Sans titre - UFR 6 - Université Paris 8

Universit´ e Paris 8 — U.F.R. M.I.T.S.I.C. Logique et Complexit´ e— Printemps 2013
Examen final — 4 juin 2013
la carte d’´ etudiant est obligatoire
aucun appareil ´ electronique n’est autoris´ e
aucun document n’est autoris´ e
sont interdits : communication, sacs et vˆ etements sur la table.
Indiquez vos nom, pr´enom, num´ero sur chaque copie. — Dur´ee : 3h — Bar`eme 9 3 3 5
Exercice 1 Questions de cours. — cdf1pt, abeg1,5pt
a) Donnez la d´efinition de la classe des fonctions r´ecursives.
b) Donnez une interpr´etation algorithmique de chacune des op´erations C,M,Rsur les fonctions.
c) Citez un probl`eme insoluble par algorithme ? (pas seulement son nom mais aussi son ´enonc´e)
d) Citez une fonction r´ecursive, d´efinie partout, mais pas r´ecursive primitive.
e) Qu’affirme la Th`ese de Church - Turing ?
f) Dans son article de 1936, de quoi A. Turing affirme-t-il s’ˆetre inspir´e pour ´elaborer ses machines ?
g) Dans cet article, il est ´egalement question de “machines universelles”. Expliquez de quoi il s’agit.
Exercice 2 a) D´ecrivez une machine `a registres qui calcule la fonction f:n→ nmod 3.
b) D´ecrivez une machine `a registres qui calcule la fonction g:n→ 1 si nest multiple de 3
0 sinon.
c) La fonction gest-elle calculable par machine de Turing ?
Exercice 3 a) Soient une application f:IN →IN et Mune machine de Turing.
Rappelez la d´efinition de “Mcalcule f”.
b) Soit f0:IN →IN d´efinie seulement en 0 : f0(0) = 0 et f0non d´efinie en n= 0.
Fabriquez une machine de Turing (alphabet au choix) qui calcule f0.
c) Cette fonction est-elle r´ecursive ? r´ecursive primitive ?
Exercice 4 On consid`ere un codage effectif des machines de Turing et on d´efinit la fonction sh :
IN →IN
a→ 2 si an’est pas le code d’une M. de T. `a 1 argument,
1 si aest le code d’une M. de T. `a 1 argument qui s’arrˆete pour l’entr´ee a,
0 si aest le code d’une M. de T. `a 1 argument qui ne s’arrˆete pas pour l’entr´ee a.
On d´efinit ensuite f:a→ 0 si sh(a) = 0,
non d´efini si sh(a) = 1 ou 2.
a) Montrez que si sh est calculable alors fest calculable.
b) Soit Mune M. de T. `a 1 argument, de code a. Montrez que :
Ms’arrˆete si on lui fournit l’entr´ee assi fn’est pas d´efinie en a.
La machine Mcalcule-t-elle la fonction f?
c) D´eduisez de la question pr´ec´edente que fn’est pas calculable par M d T. La fonction sh l’est-elle ?
d) Soit X={a∈IN |sh(a)=0}. Montrez que si Xest d´ecidable alors sh est calculable. Qu’en
d´eduisez-vous au sujet de X?

Universit´ e Paris 8 — U.F.R. M.I.T.S.I.C. Logique et Complexit´ e— Printemps 2012
Examen final — 29 mai 2012
la carte d’´ etudiant est obligatoire
aucun appareil ´ electronique n’est autoris´ e
aucun document n’est autoris´ e
sont interdits : communication, sacs et vˆ etements sur la table.
