fonction sinus réalise une
2 2
π π
1
bijection de classe C entre [− , ] et [−1, 1] et on a :
2 2
Z π
Z 1p
Z π p
2
2
2
2
1 − x dx =
1 − sin t cos tdt =
cos2 tdt
− π2
−1
Z
π
2
− π2
sin 2t
t π
π
cos 2t + 1
dt = [
+ ]−2 π = .
π
2
2
4
2
2
−2
√
(Cette intégrale se calcule aussi par intégration par partiesp
avec u = 1 − x2 )
Si maintenant on veut expliciter une primitive de x → 1 − x2 sur [−1, 1] alors on écrit :
Z p
Z p
Z
2
2
1 − x dx =
1 − sin t cos tdt = cos2 tdt
Z
cos 2t + 1
sin 2t
t
sin(2 arcsin x) arcsin x
=
dt =
+ =
+
2
4
2
4
2
√
2
sin(arcsin x) cos(arcsin x) arcsin x
x 1−x
arcsin x
=
+
=
+
.
2
2
2
2
=
4. CALCUL PRATIQUE D’INTéGRALES ET DE PRIMITIVES
415
Remarques. 1). Par un changement de variable analogue on peut calculer une intégrale du
Z bp
Z bp
type
c2 − x2 dx si |a| ≤ |c| et |b| ≤ |c|. Pour le calcul de
x2 − c2 dx sur un intervalle
a
a
x
[a, b] contenu dans ] − ∞, −|c|] ou [|c|, +∞[ on peut poser u = cosh . Les intégrales du type
c
Z bp
2
αx2 + βx + γdx avec a et b convenables et ∆ = β − 4αγ > 0 peuvent se ramener aux
a
types précédents après un changement de variables affine. √
x 1 − x2
2). Aucune des deux fonctions x → arcsin x et x →
n’est dérivable aux points
2
p
−1 et 1. En revanche, leur somme l’est car c’est une primitive de x → 1 − x2 sur [−1, 1].
Cet exemple illustre le caractère seulement suffisant de la proposition usuelle donnant la dérivée
d’une somme.
La méthode du changement de variables est encore illustrée par les exemples suivants.
Exemple 7. Détermination des primitives sur R de g : x → sinn x cosp x, l’un des entiers n ou
p étant impair.
Supposons par exemple p = 2q + 1. On peut écrire g(x) = sinn x(1 − sinq x) cos x et si F est
une primitive de la fonction polynôme f : x → xn (1 − xq ) alors une primitive G de g sur R est
définie par G(x) = F (sin x).
Si n et p sont tous les deux pairs on ne peut plus utiliser la mthode précédente et, en général,
on linéarise g à l’aide des formules d’Euler.
Exemple 8. Primitives de x → tan x.
π
π
La fonction tangente est définie et continue sur tout intervalle de la forme ]− +kπ, +kπ[,
2
2
k ∈ Z. Le problème précis est donc de trouver une primitive de la fonction tangente sur l’un de
π π
ces intervalles, par exemple sur ] − , [. Remarquons que si F est une primitive de la fonction
2 2
π
π
tangente sur cet intervalle alors x ∈] − + kπ, + kπ[→ F (x − kπ) est une primitive de la
2
2
π
π
fonction tangente sur ] − + kπ, + kπ[.
2
2
π π
− sin x
Pour x ∈] − , [, on a tan x = −
ce qui montre que sur cet intervalle la fonction
2 2
cos x
1
tangente est la dérivée de la fonction x → − ln | cos x| = − ln cos x = ln
. Une primitive de
cos x
π π
1
la fonction tangente sur ] − , [ est donc x →
.
2 2
cos x
π
π
Question : trouver une primitive de la fonction tangente sur ] − + 5π, + 5π[.
2
2
Exemple 9. Changement de variables affine.
C’est le cas lorsque ϕ(x) = αx + β, α 6= 0, et on a alors sur un intervalle à préciser,
Z
Z
Z
1 αb+β
1
f (αx + β)dx =
f (x)dx et
f (αx + β)dx =
f (x)dx.
