6 - Diffusion d`une onde électromagnétique par un

6 - Diffusion d’une onde électromagnétique
par un atome.
Objectif : Pour étudier la matière, on utilise un rayonnement. La diffusion de ce rayonnement donne
des informations sur la structure de la matière, un peu comme la figure de diffraction
d’une fente renseigne sur la structure (la forme) de la fente.
La diffusion des rayons X est d’usage courant et sera décrite dans ses principes.
La diffusion de la lumière visible permet de comprendre la variation de l’indice de réfraction
des milieux transparents avec la longueur d’onde (la dispersion).
Etudier ces questions, c’est aussi rencontrer le premier modèle de l’atome : celui de
l’oscillateur mécanique développé par Helmholtz (1821-1894), Lorentz (1906) et Drude
(1900). Ce modèle, bien qu’utilisant la mécanique classique, donne une description simple
dont on retrouve les résultats en mécanique quantique avec une interprétation différente
des paramètres utilisés (une fréquence propre d’oscillateur deviendra une transition entre des niveaux d’énergie).
(a)
Diffusion des rayons X par un atome
Ce sont les électrons qui diffusent les rayons X. Sous l’action du champ électrique d’une onde
électromagnétique incidente, chaque électron est soumis à une vibration forçée.
Soit ψ e (~q) le champ électrique de l’onde diffusée
par un électron placé à l’origine, dans la direc−
→
tion définie par ~q = ~k − ko .
Soit n(~r)dτ le nombre d’électrons dans un élément
de volume dτ au point ~r dans l’atome.
ψ
q)
e (~
n(~r)dτ serait l’amplitude diffusée par les
ndτ électrons placés à l’origine.
n(~r)e−i~q ~r dτ représente l’amplitude diffusée
par les ndτ électrons au point M
−−→
(OM = ~r).
ψ
q)
e (~
L’amplitude totale diffusée par l’atome peut donc s’écrire :
ψ (~q) = ψ
avec
f (~q) =
Z
q)
e (~
atome
f (q)
e−i~q ~r n(~r)dτ
f (~q) est appelé facteur de diffusion atomique, ou facteur de forme de l’atome.
Le facteur de diffusion atomique est la transformée de Fourier de la densité électronique.
30
Z
f(0)=
n(~r)dτ = Z, le nombre atomique.
atome
A titre d’exemple, on peut prendre n(r) =
pour r < R et 0 si non.
Z
4
3
3 πR
On vérifiera que dans ce cas f (q) s’annule pour
θ
λ
qR = 1, 430π; c’est-à-dire pour sin = 0, 36 . (Exercice 3.7).
2
R
(b)
Diffusion des rayons X par un électron.
(J.J. Thomson 1906)
L’objectif de ce paragraphe est de déterminer ψ e (q), soit E, l’amplitude du champ électrique
diffusé par un électron placé à l’origine. Sous l’action du champ électrique de l’onde incidente
Eox e−iωt , un électron placé à l’origine peut être considéré comme libre car toutes les fréquences
3.1010
propres de l’atome sont faibles devant ω (2π ×
' 2.1019 pour λ = 1 Å), en tout cas pour
10−8
un atome assez léger. L’électron est mis en oscillation forçée par le champ, son déplacement x
vérifie la loi de la mécanique :
d2 x
m 2 = −eEox e−iωt
dt
eEox −iωt
e Eox −iωt
soit : x =
e
et une accélération γx = −
e
. La charge ne peut pas suivre la
mω 2
m
variation trop rapide du champ : le déplacement de l’électron est opposé à la force instantanée
mais l’accélération est bien entendu dans le sens de cette force (Fx = mγx ).
On démontre (relativité ou rayonnement du dipôle −ex en électromagnétisme) qu’une charge q
(algèbrique), d’accélération γ, rayonne une onde électromagnétique qui se réduit à grande distance r à une onde plane dont le champ électrique est dans le plan défini par r et γ.
On trouve (J.J. Thomson, 1906) :
E=
q[γ] sin α 1
4πε0 c2 r
r
[γ] signifie que E(r, t) fait intervenir γ au temps t − .
c
L’amplitude E de l’onde diffusée ne dépend que de la projection de l’accélération perpendiculairement à la direction d’observation.
Pour l’électron vibrant en 0, on obtient au point M le champ diffusé E qu’on peut écrire :
a
E = − sin αEox ei(kr−ωt)
r
Avec une longueur a définie en écrivant
e2
= mc2 , a = 2, 82.10−13cm.
