Classe de première 10 Mardi 5 juin 2012 Dernier devoir surveillé de

Classe de première 10
Dernier devoir surveillé de mathématiques.
Mardi 5 juin 2012
Dans une large mesure, les questions sont indépendantes.
Esméralda est en vacances au bord de la mer.
1. Chaque jour, la probabilité qu’elle aille à la plage est de 0,8. On appelle 𝑋 la variable
aléatoire égale au nombre de jours où elle est allée à la plage pendant une semaine.
Quelle est la loi de 𝑋, son espérance, sa variance. Interpréter 𝐸(𝑋). Déterminer la
probabilité qu’elle aille exactement 5 fois à la plage pendant une semaine.
2. Déterminer la probabilité qu’elle n’aille pas à la plage au moins un jour de la semaine
3. Combien de jour faut-il attendre pour que la probabilité qu’elle n’aille pas à la plage
au moins un jour soit supérieure à 0,95 ?
4. Si elle est allée à la plage dans la journée, la probabilité qu’elle aille en boîte de nuit
est de 0,5, tandis que si elle n’est pas allée à la plage, la probabilité qu’elle aille en
3
boîte de nuit est de 4.
Représenter cette situation par un arbre pondéré.
Quelle est la probabilité de l’événement « Elle va en boîte de nuit » ?
5. Quand elle ne va pas à la plage, elle flambe sur un site de paris en ligne. Le jeu auquel
elle joue est le suivant : elle mise 5 jetons, et l’ordinateur tire au hasard une série de
4 chiffres (de 0 à 9). On appelle A l’événement « Les 4 chiffres sont égaux », B
l’événement « les 4 chiffres sont tous distincts » et C « exactement 3 chiffres sont
égaux ».
a) SI on représente le tirage par un arbre, combien aura-t-il de niveaux ? De
bifurcations par niveau ? Ne pas construire l’arbre.
b) Quelle est la probabilité de A ?
c) Montrer que l’événement B a une probabilité de 0,504.
d) Montrer que l’événement C a une probabilité de 0,036.
e) Si les 4 chiffres sont égaux elle gagne 500 jetons, si seulement trois sont égaux
elle gagne 50 jetons, et s’ils sont tous distincts elle gagne 5 jetons. Si Y est la
variable aléatoire égale à son gain (en tenant compte de sa mise), donner la loi de
Y et son espérance.
f) Au bout de 100 parties, combien de jetons en moyenne aura-t-elle perdus ?
Corrigé
1. On a une succession d’épreuves identiques, indépendantes, à deux issues. 𝑋
suit la loi binomiale de paramètres 7 et 0,8. Son espérance est 𝐸(𝑋) = 7 ×
0,8 = 5,6, sa variance 𝑉(𝑋) = 7 × 0,8 × 0,2 = 1,12. 𝐸(𝑋) est le nombre
moyen de jours où elle va à la plage en une semaine. La probabilité qu’elle
7
aille à la plage exactement 5 fois est ( ) × 0,85 × 0,22 ≈ 0,275.
5
2. L’événement « elle ne va pas à la plage au moins une fois » est le contraire de
« elle va tous les jours à la plage », sa probabilité est 1 − 0,87 ≈ 0,79.
3. Soit 𝑛 ce nombre de jours. On doit résoudre l’inéquation 1 − 0,8𝑛 ≥ 0,95, ce
qui se fait à la calculatrice en tabulant la fonction. On trouve qu’il faut
attendre 14 jours.
4.
La probabilité de l’événement « Elle va en boîte » est égale à 0,8 × 0,5 + 0,2 ×
0,75 = 0,55
5. a) L’arbre aura 4 niveaux, et 10 bifurcations par niveau, soit en tout 10000
possibilités. On suppose la loi uniforme.
10
b) Il y a 10 possibilités où les 4 chiffres sont égaux, donc 𝑝(𝐴) = 10000 =
0,001.
c) On garde les 10 branches du premier niveau, puis 9 seulement au deuxième
(car les chiffres doivent être différents), 8 au troisième et 7 au quatrième. Il y
a en tout 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 branches conservées, 𝑝(𝐵) = 0,504.
d) Si les trois chiffres pareils sont le premier, le second et le troisième, on a 10
branches au premier niveau, 1 branche au deuxième, 1 branche au troisième,
10×1×1×9
9 branches au quatrième, soit une probabilité de
= 0,009. Comme
10000
le chiffre différent des autres peut être tiré à n’importe laquelle des 4 places,
on multiplie par 4 et on a 𝑝(𝐶) = 0,036.
e) Elle peut gagner (en tenant compte de sa mise perdue) 495, 45, 0 ou −5.
Gain 𝑦
495
45
0
−5
Probabilité
0,001
0,036
0,504
0,459
(La dernière probabilité a été calculée pour que le total soit égal à 1)
𝐸(𝑌) = 495 × 0,001 + 45 × 0,036 − 5 × 0,459 = −0,18.
f) Au bout de 100 parties, elle aura perdu en moyenne 100 ÷× 0,18 = 18
jetons.