6 - Diffusion d`une onde électromagnétique par un

6 - Diffusion d’une onde ´electromagn´etique
par un atome.
Objectif : Pour ´etudier la mati`ere, on utilise un rayonnement. La diffusion de ce rayonnement donne
des informations sur la structure de la mati`ere, un peu comme la figure de diffraction
d’une fente renseigne sur la structure (la forme) de la fente.
La diffusion des rayons X est d’usage courant et sera d´ecrite dans ses principes.
La diffusion de la lumi`ere visible permet de comprendre la variation de l’indice de r´efraction
des milieux transparents avec la longueur d’onde (la dispersion).
Etudier ces questions, c’est aussi rencontrer le premier mod`ele de l’atome : celui de
l’oscillateur m´ecanique d´evelopp´e par Helmholtz (1821-1894), Lorentz (1906) et Drude
(1900). Ce mod`ele, bien qu’utilisant la m´ecanique classique, donne une description simple
dont on retrouve les r´esultats en m´ecanique quantique avec une interpr´etation diff´erente
des param`etres utilis´es (une fr´equence propre d’oscillateur deviendra une transition en-
tre des niveaux d’´energie).
(a) Diffusion des rayons X par un atome
Ce sont les ´electrons qui diffusent les rayons X. Sous l’action du champ ´electrique d’une onde
´electromagn´etique incidente, chaque ´electron est soumis `a une vibration for¸c´ee.
Soit ψe(~q) le champ ´electrique de l’onde diffus´ee
par un ´electron plac´e `a l’origine, dans la direc-
tion d´efinie par ~q =~ k−−→ ko.
Soit n(~r)dτ le nombre d’´electrons dans un ´el´ement
de volume dτ au point ~r dans l’atome.
ψe(~q)n(~r)dτ serait l’amplitude diffus´ee par les
ndτ ´electrons plac´es `a l’origine.
ψe(~q)n(~r)e−i~q ~rdτ repr´esente l’amplitude diffus´ee
par les ndτ ´electrons au point M
(−−→ OM =~r).
L’amplitude totale diffus´ee par l’atome peut donc s’´ecrire :
ψ(~q) = ψe(~q)f(q)
avec f(~q) = Zatome e−i~q ~rn(~r)dτ
f(~q) est appel´e facteur de diffusion atomique, ou facteur de forme de l’atome.
Le facteur de diffusion atomique est la transform´ee de Fourier de la densit´e ´electronique.
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f(0)=Zatome n(~r)dτ =Z, le nombre atomique.
A titre d’exemple, on peut prendre n(r) = Z
4
3πR3
pour r < R et 0 si non.
On v´erifiera que dans ce cas f(q) s’annule pour
qR = 1,430π; c’est-`a-dire pour sin θ
2= 0,36 λ R. (Exercice 3.7).
(b) Diffusion des rayons X par un ´electron. (J.J. Thomson 1906)
L’objectif de ce paragraphe est de d´eterminer ψe(q), soit E, l’amplitude du champ ´electrique
diffus´e par un ´electron plac´e `a l’origine. Sous l’action du champ ´electrique de l’onde incidente
Eoxe−iωt, un ´electron plac´e `a l’origine peut ˆetre consid´er´e comme libre car toutes les fr´equences
propres de l’atome sont faibles devant ω(2π×3.1010
10−8'2.1019 pour λ= 1 ˚
A), en tout cas pour
un atome assez l´eger. L’´electron est mis en oscillation for¸c´ee par le champ, son d´eplacement x
v´erifie la loi de la m´ecanique :
md2x
dt2=−eEoxe−iωt
soit : x=eEox
mω2e−iωt et une acc´el´eration γx=−e Eox me−iωt. La charge ne peut pas suivre la
variation trop rapide du champ : le d´eplacement de l’´electron est oppos´e `a la force instantan´ee
mais l’acc´el´eration est bien entendu dans le sens de cette force (Fx=mγx).
On d´emontre (relativit´e ou rayonnement du dipˆole −ex en ´electromagn´etisme) qu’une charge q
(alg`ebrique), d’acc´el´eration γ, rayonne une onde ´electromagn´etique qui se r´eduit `a grande dis-
tance r`a une onde plane dont le champ ´electrique est dans le plan d´efini par ret γ.
