examen 2013 - ESPCI - Catalogue des Cours

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EXAMEN D'ELECTRONIQUE
PARTIE A
QCM sans documents ; durée : 45 mn ; barème : 8 points.
PARTIE B
Durée : 2 h 15 ; barème : 12 points.
Documents manuscrits et photocopies de transparents autorisés.
CHOIX : questions I.5.4 à I.5.6 ou partie II.
Les trois parties du problème peuvent être traitées de manière indépendante.
REMARQUES PRELIMINAIRES : rappelons quelques péchés mortels pour des ingé-
nieurs :
• omettre de vérifier l'homogénéité des formules littérales,
• omettre de s'assurer de la vraisemblance des ordres de grandeur (et des signes) des
résultats numériques,
• omettre de faire des approximations évidentes,
• se lancer dans des calculs abracadabrants sans réfléchir ; comme les années précé-
dentes, aucune question de ce problème ne nécessite plus de quatre ou cinq lignes
de calcul une fois que les équations sont correctement posées.
Il sera tenu le plus grand compte de la précision, de la clarté et de l'élégance de la rédac-
tion ; les "explications" constituées d'une suite d'équations séparées par des signes
⇒ sans commentaires ne sont pas acceptables.
L’examen n’est pas une course de vitesse. Faites le maximum de ce que vous pouvez
faire bien.
______________
On étudie dans ce problème quelques circuits fondamentaux utilisés en modulation de
fréquence.
Dans tout le problème, les courants de base des transistors bipolaires seront toujours
considérés comme négligeables devant les autres courants. On négligera l’effet Early.
Conformément aux conventions utilisées dans le cours, toutes les grandeurs représentées
par des lettres majuscules sont des grandeurs indépendantes du temps, sauf indication
contraire.

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I. Multiplieur analogique
I.1. On considère le circuit représenté sur la Figure 1.
Figure 1
On suppose que les transistors sont identiques ; ils sont polarisés afin qu'ils
fonctionnent en régime actif linéaire.
Exprimer Ic1 et Ic2 en fonction de IEE, V1 et
VT=kT q
(k est la constante de
Boltzmann, T la température absolue, q la valeur absolue de la charge de
l'électron).
I.2. On note
Ic1−Ic2=IEE f V1
( )
. Exprimer le plus simplement possible
f V1
( )
en fonction
de V1 et VT. Pour cela, on fera apparaître une fonction tangente hyperbolique.
I.3. En déduire une expression approchée de
f V1
( )
lorsque V1 << VT.
I.4. Le circuit représenté sur la Figure 2 est appelé "Multiplieur à deux quadrants" :
on va démontrer que sa tension de sortie est de la forme
VS = K V1 V2. (1)
Tous les transistors sont en régime actif. T1 et T2 sont identiques, T3 et T4 sont
identiques. L’impédance de charge du circuit est supposée infinie.
I.4.1. Écrire les deux équations qui expriment IEE en fonction de V2, VBE, VT, R et du
courant de saturation IS de T3 et T4.
I.4.2. En déduire l’expression du gain K de la relation (1), en fonction de VT, R, Rc
si V2 >> VBE et V1 << VT .
I.5. On considère à présent le circuit représenté sur la Figure 3 ("Multiplieur à quatre
quadrants"). Il permet de réaliser la même fonction que le précédent, mais les
tensions V1 et V2 ne sont pas soumises aux contraintes mentionnées à la question
I.4.2.

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Figure 2
Figure 3

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I.5.1. Exprimer Ic3 – Ic4 en fonction de Ic1 et
f V1
( )
; exprimer Ic5 – IC6 en fonction de
Ic2 et
f V1
( )
(on ne supposera pas que V1 >> VT ou que V2 >> VT).
I.5.2. Exprimer Ic1 – Ic2 en fonction de IEE et
f V2
( )
.
I.5.3. En déduire l'expression de ΔI = I1 – I2 en fonction de IEE,
f V1
( )
,
f V2
( )
.
Remplacer
f V1
( )
et
f V2
( )
par leurs expressions trouvées à la question I.2.
CHOIX : questions I.5.4 à I.5.6 ou partie II.
I.5.4. On considère le circuit représenté sur la Figure 4.
Figure 4
Le convertisseur tension/courant fournit deux courants I1 et I2 qui varient
de manière affine avec U :
I1 = I0 + K1 U
I2 = I0 − K1 U
Exprimer V en fonction de U, I0, K1, VT (on admettra que l'équation d'Ebers-
Moll s'applique lorsque VCB = 0 ; l’impédance de charge du circuit est
supposée infinie).

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I.5.5. En déduire l’expression de
th V
2VT
en fonction de U, K1, I0 (on rappelle que
eax =ex
( )
a
). Pour alléger l’écriture on pourra utiliser la variable intermédiaire
α =I0+K1U
I0−K1U
.
I.5.6. En déduire l’expression de VS en fonction de U1 et U2 pour le circuit de la
Figure 5. L’objectif indiqué dans l’introduction à la question I.5 est-il atteint ?
Figure 5
II. Discriminateur de phase
On applique à un multiplieur analogique (tel que celui qui a été étudié en I) deux
signaux carrés de même fréquence et de déphasage Φ (Figure 6).
II.1. Exprimer le déphasage Φ (en radians) en fonction de τ et T.
II.2. La tension de sortie du multiplieur vaut VS(t) = K V1(t) V2(t) . Établir l'expression
de la valeur moyenne de VS en fonction de Y1, Y2, K et Φ .