Un appareil très utilisé pour la séparation isotopique ou la

DEVOIR no. 4
TRANSMISSION DE CHALEUR AVANCÉE GMC751
Professeur M. Lacroix
(1)
Le problème suivant peut surgir lorsque le lubrifiant entre deux pièces mécaniques
mobiles est perdu et que, sous l’effet de la chaleur dissipée par le frottement, une des
pièces se met à fondre par contact direct.
Un bloc solide, fait d’une substance fusible, est pressé par une force normale 𝐹𝐹𝑛𝑛 (N/m)
contre une surface plane qui glisse à la vitesse 𝑈𝑈. Supposez que le bloc se trouve à sa
température de fusion 𝑇𝑇𝑚𝑚 . La température de la surface plane glissante est supérieure à
celle de fusion soit 𝑇𝑇𝑚𝑚 + Δ𝑇𝑇. Le bloc solide se met à fondre par contact direct. Un mince
film liquide d’épaisseur 𝛿𝛿 apparaît entre le bloc solide et la surface glissante. Ce film agit
comme lubrifiant. Afin de répondre aux questions suivantes, utilisez les paramètres et les
propriétés indiqués dans la figure.
1. Déterminez, à l’aide de l’équation de conservation d’énergie, le profil de
température dans le film liquide (𝑦𝑦) .
2. Dressez un bilan d’énergie à l’interface solide liquide et obtenez une expression
algébrique pour la vitesse de fusion 𝑉𝑉 en fonction de l’épaisseur du film 𝛿𝛿 et des
paramètres 𝑘𝑘, Δ𝑇𝑇, 𝜌𝜌, 𝜆𝜆.
3. Déterminez le profil de vitesse du film liquide 𝑢𝑢(𝑦𝑦) en recourant à l’équation de
conservation de la quantité de mouvement en 𝑥𝑥. Le profil de vitesse est une
𝑑𝑑𝑑𝑑
fonction du gradient de pression 𝑑𝑑𝑑𝑑 et de 𝑦𝑦, 𝑈𝑈, 𝛿𝛿, 𝜇𝜇.
𝛿𝛿
4. Déterminez le flux de masse 𝑄𝑄 = ∫0 𝑢𝑢(𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑.
5. Déterminez alors le profil de pression 𝑃𝑃(𝑥𝑥) dans le film liquide en recourant à
l’équation de conservation de la masse. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) est une fonction de 𝑥𝑥, 𝑉𝑉, 𝛿𝛿, 𝜇𝜇, 𝐿𝐿.
6. Dressez un bilan des forces et déterminez la relation entre la force normale 𝐹𝐹𝑛𝑛 et
les paramètres 𝑉𝑉, 𝜇𝜇, 𝐿𝐿, 𝛿𝛿.
7. Avec les résultats obtenus en 2 et 6, éliminez l’épaisseur 𝛿𝛿 et obtenez une
expression pour la vitesse de fusion 𝑉𝑉 en fonction de 𝐹𝐹𝑛𝑛 , 𝜇𝜇, 𝑘𝑘, Δ𝑇𝑇, 𝜌𝜌, 𝜆𝜆, 𝐿𝐿.
𝐿𝐿
𝜕𝜕𝜕𝜕
8. Déterminez la force tangentielle 𝐹𝐹𝑡𝑡 = − ∫0 𝜇𝜇 �𝜕𝜕𝜕𝜕�
𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝐹𝐹𝑡𝑡 est une fonction de
𝐿𝐿, 𝜇𝜇, 𝑈𝑈, 𝛿𝛿.
