Exemples de fonctions d`onde
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IV) Mécanique ondulatoire 1) Fonction d’onde. A tout système quantique, on peut associer une fonction d’onde, y, qui décrit l’état de ce système en respectant les contraintes imposée par les relations d’Heisenberg. Cette fonction peut être complexe et on l’exprime généralement en fonction des coordonnées d’espace et du temps. Dans ce cas, le module au carré de la fonction représente la densité de probabilité de trouver le système dans un volume dv de l’espace au temps t lorsqu’il se trouve dans l’état y. y 2 y *y densité de probabilit é Ou y* est la fonction complexe conjuguée de y. Exemples de fonctions d’onde : Fonction unidimensionnelle Orbitale 1s de l’Hydrogène (fonction radiale) Attention à l’élément de volume. Sa forme dépend du système de coordonnées. Coordonnées sphériques Exemples de fonctions d’onde : Fonction bidimensionnelle Densité de proba Exemples de fonctions d’onde : Fonction tridimensionnelle et au delà. On est forcés de représenter des « coupes » de la fonction selon certains degrés de liberté. En 3D on peut représenter des courbes d’isodensité (la surface du volume représenté est une valeur constante de la densité) http://www.ressources-pedagogiques.ups-tlse.fr/cpm/ato-lc-spectro_L-MOpi_C2H4.html Les coordonnées peuvent aussi être définies par le système étudié. Dans cette molécule triatomique, les trois coordonnées (dites internes de valence) : rij, rik et q décrivent une géométrie donnée de la molécule. La fonction d’onde exprimée dans ces coordonnées permet d’étudier la déformation de la molécule (au cours d’une réaction par exemple) À partir de la densité de probabilité, on peut calculer la probabilité de trouver le système dans un volume, V, donné : PV y y dv * V Comme le système existe quelque part dans l’espace représenté par les coordonnées, sa probabilité de présence doit être égale à 1 si on intègre sur tout l’espace. PV y y dv 1 * V tout l 'espace Cette relation porte le nom de relation de normalisation des fonctions d’ondes On dira que deux fonctions d’ondes, y1et y2, exprimées dans le même système de coordonnées, sont orthogonales si la relation suivante est vérifiée : y y dv 2 * 1 tout l 'espace y y dv 0 2 1 * tout l 'espace Si ces fonctions sont normalisées on a donc : y y j dv ij * i tout l 'espace (delta de kronecker) Notons que cette relation est semblable à la relation que vérifient deux vecteurs unitaires,i et j, d’une base orthonormée : i j ij Principe de superposition Soient y1, y2, .., yn, n fonctions d’ondes orthonormées représentant n états possibles d’un système. Toute fonction j, combinaison linéaire des n fonctions précédentes est aussi une fonction d’onde possible du système. j a1y 1 a2y 2 ... any n Les ai sont des constantes qui peuvent être complexes . j doit être une fonction normalisée et l’on montre que l’on doit avoir la relation suivante : a a a 1 2 n* n n n n 2) Observables et opérateurs Toute l’information sur le système est compris dans la fonction d’onde ! On utilise des opérateurs pour extraire cette information. Opérateur : Objet mathématique agissant sur une fonction pour donner une autre fonction : exemple d f ( x) f ' ( x) dx opérateur A chaque grandeur mesurable (appelée observable), on associe un opérateur différent. En général, la fonction créée par l’opérateur est différente de la fonction initiale : Exemple : d 2 (x ) 2x dx Cependant certaines fonctions sont invariantes à une constante près : Exemple : d x e ex dx Ces fonctions particulières sont appelées fonctions propres de l’opérateur. Le coefficient constant est appelé valeur propre de l’opérateur, associé à la fonction propre correspondante. Les seules valeurs mesurables d’une observable sont données par les valeurs propres de son opérateur associé. Ces valeurs propres sont réelles. Rem 1 : On peut néanmoins définir des opérateurs qui ne sont pas des observables et qui ont des valeurs propres complexes. Rem 2 : Les fonctions propres d’un opérateur sont des fonction orthonormées Si l’on connaît toutes les fonctions propres, yi i=1…n, d’un opérateur, on pourra toujours écrire la fonction d’onde, j, décrivant le système par : j a1y 1 a2y 2 ... any n ai : coeff complexe Le module au carré de chaque coefficient, ai, représente la probabilité de trouver le système dans l’état yi et donc, la probabilité de mesurer une valeur égale à la valeur propre associée à yi. ai 2 Probabilité de trouver le système dans l’état yi. Et la somme des probabilités est bien égale à un par normalisation de la fonction j EXEMPLE ! Le dé quantique Imaginons un dé quantique (microscopique) posé à la surface