α αa+β
α
a
Par exemple :
Z π
Z π
π
4
1 2
1
1
sin 2xdx =
sin xdx = [− cos x]02 = ;
(1)
2 0
2
2
0
Z
b
416
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
a
Z
Z a
1 1 dx
1
dx
1
π
(2)
=
= 2
= [arctan]10 =
.
x
x
2
2
2
a 0 1+( )
a 0 1+x
a
4a
0
0 a2 (1 + ( ) )
a
a
(3) Sur tout intervalle ne contenant pas a et tout n ∈ N∗ ,
Z
1
dx = ln |x − a| si n = 1
(x − a)n
1
−1
=
si n > 1.
n − 1 (x − a)n−1
Z
dx
=
2
a + x2
Z
a
dx
Exemple 10. Fractions rationelles en cosinus et sinus ; règles de Bioche.
Soit F (x, y) une fraction rationnelle à deux indéterminées et à coefficients dans R. L’application
e
F : x → F (cos x, sin x), définie sur une réunion d’intervalles, est appelée une fraction rationnnelle
en cosinus et sinus. Les règles suivantes, dites règles de Bioche, permettent de ramener le calcul
d’une primitive de Fe sur un intervalle de son ensemble de définition à celui d’une primitive
d’une fraction rationnelle. On en trouve une preuve dans tout bon ouvrage pour les classes
préparatoires (Ramis, Deschamps, Odoux : page 246, Arnaudiès, Fraysse : page 390)
(1) Si Fe(−x) = −Fe(x), on pose ϕ(x) = cos x;
(2) Si Fe(π − x) = −Fe(x), on pose ϕ(x) = sin x;
(3) Si Fe(x + π) = Fe(x), on pose ϕ(x) = tan x.
Dans les trois cas, Fe(x) = g(ϕ(x))ϕ0 (x) avec g qui est une fraction rationnelle à une indéterminée.
Si G est une primitive de g alors x :→ G(ϕ(x)) est une primitive de Fe(x). Il faut dans chacun
des cas, et surtout dans le troisième, bien préciser les ensembles de définition des fonctions
considérées.
x
Maintenant, si l’on est dans aucun des trois cas précédents alors ϕ(x) = tan ramène encore
2
le calcul d’une primitive de Fe(x) à celui d’une primitive d’une fraction rationnelle. Rappelons
x
les formules donnant les fonctions circulaires de x en fonction de t = tan :
2
2
2
2t
1+t
x
2
1−t
, sin x =
, tan x =
, (tan )0 =
.
cos x =
1 + t2
1 + t2
1 − t2
2
1 + t2
Z
dx
Exemples 11. a). Calculer
. Il faut d’abord préciser les intervalles sur lesquels
sin x + sin 2x
1
la fonction f : x →
est définie et continue. On a
sin x + sin 2x
2π
4π
0 = sin x + sin 2x = sin x(1 + 2 cos x) ⇔ x ∈ πZ ou x ∈ (
+ 2πZ) ∪ (
+ 2πZ).
3
3
2π
4π
Si l’on pose X = πZ ∪ Z ∪ Z alors f est définie et continue sur R − X et on en cherche une
3
3
Z
b
primitive sur un intervalle I tel que I ∩ X = ∅. Si le problème est de calculer
f (x)dx alors
a
on doit avoir [a, b] ∩ X = ∅.
On remarque que f (−x) = −f (x) d’où le changement de variable u = cos x. On peut écrire
Z
Z
Z
dx
sin xdx
−du
=
=
.
2
2
sin x + sin 2x
(1 − u2 )(2u + 1)
sin x + 2 sin x cos x
4. CALCUL PRATIQUE D’INTéGRALES ET DE PRIMITIVES
On a
−1
(1 −
u2 )(2u
+ 1)
=
417
A
B
C
+
+
2u + 1 1 − u 1 + u
et
A=[
−1
4
]u=− 1 = − ,
2
2
1−u
3
B=[
d’où
−1
1
]u=1 = − ,
(2u + 1)(1 + u)
6
−1
(1 −
u2 )(2u
+ 1)
=−
C=[
−1
1
]u=−1 = ,
(2u + 1)(1 − u)
2
4 1
1 1
1 1
+
+
.
