Echantillonnage et signaux `a temps discret.

Ph. Loubaton
Echantillonnage et signaux `a temps discret.
Fili`ere R´eseau 1/20

Ph. Loubaton
Motivation
signal de
parole x(t) x(nT_e) quantificateur mot binaire
échantillonneur
Questions.
•Comment choisir Te?
•Comment reconsituer le signal x(t) `a partir des bits qui le repr´esentent ?
Tep´eriode d’´echantillonnage, Fe=1
Tefr´equence d’´echantillonnage.
Fili`ere R´eseau 2/20

Ph. Loubaton
Reformulation.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
t en multiple de Te
x(t)
x(t)
x(nTe)
Peut-on reconstituer de fa¸con unique la courbe bleue `a partir des points rouges ?
Fili`ere R´eseau 3/20

Ph. Loubaton
Th´eor`eme de Shannon.
Soit x(t) un signal de bande passante [−B, B]. Alors, si Te<1
2B⇐⇒ B < Fe 2, la
fonction x(t) est d´efinie de fa¸con unique par la suite (x(nTe))n∈Z. De plus,
x(t) = X
n∈Z
x(nTe)sin(π(t−nTe)
Te)
π(t−nTe)
Te
x(t) est la seule courbe suffisemment douce passant par les points (x(nTe))n∈Z.
Fili`ere R´eseau 4/20

Ph. Loubaton
Preuve du th´eor`eme de Shannon I.
Bas´ee sur la formule sommatoire de Poisson. Formule fondamentale qui poss`ede
son int´erˆet propre.
Soit x(t) une fonction et X(f) sa TF. Alors:
X
n∈Z
x(nTe)e−2iπnfTe=1
TeX
k∈Z
X(f−k
Te
)
Fili`ere R´eseau 5/20