Contrôle Continu n"2 : "Mécanique Quantique"

UPMC - LP 326
Mercredi 6 mai 2009
Contrôle Continu n 2 : "Mécanique Quantique"
Calculatrices interdites. Durée : 1h30. Les téléphones portables doivent être éteints.
I. Opérateurs hermitiens (1 pt).
Deux opérateurs quelconques A et B véri ent la propriété : (AB)+ = B + A+ .
Soient A et B deux opérateurs hermitiens. Les opérateurs suivants sont-ils hermitiens ?
(justi er votre réponse)
1) AB
2) AB + BA
3)
[A; B]
i
II. Valeurs propres / vecteurs propres (2 pts).
b = pbx 2 =~2 + x
Montrer que u (x) = exp ( x2 =2) est un vecteur propre de l'opérateur A
b2 ,
et préciser pour quelle valeur propre.
III. Puits carré in ni et probabilités de présence (7 pts).
On considère les états stationnaires d'une particule de masse m dans un puits de potentiel
in niment profond de largeur L :
V (x) =
0 pour 0 < x < L
+1 pour x < 0 et x > L
Dans le puits, les niveaux d'énergie et les fonctions d'onde orthonormées associées sont :
r
2
n x
h2 2
n
et un (x) =
sin
avec n 2 N
En =
2
8mL
L
L
P
et toute fonction d'onde peut donc se développer sous la forme : 1
n=1 Cn un (x) avec Cn 2 C.
Dans cet exercice, l'état de la particule est décrit par la fonction d'onde suivante :
(x) = x (L
x)
avec
2C
1.
a) Expliquer pourquoi cette fonction peut convenir comme fonction d'onde.
b) Quelle condition doit véri er pour que la fonction d'onde soit normée à 1 ?
On supposera par la suite que est réel. Que vaut ?
2.
a) Exprimer Cn en fonction du produit scalaire hun j i.
R1
b) Calculer Cn (on pourra utiliser la formule 0 y (1 y) sin (n y) dy = 2 (1 (n(
c) Quels sont les Cn non nuls ?
3.
a) Quelle est la probabilité de présence de la particule dans l'état ju1 i ? ( 6 ' 961; 4)
b) Même question, mais dans l'état ju3 i (aide : 1=36 ' 1; 4:10 3 ).
c) Que peut-on en conclure pour la valeur moyenne de l'énergie dans l'état j i ?
1
1)n )
).
)3
IV. Mesure, évolution... (12 pts). (les questions de cet exercice sont indépendantes)
Soit un système physique dont l'espace des états est de dimension 2, avec la base orthonormée suivante :
0
1
je1 i =
et je2 i =
0
1
Dans cette base, l'Hamiltonien H et l'opérateur C s'écrivent :
p
p
~!0
c 2 2
5
2i
p
H=
et C =
i
2i 4
3
3
i
p
2 2
où !0 et c sont des constantes réelles positives.
1.
a) Quelles propriétés doit véri er un opérateur pour être quali é d'observable ?
b) H et C sont-ils des observables ?
p
A t = 0, le système physique est dans l'état : j (0)i = (je1 i + je2 i) = 2.
2. Quelle est la norme du ket j (0)i ?
Les valeurs propres et vecteurs propres (orthonormés) de H sont :
!
!
p
p
i 2 je1 i + je2 i
je1 i + i 2 je2 i
p
p
et
E2 = 2~!0 ; ju2 i =
E1 = ~!0 ; ju1 i =
3
3
3. Si l'on mesurait l'énergie à t = 0,
a) quelles valeurs pourraient être trouvées ?
b) Avec quelles probabilités ?
4.
a) Rappeler la dé nition de la valeur moyenne (dans l'état j i) d'un opérateur A.
b) Quelle est la valeur moyenne de H dans l'état j (0)i ?
5.
a) Ecrire l'équation de Schrödinger.
b) Exprimer j (0)i dans la base fju1 i ; ju2 ig
c) Calculer j (t)i pour t > 0.
6. a) A t = t1 > 0, on mesure l'énergie. Quelles valeurs peuvent être trouvées ? Avec
quelles probabilités ?
b) Comparer à la réponse de la question IV.3, et commenter.
7. La mesure précédente donne le résultat ~!0 . Dans quel état est le système juste après la
mesure ?
8. Calculer les valeurs propres et vecteurs propres (non normalisés) de C.
9. Calculer le commutateur [H; C].
2