Contrôle Continu n"2 : "Mécanique Quantique"

UPMC - LP 326 Mercredi 6 mai 2009
Contrôle Continu n2 : "Mécanique Quantique"
Calculatrices interdites. Durée : 1h30. Les téléphones portables doivent être éteints.
I. Opérateurs hermitiens (1 pt).
Deux opérateurs quelconques Aet Bvérient la propriété : (AB)+=B+A+.
Soient Aet Bdeux opérateurs hermitiens. Les opérateurs suivants sont-ils hermitiens ?
(justier votre réponse) 1) AB 2) AB +BA 3) [A; B]
i
II. Valeurs propres / vecteurs propres (2 pts).
Montrer que u(x) = exp (x2=2) est un vecteur propre de l'opérateur b A=bpx2=~2+bx2,
et préciser pour quelle valeur propre.
III. Puits carré inni et probabilités de présence (7 pts).
On considère les états stationnaires d'une particule de masse mdans un puits de potentiel
inniment profond de largeur L:
V(x) = 0pour 0< x < L
+1pour x < 0et x>L
Dans le puits, les niveaux d'énergie et les fonctions d'onde orthonormées associées sont :
En=h2
8mL2n2et un(x) = r2 Lsin nx Lavec n2N
et toute fonction d'onde peut donc se développer sous la forme : P1
n=1 Cnun(x)avec Cn2C.
Dans cet exercice, l'état de la particule est décrit par la fonction d'onde suivante :
(x) = x (Lx)avec 2C
1. a) Expliquer pourquoi cette fonction peut convenir comme fonction d'onde.
b) Quelle condition doit vérier pour que la fonction d'onde soit normée à 1?
On supposera par la suite que est réel. Que vaut ?
2. a) Exprimer Cnen fonction du produit scalaire hunj i.
b) Calculer Cn(on pourra utiliser la formule R1
0y(1 y) sin (ny)dy = 2(1(1)n)
(n)3).
c) Quels sont les Cnnon nuls ?
3. a) Quelle est la probabilité de présence de la particule dans l'état ju1i? (6'961;4)
b) Même question, mais dans l'état ju3i(aide : 1=36'1;4:103).
c) Que peut-on en conclure pour la valeur moyenne de l'énergie dans l'état j i?
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IV. Mesure, évolution... (12 pts). (les questions de cet exercice sont indépendantes)
Soit un système physique dont l'espace des états est de dimension 2, avec la base ortho-
normée suivante :
je1i=1
0et je2i=0 1
Dans cette base, l'Hamiltonien Het l'opérateur Cs'écrivent :
H=~!0
35p2i
p2i4et C=c
32p2i
i2p2
où !0et csont des constantes réelles positives.
1. a) Quelles propriétés doit vérier un opérateur pour être qualié d'observable ?
b) Het Csont-ils des observables ?
At= 0, le système physique est dans l'état : j (0)i= (je1i+je2i)=p2.
2. Quelle est la norme du ket j (0)i?
Les valeurs propres et vecteurs propres (orthonormés) de Hsont :
E1=~!0;ju1i=je1i+ip2je2i
p3!et E2= 2~!0;ju2i=ip2je1i+je2i p3!
3. Si l'on mesurait l'énergie à t= 0, a) quelles valeurs pourraient être trouvées ?
b) Avec quelles probabilités ?
4. a) Rappeler la dénition de la valeur moyenne (dans l'état j i) d'un opérateur A.
b) Quelle est la valeur moyenne de Hdans l'état j (0)i?
5. a) Ecrire l'équation de Schrödinger.
b) Exprimer j (0)idans la base fju1i;ju2ig
c) Calculer j (t)ipour t > 0.
6. a) A t=t1>0, on mesure l'énergie. Quelles valeurs peuvent être trouvées ? Avec
quelles probabilités ?
b) Comparer à la réponse de la question IV.3, et commenter.
7. La mesure précédente donne le résultat ~!0. Dans quel état est le système juste après la
mesure ?
8. Calculer les valeurs propres et vecteurs propres (non normalisés) de C.
9. Calculer le commutateur [H; C].
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