3 2u + 1 6 u − 1 2 u + 1
Finalement,
Z
−du
1
1
2
= ln |u − 1| + ln |1 + u| − ln |2u + 1|
2
(1 − u )(2u + 1)
6
2
3
d’où, sur un intervalle I convenable et compte tenu de | cos x − 1| = 1 − cos x,
Z
1
1
2
dx
= ln(1 − cos x) + ln(1 + cos x) − ln |2 cos x + 1|.
sin x + sin 2x
6
2
3
cos3 x
.
sin5 x
La fonction g étant définie sur Dg = R − πZ, le problème précis est de calculer une primitive
de la restriction de g à un intervalle I disjoint de πZ. On remarque que g(π − x) = −g(x) d’où
le changement de variable u = sin x. On écrit :
Z
Z
Z
(1 − sin2 x) cos x
1 − u2
cos3 x
1
1
dx
=
dx
=
du = − 4 + 2
5
5
5
u
4u
2u
sin x
sin x
1 1
1
−1 1
1
+
= − (1 + cotan2 x)2 + (1 + cotan2 x)
=
4 sin4 x 2 sin2 x
4
2
1
1
4
= − cotan x + .
4
4
b). Calculer une primitive de g : x →
Z
c). Calculer
dx
.
2 + sin x
1
est définie sur R et les régles de Bioche conduisent à poser
2 + sin x
x
2u
2 + 2u + 2u2
u = tan en supposant par exemple x ∈] − π, π[. On a 2 + sin x = 2 +
=
2
1 + u2
1 + u2
2dx
et du =
d’où
1 + u2
Z
Z
Z
1
1
2
du
√
=
du
=
1
2 + sin x
1 + u + u2
3
[ √2 (u + )]2 + 1
2
3
2
2
1
= √ arctan √ (u + )
2
3
3
La fonction h : x →
418
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
2
2
x
1
La fonction G : x → √ arctan √ (tan + ) est donc une primitive de g sur ] − π, π[.
2
2
3
3
Cette fonction g étant continue sur R, elle possède aussi des primitives sur R et nous allons
donner l’idée permettant d’en obtenir une. On a
π
2
2
x 1
lim √ arctan √ (tan + ) = √ et
x→π−
2 2
3
3
3
π
2
2
x 1
lim √ arctan √ (tan + ) = − √ .
x→π+
2 2
3
3
3
Si on définie une fonction encore notée G sur ] − π, 3π[ par

2
x 1
2


√ arctan √ (tan + ) si x ∈] − π; π[


2 2

3
 3
2
2
x 1
2π
G(x) =
√ arctan √ (tan + ) + √ ) si x ∈]π; 3π[

2
2
3
3
3


π


 √ si x = π
3
alors G est une primitive de g sur ] − π, 3π[ et par généralisation de cette méthode on peut
expliciter une primitive de g sur R.
Z
1
Remarque. Le calcul de
du donne un exemple de primitive du type
1 + u + u2
Z
dx
ax2 + bx + c
avec
∆ = b2 − 4ac < 0. Par un changement de variable affine on ramène ce calcul à celui de
Z
du
= arctan u.
1 + u2
Exemple 12. Autres changements de variables classiques.
1
Z
ax + b
1). Calcul de F (x, (
) n )dx où n ∈ N∗ , F (X, Y ) est une fraction rationnelle et ad − bc 6=
cx + d
0.
1
ax + b
n
On détermine d’abord les intervalles sur lesquels la fonction x → F (x, (
) ) est concx + d
1
ax + b
dun − b
n
tinue et on pose u = (
) . On obtient x =
et dx doit être remplacé par
cx + d
a − cun
ad − bc
nun−1
du. On est donc ramené au calcul d’une primitive de la fraction rationnelle
(a − cun )2
dun − b
ad − bc
F(
, u)nun−1
. Ce calcul est souvent long, le lecteur pourra en faire l’expérience
a − cun
(a − cun )2
avec
q
r
r
Z
1 + x−1
x−1
x(3x + 2) x − 1 5
x
q
(x + 1)
dx =
− ln |
|
x
4
x
8
x−1
1−
x
sur I =] − ∞, 0[ ou I =]1, +∞[.