Indiquez vos nom, pr´enom, num´ero sur chaque copie. — Dur´ee : 3h — Bar`eme 10 2 3 2 3
Exercice 1 Questions de cours.
a) Qu’est-ce qu’une fonction calculable ?
b) Existe-t-il des probl`emes insolubles par algorithme ? (Justifiez.)
c) Donnez la d´efinition de la classe des fonctions r´ecursives.
d) Existe-t-il une fonction calculable par machine de Turing et pas r´ecursive primitive ? (Justifiez.)
e) Existe-t-il une fonction calculable par machine de Turing et pas r´ecursive ? (Justifiez.)
f) Qu’affirme la Th`ese de Church - Turing ?
g) Dans son article de 1936, Turing r´esout, par la n´egative, un probl`eme tr`es important `a l’´epoque,
pos´e par Hilbert. Ce probl`eme est ´evoqu´e dans le titre de l’article. De quoi s’agit-il ?
h) Dans cet article, un autre grand probl`eme, `a saveur informatique est `a la fois pos´e et r´esolu,
toujours n´egativement. De quel probl`eme s’agit-il ?
i) Montrez que si f:IN →IN est r´ecursive et totale alors Z={n∈IN |f(n)=0}est d´ecidable.
j) Quel est l’objet de la th´eorie de la complexit´e ?
n.b. Dans les questions get h, le nom du probl`eme n’est pas suffisant, il faut d´ecrire son contenu.
Exercice 2 a) Trouvez un algorithme qui calcule la fonction f∅:IN →IN d´efinie nulle part.
b) Expliquez pourquoi cette fonction n’est pas r´ecursive primitive.
Exercice 3 a) Soit gd´efinie sur IN 2par g(a, b) = reste de la division de a+bpar 3.
Soit fd´efinie par minimisation M `a partir de g. Que vaut f(a) pour a∈IN ?
b) Soit h0= 0 (fonction `a 0 argument) et h2:IN 2→IN telle que h2(a, b)=add(a, s(b)) = a+b+1.
On consid`ere fd´efinie par r´ecursion R `a partir de h0et h2. Que vaut f(a) pour a∈IN ?
Exercice 4 Soient (An)n∈IN des sous-ensembles de IN . On consid`ere B={n∈IN |n/∈An}.
Montrez que Bn’est pas dans la liste (An)n∈IN .
Exercice 5 Soit la fonction nul :IN →IN telle que nul(a)= 1sia=0
0 si a=0.
D´ecrivez a) une machine `a registres, b) une machine de Turing, qui calculent nul.

Universit´ e Paris 8 — U.F.R. M.I.T.S.I.C. Logique et Complexit´ e— Printemps 2011
Examen final — 27 mai 2011
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aucun document n’est autoris´ e
sont interdits : communication, sacs et vˆ etements sur la table.
Indiquez vos nom, pr´enom, num´ero sur chaque copie. — Dur´ee : 3h — Bar`eme 5 5 6 4
Exercice 1 Calculable/R´ecursif
a) Qu’est-ce qu’une fonction calculable ?
b) Y a-t-il une diff´e r e n c e e n t r e “calculable” et “calculable par machine de Turing” ?
c) Y a-t-il une diff´e r e n c e e n t r e “calculable” et “r´ecursive” ?
d) Montrez que si f:IN →IN est r´ecursive et totale alors Z={n∈IN |f(n)=0}est d´ecidable.
e) Soit X⊂IN tel qu’il existe deux fonctions r´ecursives fet gayant la propri´et´e, pour f,d’ˆetre
d´efinie seulement sur Xet, pour g,d’ˆetred´efinieseulementsur ¯ X. Montrez que Xest d´ecidable.
n.b. Un ensemble est d´ecidable si sa fonction caract´eristique est r´ecursive, ou encore, s’il existe un algorithme capable
de d´ecider si une entr´ee appatient ou pas `a cet ensemble.
Exercice 2 L’article de Turing
a) De quelle ann´ee date l’article d’A. Turing o`u sont introduites ses machines ?
b) De quoi Turing s’est-il inspir´e, selon ses propres mots, pour ´elaborer ses machines ?
c) Dans cet article, Turing r´esout, par la n´egative, un probl`eme tr`es important `a l’´epoque, pos´e
par Hilbert. Ce probl`eme est ´evoqu´e dans le titre de l’article. De quoi s’agit-il ?
d) Dans cet article, il est ´egalement question de “machines universelles”. Expliquez de quoi il s’agit.
e) Dans cet article, un autre grand probl`eme, `a saveur informatique est `a la fois pos´e et r´esolu,
toujours n´egativement. De quel probl`eme s’agit-il ?
n.b. Dans les questions cet e, le nom du probl`eme n’est pas suffisant, il faut expliquer son contenu.
