Un appareil très utilisé pour la séparation isotopique ou la

DEVOIR no. 4
TRANSMISSION DE CHALEUR AVANCÉE GMC751
Professeur M. Lacroix
(1)
Le problème suivant peut surgir lorsque le lubrifiant entre deux pièces mécaniques
mobiles est perdu et que, sous l’effet de la chaleur dissipée par le frottement, une des
pièces se met à fondre par contact direct.
Un bloc solide, fait d’une substance fusible, est pressé par une force normale  (N/m)
contre une surface plane qui glisse à la vitesse . Supposez que le bloc se trouve à sa
température de fusion . La température de la surface plane glissante est supérieure à
celle de fusion soit +. Le bloc solide se met à fondre par contact direct. Un mince
film liquide d’épaisseur  apparaît entre le bloc solide et la surface glissante. Ce film agit
comme lubrifiant. Afin de répondre aux questions suivantes, utilisez les paramètres et les
propriétés indiqués dans la figure.
1. Déterminez, à l’aide de l’équation de conservation d’énergie, le profil de
température dans le film liquide () .
2. Dressez un bilan d’énergie à l’interface solide liquide et obtenez une expression
algébrique pour la vitesse de fusion  en fonction de l’épaisseur du film  et des
paramètres ,,,.
3. Déterminez le profil de vitesse du film liquide () en recourant à l’équation de
conservation de la quantité de mouvement en . Le profil de vitesse est une
fonction du gradient de pression 
 et de ,,,.
4. Déterminez le flux de masse =()
.
5. Déterminez alors le profil de pression () dans le film liquide en recourant à
l’équation de conservation de la masse. () est une fonction de ,,,,.
6. Dressez un bilan des forces et déterminez la relation entre la force normale  et
les paramètres ,,,.
7. Avec les résultats obtenus en 2 et 6, éliminez l’épaisseur  et obtenez une
expression pour la vitesse de fusion  en fonction de ,,,,,,.
8. Déterminez la force tangentielle = 
.  est une fonction de
,,,.
9. Déterminez enfin le coefficient de frottement =
. Le coefficient  est une
fonction de ,,,,,,,. Comment le coefficient de frottement varie-t-il
en fonction de la force normale ?
10. L’expression pour le coefficient de frottement  a des applications surprenantes.
Vous êtes, par exemple, conseiller technique pour l’équipe nationale de bobsleigh
et de luge. Ces engins de course sont montés sur des patins qui glissent sur de la
glace. Quelles recommandations feriez-vous à l’équipe qui lui procureraient un
avantage sur les concurrents?

2
(2)
L’hiver, au Canada, les patinoires extérieures font la joie des enfants, petits et grands.
Pour faire une patinoire, on couvre le sol d’une couche d’eau d’épaisseur  puis on la
laisse geler. Mais combien de temps faut-il pour que la couche d’eau gèle complètement?
Et peut-on minimiser cette période de temps ? Voilà deux questions auxquelles on tentera
de répondre dans le présent problème.
Supposez que la couche d’eau se trouve à sa température de congélation =. La
température de l’air extérieur est de  (>). L’eau perd de la chaleur au profit de
l’air extérieur et une couche de glace d’épaisseur () se met à croître.  est le temps. Le
coefficient de convection qui prévaut à la surface de la couche de glace est de 
.
Partie I
1. Dressez un bilan d’énergie à la surface de la glace.
2. Dressez un bilan d’énergie pour la couche de glace et obtenez une équation
différentielle pour ().
3. Jumelez les résultats de 1 et 2 afin d’éliminer, dans l’équation différentielle, la
température à la surface de la glace .
4. Résolvez l’équation différentielle résultante et obtenez une expression algébrique
compacte et explicite de la forme =(,,,,
,,).  est le temps
pour que la couche d’eau d’épaisseur  gèle complètement. La condition initiale
est de (0)= 0. La conductivité thermique de la glace est de . Sa densité est de
. Sa chaleur latente de fusion est de .
x
P(x)
x=0
y=0
P(0)=0 P(L)=0
Film liquide
et d’épaisseur
Température
Vitesse
bloc isotherme
y
L
Fn
u
v
V

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5. Déterminez la valeur numérique de . Les données sont les suivantes :
= ; = ; = 1,9 
 ; =920  ;  =334   ;
=50 
;= 1,5  .
Partie II
Afin de réduire la période de temps nécessaire au gel de la couche d’eau d’épaisseur 
(les enfants sont impatients de sauter sur la patinoire), on propose de couvrir la patinoire
de  couches d’eau successives d’épaisseur /. Le temps nécessaire au gel de chacune
des couches d’eau d’épaisseur / est de . Le temps nécessaire pour couvrir la
patinoire d’une nouvelle couche d’eau d’épaisseur / est de .
1. Expliquez pourquoi cette stratégie peut réduire le temps de formation de la couche
de glace d’épaisseur .
2. Obtenez une expression algébrique compacte et explicite pour le temps total de
gel  de la couche de glace d’épaisseur .
3. Obtenez une expression algébrique compacte et explicite pour le nombre optimal
de couches minces  c’est-à-dire le nombre de couches qui minimise le temps .
4. Déterminez la valeur numérique de  pour =30 . Arrondissez  à l’entier
le plus près.
5. Déterminez enfin la valeur numérique de . Comparez  à  et tirez les
conclusions.
Glace
Eau
Sol
Air extérieur

4
(3)
Soit une bouilloire domestique (la bouilloire que vous utilisez le matin pour préparer le
café) de 1500 watts. L’élément chauffant cylindrique (5 mm de diamètre et 15 cm de
longueur) est submergé dans l’eau. On remplit la bouilloire avec un litre d’eau du robinet
qui se trouve à 50C.
1. Combien de temps faut-il attendre pour que la température de l’eau atteigne le
point d’ébullition?
2. Vous laissez l’eau bouillir quelques minutes. À quelle température s’établira la
surface de l’élément chauffant s’il est propre? Note : Corrélation pour ébullition
nucléée : Supposez que ,= 0,013;= 1.
3. L’eau du robinet est dure (riche en calcaire) et l’élément chauffant s’entartre à
l’usage. Estimez l’épaisseur de tartre à laquelle l’élément risque de brûler. La
conductivité du calcaire est d’environ 0.6W/mK. On considère que l’élément
chauffant est menacé quand la température de sa surface avoisine son point de
fusion soit environ 5000C. Qu’en concluez-vous?
Stratégie proposée
Exemple avec

5
(4)
Soit une paroi métallique et
mince d’un échangeur de
chaleur. Sa hauteur est de H =
50 cm. D’un côté de la paroi se
trouve de la vapeur d’eau
saturée à 1000C. Un film de
condensat se forme sur la
surface de la paroi. De l’autre
côté de la paroi se trouve de l’air
atmosphérique à 200C. Supposez
que la température de la paroi
est uniforme et égale à .
Supposez aussi que la résistance
thermique à travers la paroi est
négligeable. Déterminez :
1. La puissance thermique
transmise de la vapeur à l’air atmosphérique  en W/m.
2. Le débit massique de condensat  en kg/(m.s).
3. La température moyenne . Justifiez vos calculs.
Vapeur saturée
à 100
0
C
Condensation
par film
Plaque métallique mince
Air atmosphérique 20
0
C
H
Tw