Problème 1. Réalisation d`un filtre.
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Régime harmonique 2 Problème 1. Réalisation d’un filtre. Le circuit représenté ci-dessous est alimenté entre les bornes d'entrée A, B, par un générateur de tension sinusoïdale de pulsation réglable, d’impédance interne négligeable qui fournit une tension u1 de valeur efficace U1constante. Les inductances sont pures et le condensateur est parfait. On donne : L = 2.10-3 H; C = 1,0.10-9 F. 1. Exprimer en fonction de , L, C et de Z 2 , impédance branchée à la sortie, l'impédance d'entrée Z1 , vue des points A1 et B1. 2. Déduire de ce calcul l'impédance caractéristique Z c , définie par la condition Z1 = Z 2 = Z c . 3. Pour quelles valeurs de la pulsation l’impédance caractéristique est-elle modélisable par un résistor de résistance Rc ? Dans toute la suite du problème, on branche à la sortie entre les bornes A 2 et B2 un résistor de résistance Rco égale à la valeur de Rc lorsque la pulsation tend vers zéro. Montrer que Rco = 2L . C 4. Donner l’expression de la fonction de transfert H (j ) x où o o u2 u1 , en fonction du seul paramètre 1 . On rappelle que la sortie est fermée sur Rco précédemment 2LC définie. 5. En déduire les expressions du module H et du déphasage retard de u2 par rapport à u1. 6. Tracer les courbes représentant H(x) en décibels en fonction de log x et (x) en fonction de log x. Préciser les asymptotes. Problème 2. Point matériel en contact avec une demi-sphère. Un point matériel A, de masse m, est astreint à se déplacer, sans frottement, sur la surface intérieure d'une demi-sphère creuse S. Cette surface tourne uniformément, à la vitesse angulaire , autour de son axe de révolution vertical. Sur la figure, on a représenté le référentiel terrestre noté Ro= Oxoyozo, supposé galiléen, Ozo étant la verticale ascendante, et le référentiel R= Oxyzo invariablement lié à S. On se propose d'étudier le mouvement de A par rapport à R. Pour cela, on projette les relations vectorielles dans la base de R, et on introduit la quantité étant Ilntensité du champ de pesanteur terrestre et ro le rayon de la derni-sphère. 1) Exprimer, en fonction des coordonées (x,y,z) de A par rapport à q, de leurs dérivées par d'entraînement et son accélération de Coriolis qui interviennent d@s la composition des mouvements de A par rapport à Pet Ao 2) Ecrire vectoriellement la loi fondamentale de la dynamique pour A dans son mouvement par rapport à 9 En déduire les équations différentielles auxquelles satisfont x, y et z, on mettra la force de réaction R qu'exerce S sur A sous la forme suivante que l'on justfiera: r oùr=OA r 0 3) Quelle est, en fonction de z, l'énergie potentielle de pesanteur de A? On prendra l'origine de l'énergie potentielle à z = 0. 4) Montrer que la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle. Sa référence étant aussi prise en z = 0. 5) Déduire l'énergie potentielle totale Ep de A. 2 2 w 6) Tracer le graphe de la fonction f u2+ 20 u dans le cas où 0,4. 1 Montrer que Ep · 0 r. 7) Ci@er qualitativement la tu des différents mouvements en z, suivant la valeur de l'énergie mécanique totale Em de A dans P( on se placera uniquement dans le cas où 2 0 = 0,4.) Q2 rapport au temps et de Q : la vitesse d'entrai7nernent de A son accélération Pour quelle valeur de l'énergie mécanique Em, le point A évolue-t-il en contact avec S dans un plan horizontal? Quelle est la cote zm correspondante en fonction de ro? 9) Ecrire l'équation vectorielle traduisant l'équilibre de A par rapport à q Interpréter cette condition en introduisant le champ de pesanteur g HA, H étant la projection de A sur l'axe de rotation Ozo. En déduire la cote ze, à l'équilibre, en fonction de ro. Comparer cette cote à zm et conclure.