4πε0 a
a est appelé le rayon classique de l’électron.
31
π
Le signe négatif de E signifie que pour α =
, le champ rayonné en Mo dans la direction
2
incidente est en opposition de phase avec le champ incident au même point.
L’intensité diffusée I, définie comme la puissance diffusée en M par unité de surface perpendiculaire à ~r en ce point, vaut :
1
I = ε0 c E 2 .
2
Elle peut s’exprimer à partir de l’intensité de l’onde incidente :
Io =
1
2
ε0 c Eox
,
2
I
a
= ( )2 sin2 α .
Io
r
En pratique on utilise un détecteur dont l’ouverture est vue du point 0 sous l’angle solide dΩ,
c’est-à-dire qui a une surface r2 dΩ. La puissance détectée dP vaut :
dP = Ir2 dΩ = Io a2 sin2 αdΩ
On peut aussi écrire que dP est proportionnelle à l’intensité incidente Io et à l’angle solide
dΩ. Comme Io est une puissance par unité de surface, le coefficient de proportionnalité est une
surface dσ par unité d’angle solide dΩ :
dP = Io
dσ
dΩ
dΩ
dσ
est appelée section efficace différentielle de diffusion.
dΩ
On vient d’obtenir cette section efficace pour la diffusion des rayons X par un électron :
dσ
= a2 . sin2 α
dΩ
mais ces notions sont très générales et décrivent tous les processus de diffusion .
La section efficace totale correspond à l’intensité diffusée dans tous les angles possibles, on l’écrit
σT (Thomson) :
σT =
Z π
a2 sin2 α dΩ = a2
0
Z π
0
sin2 α.2π sin α dα =
8π 2
a
3
−
→
Nous avons supposé que l’onde incidente est polarisée, de champ électrique parallèle à 0x. En général
Io
l’onde incidente n’est pas polarisée mais se décompose en 2 ondes de même intensité
cor2
respondant à deux champs de même amplitude
Eox et Eoy . On peut choisir le plan 0yz contenant le point M d’observation. Les deux ondes
sont incohérentes et les intensités diffusées s’ajoutent.
Io 2
π
Eox donne un puissance diffusée
a dΩ (α = )
2
2
Io 2
2
et Eoy une puissance diffusée a cos θdΩ
2
(sin α = cos θ).
32
On en déduit, pour une onde incidente non polarisée, que :
dσ
(1 + cos2 θ) 2
=
a
dΩ
2
Z
A nouveau :
dσ
8π 2
dΩ = σT =
a
dΩ
3
I
= 10−26
Io
pour r = 2, 82cm et on pourrait penser que l’intensité diffusée est trop faible pour être mesurée.
Cependant il faut se souvenir que même dans un milligramme de matière condensée, il y a environ
1020 électrons, de sorte que la diffusion du rayonnement par la matière n’est plus nécessairement
trop faible. De plus, les ondes diffusées par les différents électrons sont cohérentes et peuvent
interférer. Dans certaines directions, l’intensité diffusée par N électrons sera égale à N 2 fois celle
qui est diffusée par un seul électron ! C’est ce qui se passe pour l’atome dans la diffusion vers
l’avant puisque f (0) = Z, l’intensité vaut Z 2 a2. De fait, la diffusion des rayons X est aujourd’hui
un moyen courant d’étudier la matière.
L’intensité totale diffusée à la distance r d’un électron est très faible, le rapport
(c)
Diffusion dans le domaine visible.
(Rayleigh, 1871)
Dans ce domaine, la fréquence de l’onde incidente devient petite devant les fréquences propres
ωo de vibration d’un électron dans l’atome (généralement situées dans l’U.V.).
L’électron est soumis à une force supplémentaire de rappel −kx.
En posant k = mωo2 , l’équation du mouvement devient :
d2 x
e
+ ωo2 x = − Eox e−iωt
2
dt
m
Soit : x = −
e Eox e−iωt
e Eox e−iωt ω 2
et
une
accélération
:
γ
=
+
x
m(ωo2 − ω 2 )
m(ωo2 − ω 2 )
Cette fois le déplacement de l’électron est dans le même sens que la force instantanée et l’accélération
dans le sens du champ appliqué. Pour l’électron vibrant en 0, on obtient au point M le champ :
E=+
a
ω2
sin α . 2
. Eox ei(kr−ωt)
r
ωo − ω 2
π
Le signe + signifie que dans ce cas, pour α = , le champ rayonné en Mo dans la direction
2
incidente est en phase avec le champ incident au même point.