Exercice 3 a) D´ecrivez une machine `a registres qui calcule le p.g.c.d. de deux nombres charg´es
dans les registres R1 et R2. Les machines ´el´ementaires vues en cours, comme le transfert d’une
valeur dans un registre, peuvent ˆetre utilis´ees. Mais il est recommand´e de ne pas utiliser la machine
calculant la division euclidienne et de penser plutˆot aux propri´et´es : pgcd(a, b)=pgcd(a−b, b)et
pgcd(a, 0) = a.
b) Si vous faites calculer `a votre machine le p.g.c.d. de 126 et 102, combien d’incr´ementations et
de d´ecr´ementations sont n´ecessaires pour mener le calcul `a son terme ?
c) Finalement, quel est l’obstacle majeur `a l’utilisation des machines `a registres en th´eorie de la
complexit´e, i.e. comme outil de mesure de la complexit´e des algorithmes ?
Exercice 4 a) Expliquez pourquoi la division euclidienne pos´ee, apprise `a l’´ecole ´el´ementaire,
est un algorithme dont la complexit´e en temps, consid´er´ee dans le pire des cas, est polynomiale en
la taille des donn´ees.
b) On peut v´erfier facilement que si b�a�2n, l’algorithme d’Euclide appliqu´e au couple (a, b)ne
n´ecessitera pas plus de ndivisions euclidiennes. Expliquez alors pourquoi cet algorithme est aussi
de complexit´e polynomiale en la taille des donn´ees.

Universit´ e Paris 8 — U.F.R. M.I.T.S.I.C. Logique et Complexit´ e— Printemps 2010
Examen final — 17 juin 2010
la carte d’´ etudiant est obligatoire
aucun appareil ´ electronique n’est autoris´ e
document autoris´ e:unepageA4´ ecrite de votre main, et pas en noir
sont interdits : communication, sacs et vˆ etements sur la table.
Indiquez vos nom, pr´enom, num´ero sur chaque copie. — Dur´ee : 2h30 — Bar`eme 5 4 4 31
231 2
Exercice 1 a) Donnez la d´efinition de la classe des fonctions r´ecursives.
b) Existe-t-il des probl`emes insolubles par algorithme ? (Justifiez.)
c) Qu’affirme la Th`ese de Church - Turing ?
d) Existe-t-il une fonction calculable par machine de Turing et pas r´ecursive primitive ? (Justifiez.)
e) Existe-t-il une fonction calculable par machine de Turing et pas r´ecursive ? (Justifiez.)
Exercice 2 On consid`ere la fonction f:IN →IN , d´efinie par f(n)=n+1 si nest pair et
f(n)=n−1 si nest impair.
a) Proposez une machine de Turing `a alphabet binaire qui calcule f.
b) Proposez une machine de Turing `a alphabet unaire qui calcule f.
Exercice 3 Soit un probl`eme P.
a) On consid`ere un algorithme Aqui r´esout P. Expliquez comment est d´efinie la fonction de
complexit´e en temps (´evalu´ee dans le pire des cas) de l’algorithme A. Cette d´efinition d´epend-elle
de la technologie qui ex´ecute l’algorithme ?
b) ` A quelle condition dit-on que Pest un probl`eme polynˆomial (exactement : “un probl`eme r´esoluble
en temps d´eterministe polynˆomial”) ? Donnez un exemple de probl`eme polynˆomial.
Exercice 4 a) Effectuez la multiplication de 127 par 74 en utilisant la m´ethode dite “`a la Russe”.
b) Comptez les diff´erentes op´erations ´el´ementaires que vous avez ex´ecut´ees pour mener `a bien votre
calcul.
Exercice 5 Un algorithme Aa une complexit´e en temps de l’ordre de n10.
a) Par combien est multipli´e le temps de calcul lorsqu’on multiplie par 2 la taille des entr´ees ?
b) Si un ordinateur effectue 109op´erations ´el´ementaires par seconde, en combien de temps ex´ecute-
t-il l’algorithme Apour une entr´ee de taille 10 ? de taille 20 ?
c) Cet algorithme est-il consid´er´e comme “rapide” ?