Chapitre I L`ion hydrogénoïde et son électron I. L`électron

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Chapitre I
L’ion hydrogénoïde et son électron
I. L’électron hydrogénoïde, particule quantique
Les ions hydrogénoïdes ne possèdent qu'un seul électron. Un ion hydrogénoïde est
donc constitué d'un noyau N de charge +Ze et d'un électron de masse m
e
et de charge –e (Z
est le numéro atomique ou nombre de protons contenus dans le noyau de l'atome).
Bien qu'il ne soit pas un ion, l'atome d'hydrogène fait partie de cette famille
hydrogénoïde. C'est l'édifice atomique le plus simple et le plus courant ne possédant qu'un
électron.
On cherche à décrire le mouvement interne de ce système constitué de deux particules,
c'est-à-dire leur mouvement par rapport au centre de gravité de l'atome. En raison de la très
grande différence de masse entre les deux particules, on peut considérer que le centre de
gravité de l'ensemble est confondu avec le noyau. On ne considère alors que le mouvement de
l'électron par rapport au noyau supposé fixe et pris comme origine d'un référentiel
"atomique".
I.1. L’échec du modèle planétaire
A l échelle de l’atome, le mouvement de l’électron ne peut plus être décrit par les lois de la
mécanique de Newton.
Dans ce cadre classique, l’idée que l’électron est soumis à un puits d’énergie potentielle et est
donc lié au noyau, à la manière d’une planète en orbite autour du soleil est à la base du
modèle planétaire de Rutherford : la loi de Newton s’applique en considérant que la force ou
l’énergie potentielle qui agit sur l’électron est la force ou l’énergie potentielle électrostatique :
ܨ=
௓௘
మ
ସగఌ
బ
ଵ
௥
మ
ou ܸሺݎሻ= −
௓௘
మ
ସగఌ
బ
ଵ
௥

2
En appliquant la loi de Newton, on trouve
que l’électron doit circuler sur des orbites
elliptiques ou circulaires avec une quantité de
mouvement = tangente à la trajectoire.
C’est un modèle très similaire à celui du
mouvement planétaire.
Mais c’est oublier qu’en plus de la mécanique classique, il existe la théorie électromagnétique
de Maxwell : tout champ électrique oscillant crée une onde lumineuse et donc émet de
l’énergie sous forme de lumière. Or l’électron de charge négative et le noyau de charge
positive créent un champ électrique qui tourne avec l’électron : il y a donc émission de
lumière au cours du mouvement. La conservation de l’énergie totale (mécanique+lumineuse)
conduit alors à une perte d’énergie mécanique pour l’électron, qui ralentit et finit par tomber
sur le noyau (en 10
-8
s). Le modèle planétaire n’est donc pas correct.
I.2. Le spectre d’émission et la quantification
En 1885, BALMER étudie le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène. Il obtient
une série de raies formant un spectre discontinu, et non pas le spectre continu prédit par les
lois classiques de l’électromagnétisme. RYDBERG établit en 1900 une loi empirique en 1/
2
(avec  entier) permettant de retrouver précisément les longueurs d'onde d'émission de cette
série de raies. Grâce au progrès des techniques spectroscopiques, Lyman découvre en 1906
une autre série de raies dans le domaine ultraviolet, puis Paschen détecte une série dans le
domaine infrarouge en 1909. On dénombre en tout 5 séries observées expérimentalement.
Elles peuvent être analysés par une formule empirique similaire à celle de RYDBERG,
énoncée par RITZ en 1908 :
1
=
ு
1
௙
ଶ
−1
௜
ଶ
où R
H
est la constante de Rydberg, dont la valeur déterminée expérimentalement vaut
109677,30 cm
–1
. 
௙
et 
௜
sont des entiers strictement positifs, avec 
௙
<
௜
. Les séries
observées se distinguent par la valeur de 
௙
:
r
(
t)
p(t
)

3
Série n
f
Région d'émission
Lyman (1906) 1 Ultraviolet
Balmer (1885) 2 Visible et proche UV
Paschen (1909) 3 Infrarouge
Bracket (1922) 4 Infrarouge
Pfund (1924) 5 Infrarouge
I.3. Le modèle de Bohr
Pour tenter de concilier un modèle atomique planétaire pour l'atome d'hydrogène et la
quantification observée sur son spectre d'émission, BOHR publie en 1913 un article intitulé
“De la constitution des atomes etdes molécules” dans lequel il s'appuie sur les travaux de
PLANCK et propose les postulats suivants :
1. L'électron circule à vitesse et énergie constante sur des orbites circulaires
particulières pour lesquelles il y a exacte compensation entre l'attraction coulombienne du
noyau et la force centrifuge.
2. Ces orbites particulières se limitent à celles pour lesquelles le moment cinétique est
un multiple entier de la constante de Planck h, divisée par 2 π : =
௛
ଶగ
=ℏ
3. Le changement d'orbite se produit par absorption ou émission d'un photon.
L'énergie du photon absorbé ou émis correspond à la différence d'énergie des deux orbites.
De la condition de quantification du moment cinétique (postulat 2), résulte la
quantification des niveaux d’énergie de l’atome :
௡
= −
௠௘ర
ሺସగఌబℏሻమ
௓మ
ଶ௡మ
avec E
n
exprimé en Joules (J),
ou encore :
௡
= −13,6
௓మ
௡మ
avec E
n
exprimé en eV (1eV = 1,602.10
-19
J),
Le nombre entier n est appelé nombre quantique principal.