L’intensité diffusée peut s’écrire :
I
a2
ω2
= 2 sin2 α ( 2
)2
Io
r
ωo − ω2
En pratique, ωo À ω et l’intensité varie comme ω 4 , c’est-à-dire comme (1/λ)4 . Comme la lumière
◦
◦
rouge λ = 7.200 A, a une longueur d’onde 1,8 plus élevée que celle du violet λ = 4000 A, la loi
prédit (1, 8)4 ou 10 fois plus de lumière bleue diffusée. La lumière diffusée par le ciel paraı̂t donc
bleue et la lumière transmise, au coucher du soleil, rouge orangée ou jaune suivant la nature de
l’atmosphère (vapeur d’eau, pollution, . . . ).
33
(d)
Cas général de l’oscillateur avec absorption.
On admet que l’électron est également soumis à une force de friction proportionnelle à sa vitesse
dx
−r . En posant r = mΓ, où Γ est une fréquence, l’équation du mouvement se met sous
dt
forme réduite :
d2 x
dx
e
+Γ
+ ωo2 x = − Eox e−iωt
2
dt
dt
m
dont on cherche les solutions forçées sous la forme x = −xo ei(ϕ−ωt) .
Avec cette convention de signe, la phase ϕ est nulle pour une vibration en phase avec la force
appliquée (domaine visible (c)).
On en déduit :
e
Eox
Γω
xo = p 2 m 2 2
et tg ϕ = 2
2
2
ωo − ω 2
(ω − ωo ) + Γ ω
En pratique Γ ¿ ωo et les variations de xo et ϕ se font au voisinage immédiat de ωo . On pose
pour décrire ce voisinage, ω = ωo + ε où ε est petit. ω 2 − ωo2 = (ω + ωo )(ω − ωo ) ' 2ωo ε et
Γω ' Γωo . Dans cette région :
xo = r
xm
ε
1 + 4( )2
Γ
et tgϕ = −
Γ
eEox
1
avec xm =
.
2ε
m
Γωo
La puissance instantanée P (t) absorbée par l’électron est le produit de la force par la vitesse. Il
faut revenir dans ce calcul aux parties réelles, soit −eEox cos ωt pour la force et
ẋ = −ωxo sin(ϕ − ωt) pour la vitesse. On observe en fait la puissance moyenne P = P (t), soit,
1
puisque cos ωt. sin ωt = 0 et cos2 ωt = :
2
P =
2
eEox
e2 Eox
Γω 2
ωxo . sin ϕ =
. 2
2
m 2
(ω − ωo2 )2 + Γ2 ω 2
La puissance moyenne absorbée est maximum Pm à la résonance quand le déplacement est en
π
quadrature avec le champ (ϕ = ).
2
Pm = P (ωo ) =
e2 1 2
1
. Eox .
m 2
Γ
Au voisinage de ce maximum, on peut encore remplacer
(ω = ωo + ε), ω 2 − ωo2 par 2ωo ε et Γω par Γωo soit :
Γ2
P = Pm 2
Γ + 4ε2
34
La largeur à mi-hauteur de cette courbe est la largeur δω = Γ de la résonance.
En pratique, le champ incident n’est pas purement monochromatique. Un cas important est celui
du corps noir où le rayonnement est isotrope dans une enceinte. On caractérise ce rayonnement
par sa densité spectrale d’énergie u(ν) telle que u(ν)dν est la densité d’énergie par unité de
volume de l’enceinte, dans un intervalle dν.
Le rayonnement étant isotrope :
2 + E 2 + E 2 = 3E 2
E 2 = Eox
oy
oz
ox
1
3
2
u(ν)dν = ε0 E 2 = ε0 Eox
2
2
La puissance moyenne communiquée par un tel champ à l’oscillateur peut s’écrire :
et :
P =
e2
3 m ε0 Γ
Z ∞
u(ν)dνΓ2
0
Γ2 + 4ε2
.
u(ν) variant lentement au voisinage de ν0 , on peut sortir cette fonction de l’intégrale en prenant
sa valeur pour ν0 . D’autre part :
dε
dν =
et
2π
Il vient finalement :
Z ∞
−ω0
Γ2 dε
'
Γ2 + 4ε2
P =
e2
12 m ε0
Z +∞
−∞
Γ2 dε
π
= .Γ
2
2
Γ + 4ε
2
u(ν0 )
La puissance moyenne communiquée par le rayonnement à l’oscillateur ne dépend plus de Γ.
