Espaces Métriques Complets - Université Virtuelle de Tunis

Ministère de l’Enseignement Supérieur et des recherches scientifiques
Université Virtuelle de Tunis
Intitulé du chapitre :
Chapitre IV :
Espaces Métriques Complets
Nom de l’auteur :
Houcine Chebli
Lotfi Lassoued

Espaces Métriques Complets
1 Définition et propriétés
Définition 1.1. Soit (E, d) un espace métrique. On dit qu’une suite (xn)
d’éléments de Eest une suite de Cauchy si, pour tout ǫ > 0, il existe n0∈N
tel que
m, n ≥n0=⇒d(xm, xn)< ǫ
Proposition 1.2. Dans un espace métrique (E, d)
(1) Toute suite convergente est une suite de Cauchy
(2) Toute suite de Cauchy est une suite bornée
(3) Toute suite de Cauchy qui admet une valeur d’adhérence ℓ, converge
vers cette valeur d’adhérence ℓ.
Démonstration. Seule la troisième assertion nécessite une démonstration.
Soit (xn)une suite de Cauchy qui admet une valeur d’adhérence ℓet soit
(xφ(n))une sous-suite qui converge vers ℓ. Soit ǫ > 0, il existe n0∈Ntel que
m, n ≥n0=⇒d(xm, xn)<ǫ
2
n≥n0=⇒d(xφ(n), ℓ)<ǫ
2
On a donc
d(xn, ℓ)≤d(xn, xφ(n)) + d(xφ(n), ℓ)< ǫ
Ce qui prouve la convergence de la suite (xn)vers ℓ.
Remarque 1.3.
Puisque Qest dense dans R, il existe une suite (rn)dans Qtelle que
√2< rn<√2 + 1
n,∀n∈N∗
Le réel √2est limite de la suite (rn). Ainsi, (rn)est une suite de Cauchy
dans Q, mais ne converge pas vers un élément de Q.
1

