mécanique des milieux continus fluides

Université Paris VI
Master de Mathématiques et Applications
Parcours Ingénierie Mathématique
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
FLUIDES
Arnault Monavon
21 mars 2011

Table des matières
1 Principes 1
1.1 État et variables d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Potentiels thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Entropie 7
2.1 Production d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Écoulements isentropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Équation d’état 11
3.1 Fluide divariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
i

Chapitre 1
Principes
1.1 État et variables d’état
1.1.1 États d’équilibre parfaits
Parmi tous les états d’équilibre dans lequel un système peut se trouver sont les états
d’équilibre parfaits. Ces états particuliers se distinguent des autres par le fait que l’état du
système est indépendant du temps et uniforme dans l’espace.
Considérons maintenant deux systèmes identiques et réunissons les. En général, les
paramètres d’état se rangent en deux catégories :
– Les paramètres extensifs, notés X={X1, X2,...}, dont la valeur double. Exemples :
masse, énergie, entropie, etc...
– Les paramètres intensifs, notés Y={Y1, Y2,...}, dont la valeur ne change pas.
Exemples : pression, température, concentration, etc...
Les paramètres extensifs Xprésentent la spécificité d’être définis quel que soit l’état
du système et, à ce titre, on peut toujours les retenir en tant que coordonnées d’état.
Les équations de la thermodynamique font également intervenir impérativement les
paramètres intensifs Y(ou Z) qui, contrairement aux paramètres extensifs, ne sont pas
définis quel que soit l’état du système. Les paramètres intensifs, qui supposent l’homogé-
néité du système, ne sont définis que pour les états d’équilibre parfait.
1.1.2 État d’équilibre local
La condition d’équilibre parfait impose l’uniformité des paramètres intensifs sur la
totalité du système ce qui est très restrictif. Sous réserve de se limiter à l’étude de systèmes
dont l’état local ne s’écarte que « faiblement » d’un équilibre « tangent », elle peut être
relaxée. Plus précisément, il suffit de ne l’imposer qu’à une portion limitée de l’espace
en admettant que les gradients des paramètres ne jouent aucun rôle explicite. Ainsi, on
énoncera : Un système en état hors équilibre peut toujours être considéré comme la réunion
de sous-systèmes en état d’équilibre.
Autrement dit, chaque particule fluide peut être considérée comme approximativement
en équilibre du point de vue thermodynamique, car le temps caractéristique de retour à
l’équilibre du système thermostatique constitué par la particule perturbée par le mou-
vement est supposé petit devant le temps caractéristique de l’évolution cinématique et
dynamique du milieu.
1

1.1. ÉTAT ET VARIABLES D’ÉTAT 2/16
1.1.3 Paramètres extensifs
Parmi les paramètres extensifs et en se limitant à des systèmes électriquement neutres,
on en distingue deux qui jouent un rôle spécifique :
Énergie interne :U.
Entropie :S.
On les utilise pour définir la représentation du système :
•représentation énergétique : U=U(S, X);
•représentation entropique : S=S(U, X).
Plus précisément, U(S, X)et S(U, X)sont des fonctions continues, uniformes et homo-
gènes d’ordre un de leurs arguments, définies uniquement pour les états d’équilibre.
Une fonction homogène d’ordre pvérifie : f(λx) = λpf(x). On voit, par exemple, que
pour appliquer cette définition à U, il faut poser λ=M/M0(ou λ=V/V0), où Met
M0sont respectivement la masse du système et l’unité de masse. Alors, on a :
U(S, X) = UλM0
S
M, λM0
X
M=M M0
U(M0
S
M, M0
X
M.
Ensuite, on définit les grandeurs spécifiques : s=S/M ,x=X/M et u=U/M.
On reconnaît alors la définition de l’énergie massique (énergie d’un système de masse
unité, soit M0) :
u(s, x) = 1
M0
U(M0s, M0x) =⇒U(S, X) = M u(s, x).
1.1.4 Paramètres intensifs
Il est associé à ces paramètres extensifs deux ensembles de paramètres intensifs notés
Y(resp. Z), conjugués de Xpar rapport à l’énergie interne U(resp. l’entropie S) :
Y=∇XU, Z=∇XS, T =∂U/∂S et Y=−TZ.(1.1)
D’après leur définition, les paramètres intensifs sont des fonctions continues et homogènes
d’ordre zéro des paramètres extensifs : Y=Y(U, X)et Z=Z(S, X), c’est-à-dire qu’ils
sont indépendants de l’extension du système. Des équations de ce type sont des équations
d’état et il suffit d’éliminer un paramètre entre deux d’entre elles pour en obtenir une
autre. Incidemment, on peut définir ici les paramètres intensifs standards pour un système
ouvert 1, en l’absence de phénomènes électromagnétiques :
Température : T=∂U/∂S ,
Pression : p=−∂U/∂V ,
Potentiel chimique : µ=∂U/∂M ,
(1.2)
où Vet Mreprésentent respectivement le volume et la masse du système. La fonction µ
se nomme également fonction de Gibbs et s’identifie à l’enthalpie libre g.
1. Un système thermodynamique est dit « fermé » si sa masse est constante et « ouvert » si elle est
variable.