Cela vient de ce que l’aire qui est sous la courbe P (ω) est une constante :
Quand Γ → 0, Pm
(e)
Z
π
π e2 2
Γ.Pm =
E
2
4 m ox
→ ∞ mais la largeur de la courbe δω = Γ → 0.
P (ω)dω =
Rayonnement amorti de l’oscillateur libre
Quand on supprime le champ appliqué, ou bien quand on laisse libre l’oscillateur après l’avoir
excité par une cause quelconque (décharge dans un gaz, choc, . . . ), il revient au repos avec une
solution amortie de l’équation :
d2 x
dx
+Γ
+ ωo2 x = 0
2
dt
dt
qu’on cherche sous la forme x = xo ept , soit p2 + pΓ + ωo2 = 0 de solution :
s
Γ
Γ2
Γ
p = − ± i ωo2 −
' − ± iωo
2
4
2
du fait que Γ ¿ ωo . La solution est donc avec deux constantes xo et ϕ d’intégration :
Γt
x = xo e− 2 cos(ωo t + ϕ)
35
2
2π
À
. C’est ce rayonnement qui
Γ
ω0
Γt
produit l’amortissement. On peut considérer que l’amplitude X = xo e− 2 de l’oscillateur reste
1
1
constante sur un temps long devant
mais court devant . Pendant ce temps, l’oscillateur est
ωo
Γ
1
caractérisé par son amplitude Xe−iωot avec une énergie W = mωo2 X 2 . Il rayonne une onde
2
liée à son accélération γ = −ωo2 X e−iωo t à laquelle est associé le champ électrique :
L’atome émet un paquet d’ondes pendant un temps τ =
E=−
eωo2 X sin α i(kr−ωo t)
e
4πε0 c2 r
et une puissance rayonnée dans tout l’espace :
Z π
1
0
2
ε0 c E 2 r2 2π. sin α dα =
1
ωo2 e2
m ωo2 X 2 .
2
6π ε0 mc3
Cette valeur correspond à la puissance perdue par l’oscillateur :
−
dW
= Γ.W
dt
D’où en identifiant les deux expressions : Γ =
ωo2 e2
6π ε0 mc3
◦
1
Par exemple pour λ = 5900 A; ωo = 3, 2.1015 ; Γ = 6, 4.107 ; = 1, 6.10−8 et on vérifie bien que
Γ
Γ ¿ ωo .
La transformée de Fourier de x(t) ou de E(t)
donne la densité spectrale du train d’onde, d’intensité
Cte
(exercice 3.6) f 2 (ω) = Γ 2
. C’est
( 2 ) + (ω − ωo )2
une Lorentzienne de largeur à mi-hauteur
δω = Γ.
1
est la durée τ de x2 (t) ou E 2 (t), on retrouve la relation τ.δω = 1 établie au chapitre
Γ
2 pour un cosinus tronqué (on trouvait τ.δν = 1, le facteur 2π n’est pas essentiel, il dépend de
la forme du paquet d’ondes).
A cette largeur Γ en fréquence correspond une largeur de raie en longueur d’onde :
Comme
|δλ| = c
δλ =
|δν|
δω
Γ
= 2πc. 2 = 2πc. 2
2
νo
ωo
ωo
e2
µo e2
=
.
2
3ε0 mc
3m
◦
Cette largeur δλ = 1, 18.10−4 A est indépendante de la longueur d’onde. On l’appelle largeur naturelle
de raie. En pratique, les raies observées sont émises par des atomes en mouvement. Les raies
sont élargie par effet Doppler et leur largeur est bien supérieure à la largeur naturelle (100 fois).
36
(f)
Rayonnement isotherme. Corps noir
Les corps matériels, portés à une température déterminée, absorbent et émettent du rayonnement
électromagnétique, d’une manière qui dépend de leur température. L’équilibre thermique des
systèmes matériels peut se réaliser et se maintenir au moyen de rayonnement qui est une des
voies du transport de la chaleur (les deux autres étant la conduction et la convection). Une
enceinte limitée par des parois d’une matière donnée, qui contient éventuellement d’autres corps
matériels est baignée d’un rayonnement qui dépend de la température T , mais pas de la nature
des corps matériels, qu’on peut éventuellement observer à travers un petit trou (exemple d’un
four).
