physique des particules histoire - theorie

Pierre BOUTELOUP
PHYSIQUE DES PARTICULES
HISTOIRE - THEORIE
PREMIERE PARTIE
EQUATION DE SCHRODINGER - EQUATION DE DIRAC
I- Equation de Schrödinger
1- L’équation
En 1923, de Bröglie postule qu’à toute particule d’impulsion P
est associée une onde de longueur d’onde λ = h/P ( h est la
constante de Planck, = h/2 π ). Cette dernière formule est
d’ailleurs invariante relativiste pour une onde telle que
2
 ω = m C . On explique alors les niveaux d’énergie discrets de
l’atome comme dus à des états d’ondes stationnaires électroniques.
En 1927 Schrödinger écrit une équation d’évolution pour les
ondes de matière : L’équation de Schrödinger .
2 2 2 2
∂ψ   ∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ 
i ------------ = - --------------------- ----------------- + ----------------- + ----------------- +qV ψ
∂ t 2 m
222
∂ x ∂ y ∂ z
pour une particule de charge q placée dans le potentiel V ; soit :
∂ψ
i ------------ = H ψ
∂ t
H est le hamiltonien .
2
Elle provient de la relation E = P /2 m par la substitution :
x x ∂
P ----------------L i  ∂ = - i ----------
∂ x
0 E 0 i  ∂
P = ------------------- -----------------------L i  ∂ = ------------------ --------
C C ∂ t
µ µ
donc P ---------------L i  ∂ . Dans le cas du potentiel électromagnétique
µ
A , il faut faire la substitution :
µ µ µ 0 i  ∂ V
P --------------------L i  ∂ - q A , ce qui donne P ---------------L ------------------ -------- - q ------------------
C ∂ t C
2- Succès de l’équation
D’une manière générale, les expériences en physique des
particules sont de trois types :
(1) d i f fus i on
(2) spec t ros copie (niveaux d’énerg ies d’états l iés)
(3) désintégr a tion : probab i li tés de transitions, durées de vies
1

Dans ces trois domaines, le succès de l’équation de Schrödinger
est total.
Ainsi, par exemple, elle redonne la formule de diffusion de
Rutherford des électrons par un noyau fixe car infiniment lourd.
Elle redonne tous les niveaux de l’atome d’hydrogène déjà
trouvés par le modèle de Bohr (1913, ancienne mécanique quantique,
c’est à dire : mécanique newtonienne + conditions de
quantifications adéquats). Elle est ensuite à la base de la
compréhension de la classification périodique des éléments, dont
elle fournit l’explication, puis à la base de toute la chimie,
même si la plupart des problèmes se résolvent par des méthodes
d’approximations.
Elle prédit correctement l’interaction d’un atome avec le champ
électromagnétique traité classiquement (sauf bien sûr l’émission
spontanée qui suppose de quantifier le champ électromagnétique.
3- Difficultés
2
Cette équation basée sur la relation E = P /2 m n’est pas
relativiste. Or l’électron dans l’atome est animée d’une vitesse
de l’ordre de C/137 (1/137 , constante de l’interaction
électromagnétique), C étant la vitesse de la lumière. Les
corrections relativistes (précessions des orbites, champ
magnétique apparent vu par l’électron en mouvement) doivent
intervenir (structure fine des niveaux). Ces corrections ont déjà
été trouvées dans le cadre de l’ancienne mécanique quantique par
Sommerfeld en 1916.
II- Equation de Dirac 1929
1- L’équation
On cherche une équation de la forme i  ∂ψ / ∂ t = H ψ basée sur
2 2 2 2 4
la relation E = P C + m C avec la substitution
µ µ
P ----------L i  ∂ .
Il vient :
∂ψ  1∂ψ 2∂ψ 3∂ψ  2
i ------------ = - i C α------------ + α------------ + α------------ + β m C ψ
∂ t  ∂ x ∂ y ∂ z
2- Succès de l’équation de Dirac
ψ ne peut être une fonction scalaire mais doit être un spineur
de Dirac :
1
 ψ 
2
 ψ  i
ψ = 3 les α et β sont des matrices 4 × 4 .
 ψ 
4
 ψ 
Il existe des solutions à énergies négatives qu’on ne peut pas
laisser de côté. Il faut les interpréter comme des antiparticules.
La confirmation vint par la découverte du positron par Carl
Anderson en 1932.
On retrouve alors automatiquement le spin avec :
2