Z
p
2). Calcul de
F (x, ax2 + bx + c)dx où F (X, Y ) est une fraction rationnelle.
5. COMPLéMENTS
419
p
On détermine d’abord les intervalles sur lesquels la fonction x → F (x, ax2 + bx + c) est
continue. On fait un changement de variables à l’aide des fonctions circulaires ou des fonctions
hyperboliques, le choix étant dicté par les signes de a et de ∆ = b2 − 4ac. Ce changement de
variables ramène p
le calcul à celui d’une primitive d’une fraction rationnelle. Lorsque a > 0 on
√
peut aussi poser ax2 + bx + c = x a + u d’où
√
√
u2 − c
2bu − 2u2 a − 2c a
√ et dx =
√
x=
du,
(b − 2u a)2
b − 2u a
ce qui montre que l’on est encore une fois ramené au calcul d’une primitive d’une fraction
rationelle.
5. Compléments
5.1. Toute fonction continue possède une primitive. Nous allons discuter dans cette
partie différentes preuves du théorème suivant, admis dans la première partie de ce document.
Théorème 37.2. Toute fonction continue sur un intervalle possède une primitive.
Démontrons d’abord un lemme qui permet de se restreindre à un segment.
Lemme 37.2. Si une fonction f définie sur un intervalle I possède une primitive sur tout
segment inclus dans I alors f a une primitive sur I.
Preuve . Il suffit de considérer le cas où I n’est pas un segment.
Tout intervalle est une réunion dénombrable d’une suite croissante de segments; par exemple,
[
[
1
1
R=
[−n, n], ]a, b[=
[a + , b − ].
n
n
n∈N
n∈N∗
S
Soit Jn une suite croissante de segments non réduits à un point et telle que I = Jn , x0 ∈ J0
et Fn la primitive de f sur Jn telle que Fn (x0 ) = 0. Si n ≥ m alors Fm est la restriction de
Fn à Jm (Proposition37.1). On peut donc définir une fonction F : I → R par F (x) = Fn (x) si
x ∈ Jn . La fonction F prolonge toutes les fonctions Fn et c’est la primitive de f sur I telle que
F (x0 ) = 0. En effet si x ∈ I il existe n0 telle que x ∈ Jn0 . Si x n’est pas une borne de I, on peut
supposer que x n’est pas une borne de Jn0 . Les fonctions F et Fn0 coı̈ncidant sur l’intérieur de
Jn0 , F est dérivable en x et F 0 (x) = Fn0 0 (x) = f (x). Maintenant si x est une borne de I, par
exemple sa borne inférieure a, alors Jn0 contient un intervalle du type [a, y[ qui est ouvert dans
I. On en déduit comme précédemment que F 0 (a) = Fn0 0 (a) = f (a).
5.1.1. Preuves sans théorie de l’intégration. L’idée générale de la méthode est la suivante. Il
existe des familles de fonctions primitivables sur tout intervalle de R, par exemple les fonctions
affines par morceaux ou les fonctions polynômes. Si une fonction f est une limite d’une suite
de fonctions primitivables fn alors on peut espérer que la limite d’une suite de primitives des fn
soit une primitive de f . Précisons ce dernier point.
Proposition 37.10. Soit I un segment et fn une suite de fonctions continues sur I qui
converge uniformément vers une fonction f . Si chaque fonction fn posséde une primitive sur I
alors f posséde une primitive sur I.
Preuve. Soit x0 ∈ I et Fn la primitive de fn sur I telle que Fn (x0 ) = 0. La suite Fn (x0 ) est
trivialement convergente et le théorème usuel sur la dérivation des suite de fonctions entraine
que la suite Fn est uniformément convergente vers une fonction F : I → R avec F 0 (x) = f (x).