Un petit pinceau (1) de rayonnement qu’on fait
rentrer par le trou sera totalement absorbé à
l’intérieur de l’enceinte.
Notre oscillateur précédent peut être placé n’importe
où dans cette enceinte : 01 , 02 , 03 , . . ..
On réalise ainsi ce qu’on appelle un corps noir
dont la définition est d’absorber toutes les radiations incidentes (bons exemples : four, prunelle
noire des yeux !, apparence noire des fenêtres
vues de l’extérieur dans la journée !, velours noir,. . . ).
A l’inverse, le four émettra par le trou un rayonnement dont on peut mesurer l’intensité dans
une direction (2) qui fait un angle θ avec la normale à la surface élémentaire dS du trou.
Le rayonnement isotherme, ainsi qu’on peut l’appeler est homogène et isotrope à l’intérieur de
l’enceinte, on le caractérise par sa densité spectrale d’énergie u(ν) telle que u(ν)dν représente
l’énergie électromagnétique du rayonnement, par unité de volume, dont la fréquence est comprise
entre ν et ν + dν.
Quand on place l’oscillateur précédent n’importe où dans l’enceinte, un équilibre thermique se
réalise dans lequel l’oscillateur atteint une certaine énergie WT qui dépend de la température T
de l’enceinte. Cet équilibre est atteint quand la puissance moyenne communiquée par le rayone2
nement à l’oscillateur (d), soit :
u(νo ) est égale à la puissance rayonnée par l’oscillateur
12m ε0
(e), soit : Γ.WT . On en déduit avec la valeur de Γ déterminée en (e) :
u(νo ) =
8π νo2
WT
c3
Nous verrons ultérieurement que la mécanique classique conduit à WT = kT où T est la
1
température absolue et k la constante de Blotzmann (kT =
eV à 300 K).
40
On en déduit que, en mécanique classique, u(ν) → ∞ quand ν → ∞. C’est ce qu’on appelle
la catastrophe ultraviolette. La conséquence, inacceptable, est que la densité énergétique totale
Z ∞
u(ν) dν serait une intégrale divergente.
0
37
C’est pour résoudre cette contradiction que Planck (1900) a fait l’hypothèse que l’énergie de
l’oscillateur variait par quantités discrètes, les quanta et non de manière continue comme le veut
la mécanique classique.
La formule ci-dessus reste toujours valable, seule WT va changer. Nous reviendrons sur ce point
au chapitre 13 .
(g)
Variation de l’indice de réfraction avec la longueur d’onde.
Dispersion.
Le modèle de l’oscillateur donne également des renseignements remarquables sur la dispersion
de la lumière par les milieux matériels transparents.
Pour cela, il est nécessaire de connaı̂tre deux résultats simples des équations de Maxwell. D’une
part la polarisation P~ d’un milieu matériel y est définie comme le moment dipôlaire par unité de
volume du milieu.
~ et d’une
Dans le système MKS, cette polarisation s’exprime à partir du champ électrique E
constante εr , caractéristique du milieu et apellée permittivité relative ou constante diélectrique.
~ = ε0 (εr − 1)E
~
P
D’autre part, l’indice de réfraction n est lié à cette constante :
εr = n2 .
Supposons que le milieu matériel soit constitué de Nk oscillateurs par unité de volume, de
caractéristiques ωk et Γk . Chaque oscillateur est un électron de charge −e déplacé d’une quantité
x de sa position d’équilibre.
Par définition, au déplacement x est associé un moment dipôlaire −ex. Or x est solution de
l’équation :
d2 x
dx
e
+ Γk
+ ωk2 x = − Eox e−iωt
dt2
dt
m
Soit :
e2
m
−ex = E. 2
ωk − ω 2 − iωΓk
P =E
X
k
Nk e2
m
= ε0 (εr − 1)E .
ωk2 − ω 2 − iωΓk
Et :
n2 = εr = 1 +
P
k
Nk e2
m ε0
ωk2 − ω2 − iωΓk
La discussion de cette équation se simplifie quand on précise le domaine de fréquence ω de l’onde :
38
(g1) domaine des rayons X
ω À ωk À Γk
◦
Typiquement, l’onde correspond à des λ < 1000 A.
n2 ' 1 −
X Nk e2
1 X Nk e2
ωP X 2
2
=
1
−
(
)
en
posant
ω
=
PX
ω 2 k m ε0
ω
m ε0
k
ωP X
est très petit et on peut écrire :
ω
1 ωP X 2
(
)
2
ω
L’indice de réfraction d’une substance quelconque pour les rayons X est inférieur à l’unité
d’une quantité très petite ; la différence 1 − n est proportionnelle au carré de la longueur
1
λ2
d’onde ( 2 = 2o 2 ).