1 0
0 1
: particule avec le spin en haut; : " spin en bas
0 0
0 0
0 0
0 0
: antiparticule avec le spin en haut; - " spin en bas
0 1
1 0
D’autre part, l’équation de Dirac redonne le bon rapport
gyromagnétique g = 2 pour le rapport entre le moment cinétique
et le moment magnétique de l’électron. C’est la seule
justification que l’on en ait, et cela laisse à penser que
l’électron est vraiment élémentaire.
Elle redonne la structure fine de l’atome d’hydrogène obtenue
par Sommerfeld.
3- Difficultés
C’est une équation d’onde pour une particule. Or, dans certains
cas (barrière de potentiel, paradoxe de Klein, 1930) il apparaît
des fréquences nouvelles qu’il faut interpréter comme la création
de nouvelles particules.
DEUXIEME PARTIE
THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS
I- Quantification du champ électromagnétique
1- Introduction
Le but est d’avoir une théorie dynamique correcte du photon
découvert par Einstein (effet photoélectrique, 1905), c’est à dire
de l’aspect particulaire du champ électromagnétique. Il faut en
effet réconcilier l’aspect ondulatoire et corpusculaire de ce
champ. Il faut d’autre part pouvoir expliquer l’émission spontanée
d’un photon par un atome, qui n’est pas trouvée lorsqu’on traite
classiquement le champ électromagnétique.
2- Quantification effective
La quantification est faite par Born, Jordan et Heisenberg
(Novembre 1925).
Prenons une corde attachée à deux points fixes :
11
jl
11
Tout mouvement de la corde peut être décomposé en superposition
d’ondes stationnaires, les modes propres.
3

1 1 1 111
j l j ljl
1 1 1 111
Il en est de même pour un cerceau vibrant, mais là, les ondes
peuvent être progressives.
Le cas du champ électromagnétique ressemble plutôt au cerceau,
puisque l’on aura des ondes progressives d’impulsions déterminées.
Chaque onde peut être décrite quantiquement comme un oscillateur
harmonique. Or dans le traitement quantique de l’oscillateur
harmonique, on a des opérateurs de création et d’annihilation qui
peuvent faire apparaître ou disparaître une unité (  ω ) d’énergie
de vibration.
3- Résumé de la quantification du champ électromagnétique
1 ) Le champ électromagnétique peut être décrit en terme de
superposition des modes normaux d’oscillations.
2) Chaque mode normal est dynamiquement équivalent à un simple
oscillateur harmonique.
3) Un oscillateur harmonique a des niveaux d’énergie discrets et
équidistants d’espacement h ν , avec h la constante de Planck et
ν la fréquence classique de l’oscillateur.
4) L’état du champ quantifié est complètement décrit par le niveau
d’excitation de chaque mode normal.
5) Si un mode particulier est au n˚ niveau d’excitation, alors
l’énergie correspondante est n h ν , comme s’il y avait n
particules d’énergie h ν présentes.
6) Un tel état est également état propre de l’impulsion du champ
électromagnétique. Les valeurs propres sont les composantes d’un
vecteur d’amplitude n h ν /C dans une direction particulière.
7) Mathématiquement, à un état correspond un vecteur dans un
espace de Hilbert appelé espace de Fock. A une grandeur mesurable,
4

champ électrique, etc correspond un opérateur local, exemple :
∧
E (M,t) . Les valeurs propres de ces opérateurs sont les résultats
x
de mesures possibles, exemple : E (M,t) .
x
8) Le caractère dual, ondulatoire et corpusculaire du champ
électromagnétique est réconcilié. Le côté particulaire correspond
au vecteur d’état dans l’espace de Fock; le côté ondulatoire
∧ ∧
correspond au fait que les opérateurs champ E, B, etc obéissent à
des équations d’ondes.
9) Le mot " photon " symbolise cet aspect "particulaire" des
excitations du champ électromagnétique.
10) La complète indiscernabilité des photons découle directement
de cette description, car ils ne sont pas des entités séparables.
4- Succès
Parmi les résultats de l’optique quantique, citons l’obtention
de l’émission spontanée avec la valeur correcte de la probabilité
correspondante, c’est à dire, la durée de vie des états atomiques;
les sections efficaces des diffusions Rayleigh et Thomson de la
lumière, la section efficace pour l’effet photoélectrique;
l’interaction de la lumière avec la matière, permettant de
comprendre l’origine de l’indice de réfraction, la fluorescence de
résonance etc.
D’un autre côté, on retrouve complètement l’approximation
classique de l’onde électromagnétique dans le cas d’un très grand
nombre de photons en cohérence.
5- Fluctuations du champ électromagnétique du vide
La quantification du champ électromagnétique apporte le résultat
spectaculaire et nouveau que dans le vide, il se produit
spontanément des fluctuations de ce champ électromagnétique.
a) Existence théorique des fluctuations
L’oscillateur harmonique correspond au mouvement d’une particule
massique dans un puit de potentiel parabolique :
Le traitement quantique apporte ceci de fondamental que l’état
d’énergie minimale n’est pas le repos d’énergie nulle; c’est un
état ayant un mouvement résiduel et d’énergie E = 1/2  ω . Ce
résultat vient de la relation d’incertitude de Heisenberg
∆ x ∆ P ≥  impliquant l’impossibilité du repos en un point précis
avec ∆ x=0, ∆ P=0.
Puisque chaque mode normal du champ électromagnétique correspond
5