Définition 1.4. Un espace métrique (E, d) est dit complet si toute suite de
Cauchy de Econverge dans E.
Un espace vectoriel normé complet est appelé un espace de Banach.
Un espace préhilbertien complet est appelé un espace de Hilbert.
Exemple 1.5.
Rest complet mais Qne l’est pas.
Proposition 1.6. Soit Xun ensemble. L’ensemble B(X, R)des fonctions
bornées de Xdans R, muni de la norme uniforme est un espace de Banach.
Démonstration. Soit (fn)une suite de Cauchy dans (B(X, R),k k∞). Soit
x∈X; pour tout met ndans N, on a
|fn(x)−fm(x)| ≤ kfm−fnk∞
ce qui prouve que la suite (fn(x)) est une suite de Cauchy dans R, celui-ci
étant complet, la suite converge vers un réel qu’on notera f(x). L’application
f:X→R, ainsi définie, vérifie :
∀x∈X, f (x) = lim
n→+∞fn(x)
D’autre part, la suite (fn)étant de Cauchy est bornée, c’est-à-dire qu’il existe
M > 0tel que
kfnk∞≤M, ∀n∈N
En particulier, pour tout xdans Xet tout entier n,|fn(x)| ≤ M. En passant
à la limite quand ntend vers l’infini, on en déduit que |f(x)| ≤ M, donc f
appartient à B(X, R). Montrons maintenant que la convergence de (fn)vers
fest uniforme . Soit ǫ > 0, il existe n0∈Ntel que
∀m, n ≥n0,kfm−fnk∞≤ǫ
En particulier, pour tout xdans X, on a
∀m, n ≥n0,|fm(x)−fn(x)| ≤ ǫ
En faisant tendre mvers l’infini, il vient
∀n≥n0,|f(x)−fn(x)| ≤ ǫ
Cela étant vrai pour tout x∈X, on en déduit que
n≥n0=⇒ kf−fnk∞≤ǫ
La suite (fn)converge donc vers funiformément.
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Proposition 1.7. Soit (E, d) un espace métrique et F⊂E.
(1) Si le sous-espace métrique (F, d) est complet, alors Fest un fermé de
E.
(2) Si Eest complet et si Fest fermé dans E, alors Fest complet.
Démonstration. (1) : Soit (xn)une suite d’éléments de Fqui converge dans
E.(xn)est donc une suite de Cauchy dans E, donc aussi dans F. Celui-ci
étant par hypothèse complet, on en déduit que (xn)converge vers un élément
de F. Ainsi Fest un fermé de E.
(2) : Soit (xn)une suite de Cauchy dans (F, d). Elle est de Cauchy dans
(E, d) qui est complet, donc elle converge dans E. Mais Fest, par hypothèse,
un fermé de E, la limite de (xn)est dans F. Ainsi, (F, d) est complet.
Proposition 1.8. Soient d1et d2deux distances équivalentes sur E. Alors,
(E, d1)est complet si et seulement si (E, d2)est complet.
Proposition 1.9. Soient (Ei,di),1≤i≤n, des espaces métriques. L’es-
pace métrique produit E1×E2×···×Enest complet si et seulement si, pour
tout i, l’espace (Ei,di)est complet.
Exemple 1.10.
L’espace Rn, muni de l’une des trois distances classiques, est complet.
Proposition 1.11. Soit (E, d) un espace métrique complet et soit (Fn)une
suite de fermés non vides de Evérifiant :
(1) pour tout n∈N,Fn+1 ⊂Fn
(2) lim
n→+∞diam(Fn) = 0
Alors l’intersection des Fn,n∈N, est réduite à un point.
Démonstration. Les Fnn’étant pas vides, on peut construire une suite (xn)
telle que, pour tout n∈N,xn∈Fn. L’hypothèse (i)montre que Fm⊂Fn
pour tout m≥n, si bien que pour tout m≥n,xnet xmsont dans Fn. par
suite, pour tout m≥n, on a
d(xn, xm)≤diam(Fn)
Le second membre de cette inégalité tend vers 0quand ntend vers l’infini et
donc la suite (xn)est de Cauchy. Soit ℓsa limite et soit n∈Nfixé. la suite
(xm)m≥nest une suite de Fnqui converge vers ℓ. Comme Fnest un fermé de
E, la limite ℓappartient à Fnet par suite ℓappartient à l’intersection des
Fn,n∈N.
Réciproquement, soit xdans l’intersection des Fn. Puisque xet ℓsont dans
Fnpour tout n, on a
0≤d(x, ℓ)≤diam(Fn)
Le second membre tend vers 0quand ntend vers l’infini, donc x=ℓ.
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Remarque 1.12.
L’hypothèse (ii)est importante. Ainsi, dans R, les fermés Fn= [n, +∞[
vérifie (i)et pourtant leur intersection est vide.
2 Critère de Cauchy, prolongement
Théorème 2.1. Soient (E, d) et (F, δ)deux espaces métriques où Fest
supposé complet. Soit Aune partie de Eet a∈A. Une fonction fdéfinie
sur Aà valeurs dans Fadmet une limite en asi et seulement si fvérifie le
critère de Cauchy en a, à savoir : pour tout ǫ > 0, il existe α > 0tel que,
pour tout xet ydans A
d(x, a)< α et d(y, a)< α =⇒δ(f(x), f(y)) < ǫ
Démonstration. Supposons que fvérifie le critère de Cauchy en aet mon-
trons que fadmet une limite en a. Soit (xn)une suite d’éléments de A,
admettant apour limite, le critère de Cauchy implique que (f(xn)) est une
suite de Cauchy dans F; celui-ci étant complet, la suite (f(xn)) est conver-
gente.
Inversement, supposons que fpossède une limite ℓen a. pour tout ǫ > 0, il
existe α > 0tel que
d(x, a)< α =⇒δ(f(x), ℓ)< ǫ/2
Soient xet ydans Atels que d(x, a)< α et d(y, a)< α. L’inégalité trian-
gulaire permet d’écrire
δ(f(x), f(y)) ≤δ(f(x), ℓ) + δ(ℓ, f(y)) < ǫ
Cela montre que fvérifie le critère de Cauchy.
Théorème 2.2. Soient (E, d) un espace métrique, (F, δ)un espace métrique
complet et Dune partie dense dans E. Soit f:D→Fune fonction uni-
formément continue. Il existe une et une seule fonction continue ˜ f:E→F
qui coïcide avec fsur D. De plus, la fonction ˜ fest uniformément continue.
Démonstration. Construisons un prolongement de f: soit a∈E=D.
Puisque fest uniformément continue, pour tout ǫ > 0il existe α > 0tel que
∀x, y ∈D, d(x, y)< α =⇒δ(f(x), f(y)) < ǫ (1)
En particulier, si d(x, a)< α/2et d(y, a)< α/2alors δ(f(x), f(y)) < ǫ.
Ainsi, fvérifie le critère de Cauchy en a, donc fadmet une limite en a. On
pose
lim
x→af(x) = ˜
f(a)
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