ω
4π c
On peut exprimer l’indice n à l’aide du rayon classique a de l’électron (voir (b)) :
n= 1−
n = 1 − δ en posant : δ =
λo =
2πc
est ici la longueur d’onde dans le vide.
ω
aλ2o X
Nk
2π
◦2
Exprimons aλ2o en cm−3 = 10−16 λ2o (exprimé en A ) × 2, 82.10−13
◦2
= 2, 82.10−29 λ2 (A )
P
Nk est le nombre total d’électrons par cm3
P
N0 Z
Nk = ρ (densité en gr.cm−3 ) ×
M
où N0 est le nombre d’Avogadro, Z le numéro atomique de la substance supposée élémentaire
Z
1
et M la masse atomique (en gr).
' . On en déduit :
M
2
−29
◦2
2, 82.10
1
δ=
. 6, 02.1023 . . ρ (gr.cm−3 ) λ2 (A )
2π
2
◦2
δ = 1, 35.10−6 ρ (gr.cm−3 ) λ2 (A ).
Pour la matière condensée ρλ2 ' 10 et δ ' 10−5 .
La valeur inférieure à l’unité de l’indice signifie qu’un faisceau de rayons X peut subir une
réflexion totale quand, venant du vide, il se réfléchit sur une surface qui limite un milieu
matériel.
En effet, sin i = n sin r ne donne un rayon
transmis dans le milieu matériel que pour
sin i
π
sin r =
< 1 soit sin i = cos( − i) < 1 − δ.
n
2
√
π
− i < θc avec θc = 2δ , il y a réflexion totale. Avec δ = 10−5 ,
2
rad. soit environ 15 minutes d’arc (un quart de degré).
Donc quand θ =
θc = 4, 5.10−3
39
Enfin la valeur inférieure à l’unité de l’indice signifie que la vitesse de phase v des rayons
X dans la matière est supérieure à la vitesse de la lumière. Par contre la vitesse de groupe
u est, comme il se doit, inférieure à c.
En effet, dans le milieu matériel l’onde est décrite par ei(kx−ωt) avec k = n ko . La vitesse
de phase :
ω
1 ω
c
= ( )= >c
k
n ko
n
ω
où ko est le vecteur d’onde dans le vide et c =
la vitesse de phase dans le vide. Pour
ko
dω
calculer la vitesse de groupe u =
, on peut écrire :
dk
1
dk
d ω
1 d
=
=
( )=
(nω)
u
dω r dω v
c dω
c
d
ωP X 2
d q 2
ω
1
=
[ω 1 − (
) ]=
ω − ωP2 X = q
=q
u
dω
ω
dω
2
1 − ( ωP X )2
ω2 − ω
v=
PX
soit :
ω
c
1
v
= =
u
n
c
uv = c2 et u = nc < c .
Noter que, par définition, u et v font intervenir k dans le milieu (n × ko dans le vide).
(g2) domaine du visible, isolant
ω < ωk , ωΓk ¿ ω 2
Nk e2
X mε
o
n2 ' 1 +
2 − ω2 > 1
ω
k
k
Nk e2
2 .
m
ε
ω
o
k
k
εo est ce qu’on appelle la constante diélectrique statique. C’est celle qui intervient pour un champ électrique
appliqué constant.
Quand ω → ∞ on retrouve le domaine des rayons X
ωP X 2
au-delà de ωP X : n2 → 1 − (
) .
ω
Quand ω → 0, n2 = εr → ε0 = 1 +
X
Pour chaque fréquence ωk , on a une discontinuité pour ω = ωk . L’indice est purement imaginaire entre ωk et ωP (n2 < 0). Comme ψ = ei(nko x−ωt) , cela signifie qu’une onde ne peut
pas se propager dans le milieu quand sa fréquence est comprise entre ωk et ωP .
2πc
2πc
Nk e2
, ωk =
, Ak =
(λo dans le vide), on peut écrire dans
λo
λk
m ε0 ωk2
le domaine visible :
En posant ω =
n2 = 1 +
X
k
Ak λ2o
λ2o − λ2k
Equation dite de Sellmeier (1871) qui rend parfaitement compte de la variation de l’indice
de réfraction d’un milieu transparent avec la longueur d’onde (la dispersion du milieu) dans
le domaine visible.