420
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
Remarque. Ce résultat signifie que l’ensemble des fonctions continues primitivables sur I
est fermé dans l’ensemble des fonctions définies sur I muni de la topologie de la convergence
uniforme. On ne peut pas remplacer la convergence uniforme par la convergence simple. Par
exemple, sur I = [0, 1], la suite de fonctions primitivables x → xn converge simplement vers la
fonction f définie par f (x) = 0 si x ∈ [0, 1[ et f (1) = 1. Cette fonction n’est pas primitivable.
Maintenant si on connait la conséquence suivante du théorème de Stone-Weierstrass :
Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d’une suite de fonctions polynômes,
alors il suffit de dire que toute fonction polynôme possède une primitive sur tout intervalle et
appliquer la proposition 37.10 pour obtenir une preuve du théorème 37.2. Sinon, on remplace
les fonctions polynômes par des fonctions plus simples, les fonctions affines par morceaux.
Définition 37.3. Une fonction f est dite affine par morceaux sur I = [a, b] si f est continue
sur I et s’il existe une subdivision a = a0 < a1 < . . . < ai < . . . an = b, 0 ≤ i ≤ n, telle que f
soit affine sur [ai , ai+1 ], 0 ≤ i ≤ n − 1. Un point ai de la subdivision avec 1 ≤ i ≤ n − 1 sera dit
anguleux si f n’est pas affine sur [ai−1 , ai+1 ].
Lemme 37.3. Toute fonction affine par morceaux sur I = [a, b] possède une primitive sur
[a, b].
Preuve. Par récurrence sur le nombre k de points anguleux de f .
Si k = 0 alors f est affine et possède donc une primitive.
Supposons le résultat vrai pour toute fonction affine par morceaux définie sur un segment et
ayant k − 1 point anguleux. Soit f , affine par morceaux, avec k points anguleux a1 < . . . < ak .
Posons a0 = a, ak+1 = b. Soit F la primitive de f sur [a0 , ak ] telle que F (ak ) = 0 et G la primitive
de f sur [ak , ak+1 ] vérifiant G(ak ) = 0. Désignons par H la fonction affine par morceaux de
[a, b] dans R qui prolonge F et G. Il est clair que si x ∈ [a, b] − {ak } alors H est dérivable en x
et H 0 (x) = f (x). Au point ak , H possède une dérivée à gauche égale à F 0 (ak ) = f (ak ) et une
dérivée à droite qui vaut G0 (ak ) = f (ak ). La fonction H est donc dérivable en ak et est une
primitive de f sur [a, b].
Lemme 37.4. Toute fonction continue sur I = [a, b] est limite uniforme d’une suite de
fonctions affines par morceaux.
Preuve. Soit ε > 0. La fonction f étant uniformément continue sur [a, b], il existe η > 0 tel
b−a
que (x, y) ∈ I 2 et |x − y| < η impliquent |f (x) − f (y)| < ε/2. Soit p un entier tel que
≤ η,
p
b−a
(ai ) la subdivision de [a, b] définie par ai = a + i
, 0 ≤ i ≤ p. Considérons l’application
p
affine par morceaux g qui coı̈ncide avec f aux points ai , 0 ≤ i ≤ p, et qui est affine sur chaque
segment [ai , ai+1 ], 0 ≤ i ≤ p − 1.
Soit x ∈ [a, b]. Il existe un entier i ∈ [0, p − 1] et λ ∈ [0, 1] tel que x = λai + (1 − λ)ai+1 . En
utilisant le caractère affine de g, on a
|f (x) − g(x)| = |λf (x) + (1 − λ)f (x) − λg(ai ) − (1 − λ)g(ai+1 )|
≤ λ|f (x) − g(ai )| + (1 − λ)|f (x) − g(ai+1 )|
≤ λε/2 + (1 − λ)ε/2 = ε.
5. COMPLéMENTS
421
Maintenant appelons gn une application affine par morceaux sur I telle que, pour tout x ∈ I,
1
1
|f (x) − gn (x)| < . Pour tout ε > 0 il existe un entier n0 tel que
≤ ε. Si n ≥ n0 et x ∈ I
n
n0
alors
1
1
≤ε
|f (x) − gn (x)| < ≤
n
n0
d’où la convergence uniforme de (gn ) vers f .