9. Déterminez enfin le coefficient de frottement 𝐶𝐶𝑓𝑓
𝑦𝑦=0
=
𝐹𝐹𝑡𝑡
. Le coefficient 𝐶𝐶𝑓𝑓 est une
𝐹𝐹𝑛𝑛
fonction de 𝑈𝑈, 𝜇𝜇, 𝐹𝐹𝑛𝑛 , 𝜌𝜌, 𝜆𝜆, 𝐿𝐿, 𝑘𝑘, Δ𝑇𝑇. Comment le coefficient de frottement varie-t-il
en fonction de la force normale 𝐹𝐹𝑛𝑛 ?
10. L’expression pour le coefficient de frottement 𝐶𝐶𝑓𝑓 a des applications surprenantes.
Vous êtes, par exemple, conseiller technique pour l’équipe nationale de bobsleigh
et de luge. Ces engins de course sont montés sur des patins qui glissent sur de la
glace. Quelles recommandations feriez-vous à l’équipe qui lui procureraient un
avantage sur les concurrents?
y
Fn
L
bloc isotherme
P(0)=0
y=0
V
v
u
P(x)
x=0
Vitesse
Température
P(L)=0
x
Film liquide
et d’épaisseur
(2)
L’hiver, au Canada, les patinoires extérieures font la joie des enfants, petits et grands.
Pour faire une patinoire, on couvre le sol d’une couche d’eau d’épaisseur 𝐻𝐻 puis on la
laisse geler. Mais combien de temps faut-il pour que la couche d’eau gèle complètement?
Et peut-on minimiser cette période de temps ? Voilà deux questions auxquelles on tentera
de répondre dans le présent problème.
Supposez que la couche d’eau se trouve à sa température de congélation 𝑇𝑇𝑚𝑚 = 0℃. La
température de l’air extérieur est de 𝑇𝑇∞ (𝑇𝑇𝑚𝑚 > 𝑇𝑇∞ ). L’eau perd de la chaleur au profit de
l’air extérieur et une couche de glace d’épaisseur 𝑆𝑆(𝑡𝑡) se met à croître. 𝑡𝑡 est le temps. Le
coefficient de convection qui prévaut à la surface de la couche de glace est de ℎ�∞ .
Partie I
1. Dressez un bilan d’énergie à la surface de la glace.
2. Dressez un bilan d’énergie pour la couche de glace et obtenez une équation
différentielle pour 𝑆𝑆(𝑡𝑡).
3. Jumelez les résultats de 1 et 2 afin d’éliminer, dans l’équation différentielle, la
température à la surface de la glace 𝑇𝑇𝑜𝑜 .
4. Résolvez l’équation différentielle résultante et obtenez une expression algébrique
compacte et explicite de la forme 𝑡𝑡𝐻𝐻 = 𝑓𝑓(𝐻𝐻, 𝑘𝑘, 𝜌𝜌, ℎ𝑠𝑠𝑠𝑠 , ℎ�∞ , 𝑇𝑇𝑚𝑚 , 𝑇𝑇∞ ). 𝑡𝑡𝐻𝐻 est le temps
pour que la couche d’eau d’épaisseur 𝐻𝐻 gèle complètement. La condition initiale
est de 𝑆𝑆(0) = 0. La conductivité thermique de la glace est de 𝑘𝑘. Sa densité est de
𝜌𝜌. Sa chaleur latente de fusion est de ℎ𝑠𝑠𝑠𝑠 .
2
5. Déterminez la valeur numérique de 𝑡𝑡𝐻𝐻 . Les données sont les suivantes :
𝑊𝑊
𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑇𝑇𝑚𝑚 = 0℃ ; 𝑇𝑇∞ = −10℃ ; 𝑘𝑘 = 1,9
; 𝜌𝜌 = 920 3 ; ℎ𝑠𝑠𝑠𝑠 = 334
;
𝑚𝑚𝐾𝐾
𝑚𝑚
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑊𝑊
ℎ�∞ = 50 𝑚𝑚2 𝐾𝐾 ; 𝐻𝐻 = 1,5 𝑐𝑐𝑐𝑐 .