40
On a représenté n2 (ω) pour une bande d’absorption en fonction de ω. Ci-dessous, une
représentation de n(λ) pour deux bandes λ1 et λ2 .
Pour la bande d’absorption la plus proche du visible (λ1 ), on peut utiliser une équation
simplifiée due à Cauchy (1836).
n2 = 1 +
A1
λ21 λ41
'
1
+
A
(1
+
+
+ . . .)
1
λ2o λ4o
1 − ( λλ1o )2
Soit : n = A +
B
C
+ 4
2
λo λo
On se contente souvent des deux premiers termes
(A et B).
Quand on vérifie expérimentalement cette relation sur
un milieu transparent, on obtient de très bon résultats
dans le visible (P, Q, R) mais des déviations dans l’infrarouge (R). Les déviations apparaissent en R, une bande
d’absorption apparaı̂t (n2 < 0), puis on retrouve une
équation de Cauchy en S et T avec des coefficients
différents.
Cette bande infra-rouge est due aux vibrations des ions
eux-mêmes. Comme leur masse est plus élevée que celle
des électrons, les fréquences propres ωk correspondantes
sont plus petites et les λk plus grandes.
(g3) dispersion anormale
En général, l’indice de réfraction diminue quand la longueur d’onde augmente. Au voisinage
d’une fréquence ωk la variation est dans le sens inverse, on parle de dispersion anormale.
D’autre part, n ne devient pas infini quand ω → ωk où l’absorption de l’onde est maximum.
41
Pour une bande d’absorption au voisinage de ωo , n2 et εr s’écrivent en posant :
εr = ε0 + iε00 = (ν + iχ)2 = n2
c’est-à-dire en séparant les parties réelles et imaginaires de l’indice n = ν + i χ :
soit :
N e2
[ω 2 − ω 2 + iωΓ0 ]
m ε0 0
2
2
ν − χ + 2iνχ = 1 +
(ω02 − ω2 )2 + ω 2 Γ20
ν 2 − χ2 = 1 +
2νχ =
N e2
ω2 − ω2
. 2 02 2
mε0 (ω0 − ω ) + ω 2 Γ20
Ne2
ωΓ0
. 2
mε0 (ω0 − ω 2 )2 + ω 2 Γ20
Pour un gaz, à basse pression, on peut simplifier.
N est choisi assez petit pour que χ soit faible et ν voisin de 1.
D’autre part, on peut encore écrire en posant :
ω = ω0 + ε , (ω02 − ω 2 ) = (ω0 − ω)(ω0 + ω) ' −2ω0 ε et ω Γ0 ' ω0 Γ0 . Il vient :
ν = 1−
χ=
Ne2
ε
2
m ε0 ω0 Γ0 + 4ε2
N e2
Γ0
2m ε0 ω0 Γ20 + 4ε2
Par exemple, pour la raie D du sodium ω0 = 3.1015 , Γ0 = 2.1010 ,
νm = 1, 000415 et χm = 8, 3.10−4 .
N e2
= 1023 donne
m ε0
Le sens physique de ν et χ est simple : ν est toujours appelé indice de réfraction et χ la
constante d’absorption.
42
En effet, l’amplitude de l’onde életromagnétique qui se propage dans un tel milieu peut
s’écrire :
ψ = ei(nko x−ωt) = e−χko x ei(νko x−ωt)
(ko vecteur d0 onde dans le vide =
2π
)
λo
4πχx
1
L’intensité ψ
= e λo est donc réduite de
= 37% pour une distance parcourue
e
λo
par l’onde dans le milieu de
. Plus χ est grand plus cette distance est courte. Dans
4πχ
l’exemple précédent, 4πχm ' 10−2 et la distance est de 50µ (pourtant le gaz est très dilué).
∗
−
(g4) Propriétés optiques d’un métal (Drude, 1900)
Pour décrire une substance transparente isolante, nous avons supposé que tous les électrons
sont liés aux atomes avec des fréquences de rappel ωk . Dans un métal c’est également le
cas de tous les électrons, sauf ceux de valence (1 pour le cuivre, 2 pour le magnésium, 3
pour l’aluminium, 4 pour le silicium, par exemple). Ces électrons peuvent être considérés
comme constituant, ce qu’on appelle un gaz d’électrons libres de se propager dans le métal.
Ce gaz contribue à donner au métal ses propriétés optiques très caractéristiques. On peut
les décrire en reprenant le modèle de l’oscillateur, en prenant pour ces électrons ωk = 0.