A l’aide des deux lemmes précédents et de la proposition 37.10 on obtient facilement une
autre preuve du théoréme 37.2.
5.1.2. Preuves à l’aide de l’intégration. Il existe de nombreuses théories de l’intégration,
l’intégration des fonctions réglées, l’intégration au sens de Riemann et l’intégration au sens de
Lebesgue étant les plus connues. Ces théories et des théories voisines seront qualifiées d’usuelles
dans la suite.
En général, on considère un segment [a, b] et chaque théorie de l’intégration associe à certaines
fonctions f , définies sur [a, b] et dites intégrables sur [a, b], un nombre réel appelé l’intégrale de
Z b
f (x)dx.
la fonction f sur [a, b] et noté
a
On démontre ensuite des résultats analogues à ceux énoncés dans les propositions 37.4, 37.5
et 37.6 du début de ce document. On montre aussi que si f est continue sur [a, b] alors f est
intégrable sur [a, b] et la valeur de son intégrale est la même pour toute les théories usuelles de
l’intégration.
Le résultat suivant, vrai dans toute théorie usuelle de l’intégration, conduit immédiatement
à une nouvelle preuve du théorème 37.2.
Proposition 37.11. Soit f une fonction intégrable sur [a, b]. Pour
Z x tout x ∈ [a, b], f est
intégrable sur [a, x] et si f est continue au point x0 alors F : x →
f (t)dt est dérivable au
a
point x0 et F 0 (x0 ) = f (x0 ). En particulier, si f est continue sur I alors F est dérivable sur I
et F 0 = f .
Remarques. 1) Si dans la proposition précédente,
Z x f n’est pas continue au point x0 , alors F
peut être non dérivable en x0 (Exemple : x →
E(x)dx et x0 ∈ Z) ou dérivable en x0 avec
0
Z x
f (t)dt avec f (t) = 0 si t 6= 0 et f (0) = 0 au point 0).
F 0 (x0 ) 6= f (x0 ) (Exemple x →
0
Z b
0
2) Si f est intégrable sur [a, b] alors
f 0 (x)dx = f (b) − f (a) dans toute théorie usuelle de
a
l’intégration mais les fonctions dérivées ne sont pas toujours intégrables au sens de Riemann.
1
C’est par exemple le cas de la fonction f : R → R définie par f (0) = 0 et f (x) = x2 sin 2
x
si x 6= 0 qui est dérivable sur R mais qui n’est intégrable sur aucun segment contenant 0 car
sa fonction dérivée n’est pas bornée au voisinage de 0. Il existe même des fonctions ayant une
dérivée bornée non intégrable au sens de Riemann, par exemple la fonction de Volterra 1. Si
l’on considère l’intégrale de Lebesgue et sa généralisation par Denjoy ou si on utilise la méthode
de ce document avec les primitives alors toute fonction dérivée est intégrable.
1Voir l’ouvrage de Chambadal et Ovaert, Cours de Mathématiques Spéciales, exercices
422
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
5.2. Intégrales et aires. Dans cette partie, nous ne considèrerons (sauf mention du contraire) que des fonctions positives sur I. Si f est une telle fonction
{(x, y) ∈ R2 | x ∈ I, 0 ≤ y ≤ f (x)}
sera appelé la surface située sous le graphe de f . L’objet de cette partie est d’établir des liens
Z b
entre
f (x)dx et l’aire de la surface située sous le graphe de f , la fonction f étant supposée
a
continue.
Sans connaissance précise de la notion d’aire d’une surface on ne peut évidemment pas
Z b
f (x)dx est l’aire de la surface située sous le graphe de f , mais seulement
démontrer que
a
donner quelques arguments justifiant cette interprétation géométrique de l’intégrale. Nous allons
en donner trois. Si le premier et le second sont destinés des élèves de classes terminales ou de
L1 , le troisième est beaucoup plus convaincant.