Air extérieur
Glace
Eau
Sol
Partie II
Afin de réduire la période de temps nécessaire au gel de la couche d’eau d’épaisseur 𝐻𝐻
(les enfants sont impatients de sauter sur la patinoire), on propose de couvrir la patinoire
de 𝑛𝑛 couches d’eau successives d’épaisseur 𝐻𝐻/𝑛𝑛. Le temps nécessaire au gel de chacune
des couches d’eau d’épaisseur 𝐻𝐻/𝑛𝑛 est de ∆𝑡𝑡𝑛𝑛 . Le temps nécessaire pour couvrir la
patinoire d’une nouvelle couche d’eau d’épaisseur 𝐻𝐻/𝑛𝑛 est de ∆𝑡𝑡𝑎𝑎 .
1. Expliquez pourquoi cette stratégie peut réduire le temps de formation de la couche
de glace d’épaisseur 𝐻𝐻.
2. Obtenez une expression algébrique compacte et explicite pour le temps total de
gel 𝑡𝑡𝑛𝑛 de la couche de glace d’épaisseur 𝐻𝐻.
3. Obtenez une expression algébrique compacte et explicite pour le nombre optimal
de couches minces 𝑛𝑛 c’est-à-dire le nombre de couches qui minimise le temps 𝑡𝑡𝑛𝑛 .
4. Déterminez la valeur numérique de 𝑛𝑛 pour ∆𝑡𝑡𝑎𝑎 = 30 𝑠𝑠. Arrondissez 𝑛𝑛 à l’entier
le plus près.
5. Déterminez enfin la valeur numérique de 𝑡𝑡𝑛𝑛 . Comparez 𝑡𝑡𝑛𝑛 à 𝑡𝑡𝐻𝐻 et tirez les
conclusions.
3
Stratégie proposée
Exemple avec
(3)
Soit une bouilloire domestique (la bouilloire que vous utilisez le matin pour préparer le
café) de 1500 watts. L’élément chauffant cylindrique (5 mm de diamètre et 15 cm de
longueur) est submergé dans l’eau. On remplit la bouilloire avec un litre d’eau du robinet
qui se trouve à 50C.
1. Combien de temps faut-il attendre pour que la température de l’eau atteigne le
point d’ébullition?
2. Vous laissez l’eau bouillir quelques minutes. À quelle température s’établira la
surface de l’élément chauffant s’il est propre? Note : Corrélation pour ébullition
nucléée : Supposez que 𝐶𝐶𝑠𝑠,𝑓𝑓 = 0,013; 𝑛𝑛 = 1.
3. L’eau du robinet est dure (riche en calcaire) et l’élément chauffant s’entartre à
l’usage. Estimez l’épaisseur de tartre à laquelle l’élément risque de brûler. La
conductivité du calcaire est d’environ 0.6W/mK. On considère que l’élément
chauffant est menacé quand la température de sa surface avoisine son point de
fusion soit environ 5000C. Qu’en concluez-vous?
4
(4)
Plaque métallique mince
Soit une paroi métallique et
mince d’un échangeur de
0
chaleur. Sa hauteur est de H =
Vapeur saturée
Air atmosphérique 20 C
0
à 100 C
50 cm. D’un côté de la paroi se
Tw
trouve de la vapeur d’eau
saturée à 1000C. Un film de
condensat se forme sur la
Condensation
surface de la paroi. De l’autre
par film
H
côté de la paroi se trouve de l’air
atmosphérique à 200C. Supposez
que la température de la paroi
est uniforme et égale à 𝑇𝑇𝑊𝑊 .
Supposez aussi que la résistance
thermique à travers la paroi est
négligeable. Déterminez :
1. La puissance thermique
′
transmise de la vapeur à l’air atmosphérique 𝑞𝑞 en W/m.
2. Le débit massique de condensat Γ′ en kg/(m.s).
3. La température moyenne 𝑇𝑇𝑊𝑊 . Justifiez vos calculs.
5