electromagnetisme ondes

G.P. Électromagnétisme Ondes 2013
ÉLECTROMAGNÉTISME ONDES
Sommaire
Chap 4.0: Introduction aux ondes.........................................................................................................5
I.Définition.......................................................................................................................................5
A.Onde : phénomène de propagation d'une vibration, suite à une perturbation.........................5
B.Exemples.................................................................................................................................5
II.Équation d'onde de LE ROND D'ALEMBERT............................................................................6
A.L'équation à une dimension.....................................................................................................6
B.Propriétés.................................................................................................................................6
1.Renversement du temps, t-réversibilité.................................................................................6
2.Célérité de l'onde...................................................................................................................8
C.Résolution pour des ondes monochromatiques.......................................................................8
1.Intérêt des ondes monochromatiques....................................................................................8
2.Deux écritures possibles pour la solution..............................................................................9
a.Notation complexe..........................................................................................................9
b.Équation différentielle....................................................................................................9
c.Résolution de l'équation différentielle..........................................................................10
D.Ondes progressives................................................................................................................11
1.Représentation en fonction du temps au point origine O et en un point M d'abscisse x.....11
2.Représentation en fonction de x à deux instants différents.................................................12
3.Période, longueur d'onde, vitesse de phase.........................................................................12
a.Surfaces d'onde.............................................................................................................12
b.Période..........................................................................................................................12
c.Longueur d'onde...........................................................................................................13
d.Vitesse de phase............................................................................................................13
e.Relation longueur d'onde période.................................................................................13
4.Phase à l'origine, retard de phase dû à la propagation.........................................................13
a.Conventions de signe....................................................................................................13
b.Phase à l'origine............................................................................................................14
c.Déphasage.....................................................................................................................14
d.Retard de propagation...................................................................................................14
5.Onde incidente et onde réfléchie.........................................................................................15
E.Ondes stationnaires................................................................................................................16
1.Représentation en fonction de x à des instants différents....................................................16
2.Nœuds et ventres.................................................................................................................17
a.Nœuds...........................................................................................................................17
b.Ventres..........................................................................................................................17
c.Fuseaux.........................................................................................................................17
d.Phase ............................................................................................................................17
F.Forme de la solution à adopter...............................................................................................17
1.Passage d'une forme à l'autre...............................................................................................17
a.Une onde stationnaire se décompose en une somme de deux ondes progressives.......17
b.Une onde progressive se décompose en une somme de deux ondes stationnaires.......18
2.Choix de la solution.............................................................................................................18
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III.OPPM généralisation.................................................................................................................18
A.Introduction de la notation....................................................................................................18
B.Notation complexe................................................................................................................19
C.Généralisation........................................................................................................................20
Chap 4.1: Ondes dans le vide.............................................................................................................21
I.Équations de MAXWELL............................................................................................................21
A.Les équations locales.............................................................................................................21
1.équation de MAXWELL-GAUSS.......................................................................................21
2.équation de MAXWELL-FARADAY.................................................................................21
3.équation de MAXWELL-flux.............................................................................................21
4.équation de MAXWELL-AMPÈRE....................................................................................21
B.Le couplage et l'existence prévisible d'ondes électromagnétiques........................................22
C.Les quatre équations intégrales correspondantes..................................................................22
1.Les théorèmes utiles............................................................................................................22
2.Les quatre équations intégrales...........................................................................................23
II.Équations de MAXWELL dans le vide......................................................................................24
A.Les équations locales dans le vide.........................................................................................24
1.équation de MAXWELL-GAUSS.......................................................................................24
2.équation de MAXWELL-FARADAY.................................................................................24
3.équation de MAXWELL-flux.............................................................................................24
4.équation de MAXWELL-AMPÈRE....................................................................................24
B.Les quatre équations intégrales correspondantes..................................................................24
III.Équations de propagation pour E et B.......................................................................................25
A.Champ électrique...................................................................................................................25
B.Champ magnétique................................................................................................................25
C.Remarques.............................................................................................................................26
IV.Solutions en onde plane OP et onde plane progressive OPP.....................................................27
A.Définitions.............................................................................................................................27
B.Résultats OPP........................................................................................................................27
C.Résultats OP..........................................................................................................................28
V.Le cas particulier de l'onde plane progressive monochromatique OPPM...................................28
A.Intérêt....................................................................................................................................29
B.Définition...............................................................................................................................29
C.Démonstration des résultats...................................................................................................30
1.Expression des opérateurs...................................................................................................30
2.Écriture des équations de MAXWELL pour l'OPPM.........................................................30
3.Équation de dispersion........................................................................................................32
a.À partir de l'équation de propagation............................................................................32
b.À partir de MF et MA...................................................................................................32
