Domaines: introduction La non-terminaison est

Domaines: introduction
La non-terminaison est inh´erente au calcul, et tous les langages de
programmation (Turing-complets) permettent de d´efinir des
programmes qui bouclent.
En th´eorie de la r´ecursivit´e, on ´etudie les fonctions partielles de N
dans N.
En th´eorie des domaines, on r´eifie la non terminaison: ⊥d´enote un
calcul qui ne termine pas (diverge).
Les fonctions partielles de Ndans Ndeviennent de fonctions totales
de N⊥={⊥,0,1,2,...,n,...}dans N⊥.
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Tous les mod`eles universels de calcul (Machine de Turing, λ-calcul,
machines `a r´egistres, algorithmes de Markov...) permettent de
d´efinir le mˆeme ensemble de fonctions de N⊥dans N⊥: les fonctions
r´ecursives partielles (d’o`u la <<solidit´e>> de la Th`ese de Church).
Mais que se passe-t-il aux types sup´erieurs? Que est-ce que une
fonction(nelle) calculable de type (N⊥→N⊥)→N⊥?
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Des calculs infaisables
probl`eme 1, version Machine de Turing:
Construire une Machine de Turing Mqui sur l’entr´ee nrenvoie 0 si
Mndiverge sur 0, 1 sinon.
probl`eme 1, version λ-calcul typ´e:
λ-d´efinir la fonctionnelle Φ : (N⊥→N⊥)→N⊥suivante:
Φ(f) = 
0 si f(0) =⊥
1 sinon
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Monotonicit´e du calcul
Toute fonctionnelle d´efinissable de type (N⊥→N⊥)→N⊥est
monotone croissante par rapport aux ordres sur N⊥et N⊥→N⊥
d´efinis par:
x≤ysi (x=⊥ou x=y)
fvgsi (∀x∈N⊥f(x)≤g(x))
(ce dernier est l’ordre point `a point, ou extensionnel, associ´e au
premier).
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Des calculs infaisables, 2
probl`eme 2, version Machine de Turing:
Construire une Machine de Turing Mqui sur l’entr´ee nrenvoie 0 si
Mncalcule la fonction identit´e, diverge sinon.
probl`eme 2, version λ-calcul typ´e:
λ-d´efinir la fonctionnelle Φ : (N⊥→N⊥)→N⊥suivante:
Φ(f) = 
0 si ∀x∈N⊥f(x) = x
⊥sinon
Remarque: Φ est monotone.
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