Classe de première 10 Mardi 5 juin 2012 Dernier devoir surveillé de

Classe de première 10 Mardi 5 juin 2012
Dernier devoir surveillé de mathématiques.
Dans une large mesure, les questions sont indépendantes.
Esméralda est en vacances au bord de la mer.
1. Chaque jour, la probabilité qu’elle aille à la plage est de 0,8. On appelle  la variable
aléatoire égale au nombre de jours où elle est allée à la plage pendant une semaine.
Quelle est la loi de , son espérance, sa variance. Interpréter . Déterminer la
probabilité qu’elle aille exactement 5 fois à la plage pendant une semaine.
2. Déterminer la probabilité qu’elle n’aille pas à la plage au moins un jour de la semaine
3. Combien de jour faut-il attendre pour que la probabilité qu’elle n’aille pas à la plage
au moins un jour soit supérieure à 0,95 ?
4. Si elle est allée à la plage dans la journée, la probabilité qu’elle aille en boîte de nuit
est de 0,5, tandis que si elle n’est pas allée à la plage, la probabilité qu’elle aille en
boîte de nuit est de 
.
Représenter cette situation par un arbre pondéré.
Quelle est la probabilité de l’événement « Elle va en boîte de nuit » ?
5. Quand elle ne va pas à la plage, elle flambe sur un site de paris en ligne. Le jeu auquel
elle joue est le suivant : elle mise 5 jetons, et l’ordinateur tire au hasard une série de
4 chiffres (de 0 à 9). On appelle A l’événement « Les 4 chiffres sont égaux », B
l’événement « les 4 chiffres sont tous distincts » et C « exactement 3 chiffres sont
égaux ».
a) SI on représente le tirage par un arbre, combien aura-t-il de niveaux ? De
bifurcations par niveau ? Ne pas construire l’arbre.
b) Quelle est la probabilité de A ?
c) Montrer que l’événement B a une probabilité de 0,504.
d) Montrer que l’événement C a une probabilité de 0,036.
e) Si les 4 chiffres sont égaux elle gagne 500 jetons, si seulement trois sont égaux
elle gagne 50 jetons, et s’ils sont tous distincts elle gagne 5 jetons. Si Y est la
variable aléatoire égale à son gain (en tenant compte de sa mise), donner la loi de
Y et son espérance.
f) Au bout de 100 parties, combien de jetons en moyenne aura-t-elle perdus ?

Corrigé
1. On a une succession d’épreuves identiques, indépendantes, à deux issues. 
suit la loi binomiale de paramètres 7 et 0,8. Son espérance est   
  , sa variance        .  est le nombre
moyen de jours où elle va à la plage en une semaine. La probabilité qu’elle
aille à la plage exactement 5 fois est 
    .
2. L’événement « elle ne va pas à la plage au moins une fois » est le contraire de
« elle va tous les jours à la plage », sa probabilité est    .
3. Soit  ce nombre de jours. On doit résoudre l’inéquation    , ce
qui se fait à la calculatrice en tabulant la fonction. On trouve qu’il faut
attendre 14 jours.
4.
La probabilité de l’événement « Elle va en boîte » est égale à      
5. a) L’arbre aura 4 niveaux, et 10 bifurcations par niveau, soit en tout 10000
possibilités. On suppose la loi uniforme.
b) Il y a 10 possibilités où les 4 chiffres sont égaux, donc 
.
c) On garde les 10 branches du premier niveau, puis 9 seulement au deuxième
(car les chiffres doivent être différents), 8 au troisième et 7 au quatrième. Il y
a en tout          branches conservées,  .
d) Si les trois chiffres pareils sont le premier, le second et le troisième, on a 10
branches au premier niveau, 1 branche au deuxième, 1 branche au troisième,
9 branches au quatrième, soit une probabilité de 
  . Comme
le chiffre différent des autres peut être tiré à n’importe laquelle des 4 places,
on multiplie par 4 et on a  .
e) Elle peut gagner (en tenant compte de sa mise perdue) 495, 45, 0 ou .
Gain 
495
45
0
Probabilité
0,001
0,036
0,504
0,459
(La dernière probabilité a été calculée pour que le total soit égal à 1)
           .
f) Au bout de 100 parties, elle aura perdu en moyenne    
jetons.