CHAPITRE 1. PRINCIPES 3/16
1.2 Premier principe
1.2.1 Relation de GIBBS
Selon le théorème d’Euler sur les fonctions homogènes, l’énergie interne Us’écrit 2:
U=T S +Y·X=T S −pV +µM . (1.3)
Un état d’équilibre et les valeurs des paramètres extensifs associés étant donnés, cette
relation montre que les paramètres intensifs ne sont pas indépendants. On appelle variance
d’un système le nombre de paramètres indépendants qu’il faut fixer pour déterminer son
état d’équilibre.
Notons au passage que la relation (1.3) fournit une définition thermodynamique de la
pression :
p=Tˇs−ˇu+ρµ =ρ(T s −u+µ),(1.4)
où ρ=M/V est la masse volumique du fluide 3.
La relation d’Euler conduit également à deux formes différentielles fondamentales de
la thermodynamique 4:
Relation de Gibbs :TdS= dU−Y·dX;(1.5)
Relation de Gibbs-Duhem :SdT+X·dY= 0 .(1.6)
La relation de Gibbs-Duhem exprime, à l’échelle infinitésimale, que les paramètres
intensifs ne sont pas indépendants. La relation de Gibbs, ou équation fondamentale de la
thermodynamique, traduit une identité différentielle qui procède des propriétés d’homo-
généité des paramètres d’état. Elle résume le comportement du système lorsqu’il est en
équilibre, sous réserve de disposer d’une de ses représentations.
1.2.2 Énoncé
On appelle énergie totale d’un système la quantité E=U+Koù Uest l’énergie interne
et Kest l’énergie cinétique. Le premier principe pose que la variation d’énergie totale est
égale à la somme des travaux et des quantités de chaleur transférés au milieu extérieur :
E2−E1=W+Q . (1.7)
Convention de signe Les transferts énergétiques sont comptés positivement
par rapport au système de sorte que, dans l’expression ci-dessus, les indices
« 1 » et « 2 » se réfèrent respectivement aux états initial et final.
Il convient d’insister sur l’objectivité ou invariance par changement de repère des lois
thermodynamiques. Adjointe à l’hypothèse d’équilibre local (absence de gradients), elle
nous autorise à exprimer toutes les formes différentielles de la thermodynamique dans un
référentiel matériel où le système est au repos, c’est-à-dire à nous débarrasser de toutes les
quantités qui ne sont pas intrinsèques au système. Par suite, dans ce référentiel, l’énergie
cinétique disparaît et l’expression (1.7) devient :
U2−U1=W+Q , (1.8)
2. Il suffit de dériver l’expression U(λS, λX) = λU(S, X)par rapport à λ, puis de poser λ= 1.
3. Le symbole «ˇ» désigne une quantité volumique.
4. La première étant tout de même plus fondamentale que la deuxième.