d’un cristal. Supposons qu’une des mesures possibles sur ce système consiste à lire le numéro inscrit sur la face supérieure du dé. Il y a 6 mesures possibles. On mesure « 1 » et le système est dans l’état normalisé « Face1 » On mesure « 2 » et le système est dans l’état normalisé « Face2 » On mesure « 3 » et le système est dans l’état normalisé « Face3 » On mesure « 4 » et le système est dans l’état normalisé « Face4 » On mesure « 5 » et le système est dans l’état normalisé « Face5 » On mesure « 6 » et le système est dans l’état normalisé « Face6 » Tant que la mesure n’a pas été faite, il FAUT considérer tous les résultats possibles. Si chaque face a une proba 1/6 d’être mesurée, l’état du système est alors : Face _ sup 1 1 1 1 1 1 Face1 Face2 Face3 Face4 Face5 Face6 6 6 6 6 6 6 La mesure donne un résultat et un seul. Après la mesure, le système se trouve dans un des états propres associés à cette mesure, avec un coefficient 1 (car on a déterminé le résultat de la mesure) et toute mesure ultérieure de la face supérieure donnera toujours le même résultat. Si on a vu la face 5 alors Face_sup=Face5 C’est ce que l’on appelle « la réduction du paquet d’ondes » En mécanique quantique toute mesure a un effet potentiel sur le système mesuré car elle modifie la forme mathématique de la fonction d’onde. Le chat de Schrödinger ! Dans une pièce fermée se trouve un chat, une fiole de cyanure, un marteau retenu par un fil et un détecteur quantique (un compteur Geiger). On y dépose un élément radioactif dont la période est de 60 minutes (c'est-à-dire qu'au bout d'une heure, l'atome a 50% de chance de se désintégrer). Si la mécanique quantique s'applique dans ce cas, non seulement à la particule mais à tout ce qui coexiste dans la pièce, selon les lois statistiques des probabilités, lorsque l'heure est écoulée le chat doit se trouver dans un état indéterminé, ayant 50% de chance d'être vivant et 50% de chance d'être mort. Le chat doit donc être à la fois vivant et mort, la fiole étant à la fois entière et brisée ! Détermination des coefficients ai Soit j une fonction d’onde représentant l’état d’un système. Soit A un opérateur dont les fonctions propres yi sont connues. La projection de j sur yi permet de déterminer le coefficient ai de la décomposition de j sur les fonctions yi. j a1y 1 a2y 2 ... any n ai j y i dv * espace projection de j sur yi Analogie géométrique ja1y1a2y 2 v a1i a2 j Fonctions orthonormées d’un espace des états (espace de Hilbert) Vecteurs orthonormés d’un espace vectoriel j a2 a1 j y1 dv v * espace a2 j y 2 dv * espace a1vi a2 v j a1 i L’intégrale sur l’espace du produit d’une fonction par le complexe conjugué d’une autre tient le rôle du produit scalaire dans un espace vectoriel. opérateurs et analogie géométrique Valeur moyenne d’une observable La mesure d’une observable représentée par l’opérateur A lorsque le système est dans l’état y pourra donner différentes valeurs avec des probabilités différentes. La valeur moyenne des résultats mesurables est donnée par : * y Ay dv A espace NB : La valeur moyenne n’est pas nécessairement une valeur mesurable (la valeur moyenne apparaissant sur les faces d’un dé est 3,5 !) Si y est une fonction propre de l’opérateur A avec la valeur propre , on a : Ay y donc * y Ay dv A espace * y y dv espace * y y dv espace Incertitude sur la mesure d’une observable : L’incertitude, DA, sur la mesure d’une observable A pour un système dans un état donné, y, est obtenue par la formule : DA A2 A 2 Si y est un état propre de A avec la valeur propre , on a : A 2 2 A2 * y AAy dv espace * y Ay dv espace 2 * y y dv espace 2 D’où DA 0 2) Opérateurs courants. Opérateur position : X Les fonctions propres de cet opérateurs décrivent une particule dont la position est parfaitement connue. Elles doivent donc être de la forme : (x-x0) Cette fonction est la fonction « delta » de Dirac. On la note (x-x0). x0 est la valeur propre associée à ce delta de Dirac. Il y a une infinité de valeurs de x0 possibles. Cette grandeur n’est pas quantifiée. x x 0 2 x0 x 2 0 X (x-x0)=x0 (x-x0) (x-x0) Une propriété des fonctions delta est que l’on a : f(x)=x y f(x)(xx0) f(x0)(xx0) Fonction de x f(x0) Valeur de la fonction au point x0 x 2 0 On peut en déduire la forme analytique de l’opérateur position X : xx0 0 X x Exemple d’utilisation : on pourra calculer la valeur moyenne de la position d’une particule décrite par une fonction d’onde y(x) en calculant : x y *(x) xy (x) dx x x 2 0 Opérateur quantité de mouvement : p Nous avons déjà montré que la quantité de mouvement d’une particule, p0, était liée au vecteur d’onde k0 de l’onde associée à la particule par p0k0 Cette onde est