On obtient alors :
εr = ε0 + iε00 = n2 = ν 2 − χ2 + 2iνχ
N e2
N e2 ω 2 − iωΓ
m ε0
= 1− 2
= 1−
ω + iωΓ
m ε0 ω 4 + ω 2 Γ2
ω2
soit : ν 2 − χ2 = 1 − 2 P 2
ω +Γ
et : 2νχ =
Γ
ω2
. 2 P 2
ω ω +Γ
en introduisant ωP2 =
N e2
m ε0
ωP est appelée fréquence de plasma du métal. Un plasma est un gaz ionisé. ωP diffère de
ωP X qui faisait intervenir tous les életrons : N Z. N est ici la seule densité des électrons
libres de valence (1 par atome pour Cu).
L’étude de la variation avec la fréquence des constantes optiques d’un métal χ et ν se fait
graphiquement.
Γ ¿ ωP et, pratiquement, ν 2 − χ2 s’annule pour ω = ωP .
43
Quand ω > ωP , on retrouve le domaine des rayons X. 2νχω est négligeable. Comme ω → ∞,
nécessairement νχ → 0 et comme ν 2 − χ2 → 1, nécessairement χ → 0. Il n’y a pas
d’absorption, le métal est transparent. Les électrons de valence contribuent à ν mais pour
ces fréquences tous les électrons deviennent libres. L’indice total est celui que nous avons
étudié en (g1) : n = 1 − δ.
Quand Γ ¿ ω < ωP , on couvre en particulier le domaine du visible. 2νχω reste négligeable
et donc on a encore νχ = 0. Mais maintenant ν 2 − χ2 < 0, c’est donc ν qui est nul.
λ
Comme χ 6= 0, l’onde ne peut plus se propager dans le métal (au-delà d’une distance
).
4πχ
Cela ne signifie pas qu’elle est absorbée.
En effet, on démontre facilement, avec les équations de Maxwell, que si une onde plane
arrive sur un métal sous incidence normale, le coefficient de réflexion R, défini comme le
rapport entre l’intensité de l’onde réfléchie et l’intensité de l’onde incidente s’écrit :
R=
(ν − 1)2 + χ2
(ν + 1)2 + χ2
On voit donc que dans ce domaine, puisque ν = 0, R = 1 : le métal est parfaitement réfléchissant.
C’est l’éclat métallique caractéristique , qui permet d’ailleurs d’utiliser les métaux comme
miroirs.
Enfin quand ω ¿ Γ, c’est le domaine des micro-ondes puis des radiofréquences.
ωP
ν 2 − χ2 ' −( )2 (de l’ordre de −10+6 ), une valeur constante (dès que ω ¿ ωP ) négative.
Γ
ν et χ ont toutes deux une valeur non nulle. Il y a absorption.
ωP2
→∞
ωΓ
Pour que ν 2 − χ2 devienne constante, nécessairement ν → χ et les deux constantes tendent
vers l’infini. On en déduit :
ωP
ν =χ= √
2Γω
Quand ω → 0, on doit retrouver la loi d’Ohm. Dans un champ électrique constant les
électrons vont acquérir une vitesse constante qui d’après l’équation :
2νχ →
m
sera égale à :v =
d2 x
dx
+m Γ
= −eE
dt
dt
dx
eE
=−
dt
mΓ
De sorte que si il y a N électrons de conduction par unité de volume (électrons de valence),
la densité de courant sera :
J = −N ev =
avec :
Ne2
E=σ E
mΓ
σ=
44
N e2
mΓ
On peut donc déduire
résistivité ρ).
Γ
d’une mesure de la conductivité statique σ (l’inverse de la
1
= 1, 56µΩ.cm
σ
(λ = 1134 Å).
Par exemple, pour le cuivre à la température ambiante N = 8, 47.1022 cm−3 ,
(1, 56.10−8 Ω.m) donne Γ = 3, 7.1013 (λ = 8, 1µ) et ωP = 1, 64.1016
On peut écrire les constantes optiques ν et χ à partir de σ :
ν =χ=
s
r
σ
2εo ω
λo
2
On introduit δ =
=
qu’on appelle épaisseur de peau du métal (l’amplitude
2π χ
σωµ0
1
de l’onde est réduite de
= 37% pour un parcours de δ). Pour le cuivre δ = 0, 66µ à
e
1010 Hz (λo = 3 cm).
45