On trouve (J.J. Thomson, 1906) :
E=q[γ] sin α
4πε0c2
1
r
[γ] signifie que E(r, t) fait intervenir γau temps t−r
c.
L’amplitude Ede l’onde diffus´ee ne d´epend que de la projection de l’acc´el´eration perpendicu-
lairement `a la direction d’observation.
Pour l’´electron vibrant en 0, on obtient au point Mle champ diffus´e Equ’on peut ´ecrire :
E=−a
rsin αEoxei(kr−ωt)
Avec une longueur ad´efinie en ´ecrivant
e2
4πε0a=mc2, a = 2,82.10−13cm.
aest appel´e le rayon classique de l’´electron.
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Le signe n´egatif de Esignifie que pour α=π
2, le champ rayonn´e en Modans la direction
incidente est en opposition de phase avec le champ incident au mˆeme point.
L’intensit´e diffus´ee I, d´efinie comme la puissance diffus´ee en Mpar unit´e de surface perpendi-
culaire `a ~r en ce point, vaut :
I=1
2ε0c E2.
Elle peut s’exprimer `a partir de l’intensit´e de l’onde incidente :
Io=1
2ε0c E2
ox ,
I
Io
= (a
r)2sin2α .
En pratique on utilise un d´etecteur dont l’ouverture est vue du point 0 sous l’angle solide dΩ,
c’est-`a-dire qui a une surface r2dΩ. La puissance d´etect´ee dP vaut :
dP =Ir2dΩ = Ioa2sin2αdΩ
On peut aussi ´ecrire que dP est proportionnelle `a l’intensit´e incidente Ioet `a l’angle solide
dΩ. Comme Ioest une puissance par unit´e de surface, le coefficient de proportionnalit´e est une
surface dσ par unit´e d’angle solide dΩ :
dP =Io
dσ
dΩdΩ
dσ
dΩest appel´ee section efficace diff´erentielle de diffusion.
On vient d’obtenir cette section efficace pour la diffusion des rayons X par un ´electron :
dσ
dΩ=a2.sin2α
mais ces notions sont tr`es g´en´erales et d´ecrivent tous les processus de diffusion .
La section efficace totale correspond `a l’intensit´e diffus´ee dans tous les angles possibles, on l’´ecrit
σT(Thomson) :
σT=Zπ
0
a2sin2α dΩ = a2Zπ
0
sin2α.2πsin α dα =8π
3a2
Nous avons suppos´e que l’onde incidente est polaris´ee, de champ ´electrique parall`ele `a −→ 0x. En g´en´eral
l’onde incidente n’est pas polaris´ee mais se d´ecompose en 2 ondes de mˆeme intensit´e Io
2cor-
respondant `a deux champs de mˆeme amplitude
Eox et Eoy. On peut choisir le plan 0yz con-
tenant le point Md’observation. Les deux ondes
sont incoh´erentes et les intensit´es diffus´ees s’ajoutent.
Eox donne un puissance diffus´ee Io
2a2dΩ (α=π 2)
et Eoy une puissance diffus´ee Io
2a2cos2θdΩ
(sin α= cos θ).
32

On en d´eduit, pour une onde incidente non polaris´ee, que :
dσ
dΩ=(1 + cos2θ) 2a2
A nouveau : Zdσ
dΩdΩ = σT=8π 3a2
L’intensit´e totale diffus´ee `a la distance rd’un ´electron est tr`es faible, le rapport I
Io
= 10−26
pour r= 2,82cm et on pourrait penser que l’intensit´e diffus´ee est trop faible pour ˆetre mesur´ee.
Cependant il faut se souvenir que mˆeme dans un milligramme de mati`ere condens´ee, il y a environ
1020 ´electrons, de sorte que la diffusion du rayonnement par la mati`ere n’est plus n´ecessairement
trop faible. De plus, les ondes diffus´ees par les diff´erents ´electrons sont coh´erentes et peuvent
interf´erer. Dans certaines directions, l’intensit´e diffus´ee par N´electrons sera ´egale `a N2fois celle
qui est diffus´ee par un seul ´electron ! C’est ce qui se passe pour l’atome dans la diffusion vers
l’avant puisque f(0) = Z, l’intensit´e vaut Z2a2. De fait, la diffusion des rayons X est aujourd’hui
un moyen courant d’´etudier la mati`ere.