donc associée à une quantité de mouvement donnée et c’est donc une fonction propre de l’opérateur quantité de mouvement et on doit donc avoir : peik0x peip0x/ p0 eip0x/ L’expression de l’opérateur p est donc : p i d dx En effet : (c’est un opérateur différentiel) p0 ip0x/ ip0 x/ d i (e )i(i )e p0eip0x/ dx Opérateur énergie (Hamiltonien) :H L’hamiltonien est un opérateur très important. Il permet de déterminer l’énergie totale du système. Il est composé de la somme de plusieurs termes correspondant chacun à une énergie d’origine différente (énergie cinétique, énergie potentielle, énergie de rotation, énergie électrostatique etc …) * L’opérateur énergie cinétique, T, d’une particule se déplaçant le long de la direction x peut se déduire de la forme classique de l’énergie cinétique : 2 p Où m est la masse de la particule Ec 1 m 2 2 v On a alors 2m 2 2 T d 2 2m d x Dans un espace tridimensionnel, l’opérateur prend la forme 2 2 2 2 2 2 d d d 2 2 2 T 2m d x d y d z 2m Opérateur Laplacien Un ensemble de n particules en mouvement (par exemple les noyaux des atomes d’une molécule se déformant) aura un opérateur énergie cinétique de la forme : n 2 T (ri) i1 2mi 2 Où ri représente les coordonnées de chaque particule. *L’opérateur énergie potentielle : V L’énergie potentielle est liée aux forces agissant sur le système par la relation (ici en 3D): V V V F grad V i j k x y z V est généralement une fonction des coordonnées géométriques du système et ne comporte pas d’opérateurs différentiels. C’est un opérateur multiplicatif. Exemples d’opérateurs énergie potentielle 1D : Potentiel harmonique : V 1 k (rr0)2 2 Potentiel du ressort, très important dans de nombreux modèles physiques (liaison chimique). Marche de potentiel : V=V0 si x >x0 V=0 sinon x0 x Puit de potentiel Barrière de potentiel Exemples d’opérateurs énergie potentielle : coupes 2D Les « chemins de réaction » utilisés en réactivité sont en fait des « trajectoires » sur les hypersurfaces de potentiels, menant des réactifs aux produits. Recherche des énergies d’un système : La même équation que précédemment permet de déterminer les états propres, yi et les énergies possibles, Ei, Hamiltonien HyiEiyi Cette équation porte le nom d’équation de Schrödinger indépendante du temps L’énergie d’un système quantique est très souvent quantifiée. Elle ne peut prendre que certaines valeurs. C’est souvent la forme du potentiel qui impose cette quantification (cf exemples plus loin) Exemple de traitement classique d’un problème : y Données numériques Masse de la bille : m Raideur du ressort : k 0 x Densité de Probabilité A un temps t fixé, la particule est entièrement localisée. Ici, la position du centre de masse est : x=0 0 x L’équation de Newton permet de déterminer x(t) Energie cinétique Energie potentielle Quantité de mouvement d 2 x(t ) F kx(t ) m dt 2 Ecin 1 dx(t ) m 2 dt 1 2 V k x(t ) 2 dx(t ) pm dt 2 Exemple de traitement quantique d’un problème : y Données numériques Masse de la particule : m Raideur du ressort (liaison chimique ?) : k 0 x Densité de Probabilité ( x) 0 Si (x) est la fonction d’onde du système à un temps t. La probabilité de trouver la particule entre x et x+dx est : 2 x dx x P * ( x)( x)dx x Valeur moyenne de la position x * ( x) x ( x) dx Opérateur position : X Valeur moyenne de l’énergie cinétique Ecin 2 d2 ( x) ( x ) dx 2 2 m dx * Opérateur énergie cinétique : T Valeur moyenne de l’énergie potentielle 1 V ( x) kx 2 ( x) dx 2 * Opérateur énergie potentielle : V Valeur moyenne de la quantité de mouvement p ( x) i * d ( x) dx dx Opérateur quantité de mouvement : p Probabilité de mesurer une valeur donnée d’un opérateur (par exemple énergie) : On cherche les valeurs propres et états propres de cet opérateur (indépendants de (x)) En résolvant l’équation aux valeurs propres qui admet en général plusieurs solutions indicées par n: H jn ( x) (T V )jn ( x) Enjn ( x) La probabilité de mesurer En lorsque le système est décrit par (x) est alors : 2 P( En ) j ( x)y ( x)dx * n Et (x) peut se développer sous la forme : y ( x) anjn ( x) n an 2 3) Observables indépendantes Si deux observables représentées par deux opérateurs A et B sont indépendantes, la mesure de B, puis de A sur le système représenté par la fonction , notée (AB) donnera le même résultat que la mesure de A, puis de B notée (BA) : (AB)y (BA)y ou (ABBA)y 0 Commutateur de AB, noté Lorsque AB AB 0 Les variables sont indépendantes AB 0 Les variables sont conjuguées Le produit des incertitudes sur les mesures de A et B sera : DADB 1 y * ABy dv 2 espace Exemple : dy d X, pxy i(x dx dx (xy)) dy dy i(x x y) iy dx dx donc Et X,pxi DXDpx 1 y * i y dv 2 espace D’où DXDpx 2 (Heisenberg)