Argument 1
Si f est affine sur I = [a, b] alors la surface située sous le graphe de f est un trapèze et
on peut vérifier que l’aire de ce trapéze calculé à l’aide de la longueur de ses cotés coı̈ncide
Z b
avec
f (x)dx. On peut généralisé cela au cas d’une fonction affine par morceaux et par une
a
méthode semblable retrouver l’aire d’un triangle à l’aide du calcul intégral.
p
On peut aussi considérer la fonction f : [0, R] → R, R > 0, définie par f (x) = R2 − x2 et
Z R
constater que
f (x)dx est bien égal à l’aire habituelle d’un quart de disque de rayon R.
0
Argument 2
Ici nous supposons avoir une idée intuitive de l’aire d’une surface qui est un élément de R+ .
En particulier on admet que pour le rectangle cette aire est égale à son aire usuelle et que si
S1 ⊂ S2 alors l’aire de S1 est inférieure à l’aire de S2 .
Pour tout x ∈ [a, b], désignons par A(x) l’aire de la surface située sous le graphe de la
restriction de f à [a, x]. Soit x0 ∈ [a, b[, h > 0 tel que x + h ≤ b, m = inf x∈[x0 ,x0 +h] f (x) et
M = supx∈[x0 ,x0 +h] f (x). En utilisant les propriétés admises de l’aire on a
mh ≤ A(x0 + h) − A(x0 ) ≤ M h
d’où
A(x0 + h) − A(x0 )
≤ M.
h
La fonction f étant continue en x0 , si h tend vers 0, les deux fonctions de h, m et M tendent
vers f (x0 ) (pourquoi ?). On peut faire un raisonnement analogue avec h < 0 et la fonction F
est donc dérivable en x0 avec F 0 (x0 ) = f (x0 ). Comme A(a) = 0 on a
Z x
Z b
A(x) =
f (x)dx et en particulier A(b) =
f (x)dx.
m≤
a
a
En supposant de plus la fonction monotone sur [a, b], la preuve précédente est plus simple.
Argument 3
5. COMPLéMENTS
423
Proposition 37.12. Si f est une fonction continue sur [a, b] alors
n−1
b−aX
b−a
lim
f (a + k
)=
n→∞ n
n
Z
k=0
b
f (x)dx.
a
Preuve. Soit ε > 0. La fonction f étant uniformément continue sur [a, b], il existe η > 0
ε
tel que (x, x0 ) ∈ [a, b]2 et |x − x0 | < η impliquent |f (x) − f (x0 )| <
. Soit n0 ∈ N∗ vérifiant
b−a
b−a
b−a
≤ η. Considérons n ≥ n0 , posons xk = a + k
, 0 ≤ k ≤ n − 1, et remarquons que
n0
n
Z xk+1
b−a
b−a
f (xk )dx. On a
f (a + k
)=
n
n
xk
n−1
|
b−aX
b−a
f (a + k
)−
n
n
k=0
Z
b
f (x)dx| = |
n−1
X Z xk+1
(f (xk ) − f (x))dx|
xk
a
≤
≤
k=0
n−1
X Z xk+1
k=0 xk
n−1
X Z xk+1
k=0
xk
|f (xk ) − f (x)|dx
ε
dx = ε.
b−a
n−1
Rb
b−aX
La suite (
f (xk ))n>0 converge donc vers a f (x)dx et on peut remplacer dans l’expression
n
k=0
b−a
b−a
de cette suite, xk par un élément quelconque de l’intervalle [a + k
, a + (k + 1)
].
n
n
n−1
b−aX
f (xk ) par l’aire de n rectangles dont la réunion est, pour n
On peut interpréter
n
k=0
”grand”, voisine de la surface située sous le graphe de f . On peut améliorer ce résultat en
désignant par mk et Mk la borne inférieure et le borne supérieure de la fonction continue f sur
n−1
n−1
X
X
b−a
b−a
b−a
b−a
le segment [a + k
, a + (k + 1)
] et considérer sn =
mk
et Sn =
Mk
.