(c) Diffusion dans le domaine visible. (Rayleigh, 1871)
Dans ce domaine, la fr´equence de l’onde incidente devient petite devant les fr´equences propres
ωode vibration d’un ´electron dans l’atome (g´en´eralement situ´ees dans l’U.V.).
L’´electron est soumis `a une force suppl´ementaire de rappel −kx.
En posant k=mω2
o, l’´equation du mouvement devient :
d2x
dt2+ω2
ox=−e
mEox e−iωt
Soit : x=−e Eox e−iωt
m(ω2
o−ω2)et une acc´el´eration : γx= +e Eox e−iωtω2
m(ω2
o−ω2)
Cette fois le d´eplacement de l’´electron est dans le mˆeme sens que la force instantan´ee et l’acc´el´eration
dans le sens du champ appliqu´e. Pour l’´electron vibrant en 0, on obtient au point Mle champ :
E= +a
rsin α . ω2 ω2
o−ω2. Eox ei(kr−ωt)
Le signe + signifie que dans ce cas, pour α=π
2, le champ rayonn´e en Modans la direction
incidente est en phase avec le champ incident au mˆeme point.
L’intensit´e diffus´ee peut s’´ecrire :
I
Io
=a2
r2sin2α(ω2 ω2
o−ω2)2
En pratique, ωoÀωet l’intensit´e varie comme ω4, c’est-`a-dire comme (1/λ)4. Comme la lumi`ere
rouge λ= 7.200 ◦
A, a une longueur d’onde 1,8 plus ´elev´ee que celle du violet λ= 4000 ◦ A, la loi
pr´edit (1,8)4ou 10 fois plus de lumi`ere bleue diffus´ee. La lumi`ere diffus´ee par le ciel paraˆıt donc
bleue et la lumi`ere transmise, au coucher du soleil, rouge orang´ee ou jaune suivant la nature de
l’atmosph`ere (vapeur d’eau, pollution, . . . ).
33

(d) Cas g´en´eral de l’oscillateur avec absorption.
On admet que l’´electron est ´egalement soumis `a une force de friction proportionnelle `a sa vitesse
−rdx
dt . En posant r=mΓ, o`u Γ est une fr´equence, l’´equation du mouvement se met sous
forme r´eduite :
d2x
dt2+ Γdx dt +ω2
ox=−e
mEox e−iωt
dont on cherche les solutions for¸c´ees sous la forme x=−xoei(ϕ−ωt).
Avec cette convention de signe, la phase ϕest nulle pour une vibration en phase avec la force
appliqu´ee (domaine visible (c)).
On en d´eduit :
xo=
e
mEox
p(ω2−ω2
o)2+ Γ2ω2et tg ϕ =Γω
ω2
o−ω2
En pratique Γ ¿ωoet les variations de xoet ϕse font au voisinage imm´ediat de ωo. On pose
pour d´ecrire ce voisinage, ω=ωo+εo`u εest petit. ω2−ω2
o= (ω+ωo)(ω−ωo)'2ωoεet
Γω'Γωo. Dans cette r´egion :
xo=xm
r1 + 4( ε
Γ)2
et tgϕ =−Γ
2εavec xm=eEox m.1 Γωo
La puissance instantan´ee P(t) absorb´ee par l’´electron est le produit de la force par la vitesse. Il
faut revenir dans ce calcul aux parties r´eelles, soit −eEox cos ωt pour la force et
˙x=−ωxosin(ϕ−ωt) pour la vitesse. On observe en fait la puissance moyenne P=P(t), soit,
puisque cos ωt. sin ωt = 0 et cos2ωt =1
2:
P=eEox
2ωxo.sin ϕ=e2 m
E2
ox
2.Γω2 (ω2−ω2
o)2+ Γ2ω2
La puissance moyenne absorb´ee est maximum Pm`a la r´esonance quand le d´eplacement est en
quadrature avec le champ (ϕ=π
2).
Pm=P(ωo) = e2
m.1 2E2
ox .1
Γ
Au voisinage de ce maximum, on peut encore remplacer
(ω=ωo+ε), ω2−ω2
opar 2ωoεet Γωpar Γωosoit :
P=Pm
Γ2
Γ2+ 4ε2
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