4
Le troisième postulat lie la différence d'énergie entre deux orbites stables à la
fréquence
ν du photon émis ou absorbé :
௙
−
௜
= ℎ=ℎ
Les travaux de Bohr furent une avancée considérable dans l'établissement de la théorie
quantique, bien qu'ils ne présentent qu'une juxtaposition d'une condition de quantification sur
un modèle classique. En suggérant de distinguer, dans la notion de grandeur physique, le
concept et les valeurs permises, il ouvrait la voie à une théorie formellement plus aboutie qui
allait apparaître plus tard avec les travaux de HEISENBERG et SCHRÖDINGER.
I.4. La théorie quantique
LA théorie quantique réconcilie la cinématique des particules matérielles et
l’électromagnétisme dans un formalisme initialement appelé mécanique ondulatoire par
LOUIS DE BROGLIE (1924).
Elle demande de renoncer au concept de trajectoire des particules. La trajectoire est
l’ensemble position + quantité de mouvement au cours du temps ,. On la remplace
par une fonction de probabilité de présence de la particule à chaque instant notée :
Ψ
(
r
r
,
t
)
o
u
Ψ
(
x
,
y
,
z
,
t
)
o
u
Ψ
(
r
,
θ
,
ϕ
,
t
)
, suivant le système de coordonnées
Cette fonction est l’amplitude d’une onde et on l’appelle FONCTION d’ONDE
Son module au carré est appelé DENSITE DE PROBABILITE DE PRESENCE, noté
d
P
d
V
(r r,t)= Ψ(r r,t)
2
=Ψ
*
(r r,t).Ψ(r r,t)
d
P
d
V
(r r,t)
donne la chance de trouver la particule à la position
r
r
au temps t.
Il faut donc faire la substitution d’image mentale suivante pour décrire un électron :
Ψ
(
r
r
,
t
)
Décrire le mouvement de l’électron, c’est décrire ses fonctions d’onde possibles
Ψ
(
r
r
,
t
)
.
On ne peut plus le décrire comme une particule sur une trajectoire.
r
(
t)
p(t
)

5
I.5. Les équations de SCHRÖDINGER
L’équation fondamentale de la mécanique quantique est l’équation de SCHRÖDINGER.
On l’écrit
)
HΨ(r,t)=ih
∂
∂
t
Ψ(r,t)
Où
)
H
est l’opérateur de HAMILTON ou hamiltonien, qui représente l’énergie totale. Un
opérateur est un objet mathématique qui transforme une fonction en une autre fonction.
Dans le cas de l’électron hydrogénoïde
)
H
est la somme des opérateurs énergie cinétique et
potentielle :
ˆ
H=
ˆ
E
c
+
ˆ
V
avec
ˆ
E
c
=−h
2
2m∂
2
∂x
2
+∂
2
∂y
2
+∂
2
∂z
2
=−h
2
2m∆
∆
est l’opérateur de Laplace ou Laplacien
et
ˆ
V=−Ze
2
4 πε
0
r
⋅
(le . signifie multiplication par)
Soit
)
HΨ(r,t)=−h
2
2m∆Ψ(r,t)−Ze
2
4 πε
0
r⋅Ψ(r,t)
L’équation de SCHRÖDINGER est donc une équation différentielle en
Ψ
(
r
r
,
t
)
… qui donne
l’évolution de la fonction d’onde dans l’espace et au cours du temps.
On utilise souvent une équation simplifiée pour les états dits « états stationnaires », tels que la
densité de probabilité ne varie pas au cours du temps. C’est l’équation de Schrödinger
indépendante du temps :
)
HΨ(
r
r)=EΨ(
r
r)
où on a omis la variable temps.
Cette équation n’est pas autre chose que l’équation de conservation de l’énergie E.
Les systèmes hydrogénoïdes sont les seuls systèmes pour lesquels il est possible de
déterminer les solutions exactes de l'équation de Schrödinger. Pour les systèmes plus
complexes (plus de deux particules en interaction), on ne peut déterminer que des fonctions
d'onde approchées.