c.Vitesse de phase............................................................................................................33
4.Résultats..............................................................................................................................33
VI.Paquet d'ondes...........................................................................................................................33
A.Définitions.............................................................................................................................33
B.Vitesse de groupe...................................................................................................................34
VII.Compléments...........................................................................................................................35
A.Forces....................................................................................................................................35
B.Énergie pour une OPPM........................................................................................................36
1.Densité volumique d'énergie en J.m-3.................................................................................36
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2.Vecteur densité volumique de courant d'énergie électromagnétique ou vecteur de
POYNTING en Wm-2 ...........................................................................................................36
3.Vitesse de propagation de l'énergie.....................................................................................37
4.Grandeurs énergétiques moyennes dans le temps...............................................................37
C.Aspect corpusculaire.............................................................................................................38
Chap 4.2: Polarisation........................................................................................................................39
I.Définition.....................................................................................................................................39
II.Les 3 cas de polarisation.............................................................................................................39
A.Polarisation rectiligne............................................................................................................39
B.Polarisation circulaire............................................................................................................39
C.Polarisation elliptique............................................................................................................40
III.Intensité.....................................................................................................................................40
A.Intensité pour une OPPM......................................................................................................40
B.La loi de MALUS..................................................................................................................40
C.Polarisation rectiligne d'une lumière naturelle (non polarisée).............................................40
Chap 4.3: Dispersion dans un plasma dilué........................................................................................42
I.Définition.....................................................................................................................................42
II.Équation de dispersion................................................................................................................42
A.Notations...............................................................................................................................42
B.Équation de propagation dans un plasma..............................................................................42
C.Équation de dispersion..........................................................................................................43
D.Les deux cas..........................................................................................................................44
1.Propagation..........................................................................................................................44
2.Onde évanescente................................................................................................................45
a.Vecteur k.......................................................................................................................45
b.Expression de E ...........................................................................................................45
c.Expression de B............................................................................................................45
d.Expression de π ............................................................................................................45
Chap 4.4: Réflexion sur un plan conducteur parfait...........................................................................47
I.Ondes incidente et réfléchie.........................................................................................................47
A.Onde incidente dans le vide..................................................................................................47
B.Onde réfléchie.......................................................................................................................47
II.Onde totale..................................................................................................................................47
A.Champs..................................................................................................................................47
B.Densités de charge et de courant apparues sur le plan..........................................................48
C.Nœuds et ventres...................................................................................................................48
D.Aspect énergétique................................................................................................................49
Chap 4.5: Guide d'onde......................................................................................................................50
I.Forme de la solution.....................................................................................................................50
II.Équation de dispersion................................................................................................................51
III.Solution......................................................................................................................................52
IV.Vitesse de propagation de l'énergie............................................................................................52
A.Utilisation des grandeurs complexes.....................................................................................52
1.Expression de la valeur moyenne dans le temps <E B >.....................................................52
2.Expression de la valeur moyenne dans le temps <E2>.......................................................53
3.Résultats..............................................................................................................................53
B.Principe de calcul..................................................................................................................53
C.Calcul et résultat....................................................................................................................54
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Chap 4.6: Rayonnement du dipôle.....................................................................................................56
I.Expression du potentiel vecteur...................................................................................................56
II.Champ dans la zone de rayonnement.........................................................................................57
A.L'approximation....................................................................................................................57
B.Les expressions de B et de E.................................................................................................58
C.Application: champ créé par une antenne.............................................................................58
Mis à jour 01/2013
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G.P. Électromagnétisme Ondes 2013
Chap 4.0: Introduction aux ondes
I. Définition
A. Onde : phénomène de propagation d'une vibration,
suite à une perturbation.
Une onde est une modification d'une propriété de l'espace variable à la fois dans l'espace et le
temps. On désigne la grandeur qui oscille, ou onde, par
x ,t 
dans le cas d'une onde à une
dimension d'espace
x
.
Le phénomène de propagation se traduit par le fait que la fonction
x ,t 
dépend d'une
fonction couplant l'espace et le temps. Cette fonction
 x , t
est appelée la phase de l'onde
progressive. Une surface de phase, encore appelée surface d'onde, est l'ensemble des points atteints
au même instant par l'onde (c'est donc l'ensemble des points vérifiant
 x ,t=constante
à
t
donné).
B. Exemples
•Par exemple, pour une corde qui oscille, l'onde
x ,t 
correspond à la déformation
verticale à l'instant
t
du point de la corde situé à l'abscisse
x
. Il ne faut pas confondre le
déplacement de l'onde progressive (vers la droite sur l'exemple) et le déplacement du point
de la corde (vers le haut sur l'exemple).
•Par exemple, pour une onde sonore (tranches d'air qui vibrent) causée par une membrane de
haut-parleur suffisamment grande pour que le phénomène dans la zone considérée puisse
être considéré invariant selon
y
et
z
, le déplacement d'une tranche d'air est noté:
x ,t 
. Les ondes sont des ondes planes. Il ne faut pas confondre le déplacement de
l'onde progressive qui parcourt des distances importantes et le déplacement d'une tranche
d'air qui oscille très peu localement.
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x
Onde Ψ (x,t)
Direction de propagation pour onde progressive
L'onde sur une corde est transversale