n
n
n
n
k=0
k=0
En remarquant que mk et Mk sont de la forme f (xk ) et f (x0k ) alors une démonstration analogue
a celle de la proposition 37.12 montre que
Z b
sn ≤
f (x)dx ≤ Sn (∗)
a
et
Z
lim sn = lim Sn =
n→∞
n→∞
b
f (x)dx (∗∗).
a
Chaque sn (resp. Sn ) est l’aire d’une réunion rn (resp. Rn ) de rectangles et la surface située
sous le graphe de f est comprise entre rn et Rn . Les deux relations (∗) et (∗∗) fournissent de
Z b
bons arguments pour interpréter
f (x)dx comme étant l’aire située sous le graphe de f .
a
424
37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
n−1
Dans la théorie de l’intégrale de Riemann,
b−aX
b−a
f (xk ) avec xk ∈ [a + k
, a + (k +
n
n
k=0
b−a
1)
] est appelé une somme de Riemann. Les somme sn et Sn sont des sommes de Darboux.
n
P (X)
5.3. Primitives des fractions rationnelles. Toute fraction rationnelle
à coeffiQ(X)
P (x)
cients dans R détermine une fonction à valeurs réelles, x →
, définie sur un ensemble de la
Q(x)
forme R − {a1 , . . . , an } où les ai sont les zéros du polynôme Q, aussi appelés pôles de la fraction
rationnelle. Une fraction rationnelle est continue sur tout intervalle I ne contenant aucun de ses
pôles et possède donc sur chaque intervalle de ce type une primitive. Chaque primitive d’une
fraction rationnelle sur un intervalle peut être explicitée à partir de sa décomposition en éléments
P (x)
sur un intervalle I sont
simple. Les différentes étapes pour calculer une primitive de x →
Q(x)
les suivantes.
(1) On divise P par Q : P(X)=Q(X)E(X) +R(X), deg(R) < deg(Q). Maintenant on peut
écrire
R(X)
P (X)
= E(X) +
avec deg(R) < deg(Q).
Q(X)
Q(X)
(2) On décompose le polynôme Q en facteurs irréductibles dans R(X) :
Q(X) = k(X − a1 )l1 . . . (X − an )ln (X 2 + b1 X + c1 )k1 . . . (X 2 + bm X + cm )km ,
chaque trinôme X 2 + bi X + ci n’ayant aucun zéro réel.
(3) On montre qu’il existe trois suites finies de nombres réels (Ai,j ), (Bi,j ), (Ci,j ) telles que
A1,l1
A1,1
+ ... +
+
X − a1
(X − a1 )l1
..................
An,ln
An,1
+ ... +
+
X − an
(X − an )ln
B1,k1 X + C1,k1
B1,1 X + C1,1
+ ... +
+
2
X + b1 X + c1
(X 2 + b1 X + c1 )k1
.................... +
Bm,km X + Cm,km
Bm,1 X + Cm,1
.
+ ... +
2
X + bm X + cm
(X 2 + bm X + cm )km
Cette décomposition est appelée la décomposition en éléments simples de la fraction
P (X)
rationnelle
(dans le corps des fractions rationnelles à coefficients dans R).
Q(X)
(4) Il reste maintenant à déterminer une primitive de chaque élément simple.
A
• Pour les éléments simples du type
c’est facile, voir l’exemple 9.
(X − a)p
BX + C
• Pour obtenir une primitive des éléments simples du type
on écrit
2
(X + bX + c)p
P (X)
= E(X) +
Q(X)
(X 2
B
2X + b
2C/B − b
BX + C
= [ 2
+
].
p
p
+ bX + C)
2 (X + bX + c)
(X 2 + bX + c)p
5. COMPLéMENTS
425
La détermination d’une primitive du premier terme est immédiate et il reste à
calculer une primitive d’une fraction rationnelle du type
1
2
(X + bX + c)p
avec b2 − 4c < 0.
Par un changement de variables affine on se ramène au cas d’une fraction rationnelle du type
1
2
(X + 1)p
et le calcul par récurrence de l’une de ses primitives a fait l’objet de l’exemple 3.