Dispersion - Absorption

PSI Brizeux Ch. PO4 Dispersion – Absorption 45
CHAPITRE PO4
CHAPITRE PO4
DISPERSION - ABSORPTION
Les problèmes mis en équation dans les chapitres précédents étaient tous solutions de l’équation de
d’Alembert. Ces solutions faisaient apparaître la propagation d’un signal quelconque sans déformation ni
atténuation. Nous allons voir dans ce chapitre qu’il existe des milieux et/ou des conditions pour lesquels la
propagation d’une onde s’accompagnera des phénomènes de dispersion et/ou d’absorption.
1. PROPAGATION DISPERSIVE DANS UNE CORDE
Nous allons reprendre l’exemple de la corde vibrante en supposant cette fois que les forces de
frottement de l’air ne sont pas négligeables : nous introduisons ainsi un terme supplémentaire de type
dissipatif dans les équations mécaniques précédentes.
Nous allons dégager de cet exemple des généralités qui pourront s’appliquer aux autres cas envisagés :
ligne électrique avec résistances, prise en compte de la viscosité pour la propagation d’ondes sonores dans
un fluide, forces de frottement dans la chaîne de ressorts….
1.1. Nouvelle mise en équation du problème
On considère une corde de masse linéique µ, tendue par une force F et confondue au repos avec
un axe horizontal Ox. On étudie des déplacements transversaux y(x,t) des points de la corde.
Rappelons les approximations :
- les déplacements sont contenus dans un plan vertical, et de faible amplitude : y << x et
!
"y
"x
<< 1 ( la corde reste toujours faiblement inclinée par rapport à l’horizontale ). On en
déduit notamment qu’un élément de corde de longueur au repos dx a approximativement la
même longueur quand il est déplacé transversalement.
- les forces de pesanteur sont négligées.
- les forces de frottement de l’air sont cette fois prises en compte et modélisées par une force
de type frottement fluide en
!
"#l
$y
$tdx
pour un élément de corde de longueur dx. λl
correspond à un cœfficient de frottement linéique.
x+dx
dl
x
y(x+dx,t)
y(x,t)
!
"T(x,t)
!
T(x +dx,t)
A
B

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Si on applique la relation fondamentale de la dynamique à cet élément, soumis en A à une
tension -
!
T
(x,t) et en B à
!
T
(x+dx,t), on obtient :
/ x 0 = Tx(x+dx,t) - Tx(x,t) (1)
/ y µ dx
!
"2y
"t2
= Ty(x+dx,t) - Ty(x,t) -
!
"l
#y
#tdx
(2)
L'équation (1) montre que la composante horizontale de la tension est indépendante de x. A
l'extrémité fixe de la corde elle vaut la tension imposée F. Donc, quels que soient x et t,
on a Tx(x,t) = F.
En outre la tension
!
T
est toujours tangente à la corde si bien qu'on peut écrire, à l'abscisse x,
compte tenu du sens choisi pour la tension :
!
Ty
Tx
=
!
"y
"x
. D'où Ty(x,t) = F
∂y(x,t)
∂x .
L'équation (2) donne alors :
µ dx
!
"2y
"t2
= Ty(x+dx,t) - Ty(x,t) -
!
"l
#y
#tdx
= F dx
!
"2y
"x2
-
!
"l
#y
#tdx
L’équation de propagation est donc :
µ
!
"2y
"t2
- F
!
"2y
"x2
+
!
"l
#y
#t
= 0
L’équation d’onde trouvée est une équation différentielle linéaire à cœfficients constants mais n’est
plus de type d’Alembert. On peut noter que le terme supplémentaire qui permet de prendre en compte
les forces de frottement fait apparaître cette équation comme irréversible (modifiée par renversement
du temps).
1.2. Relation de dispersion
La méthode adoptée pour résoudre ce type d’équation consiste à généraliser la notion d’onde plane
progressive harmonique en posant une onde sous la forme :
y(x,t) = Re(y(x,t)) avec
!
y(x,t) =y0ej( "t#kx )
où ω est réel et k a priori complexe.
Remarquons bien qu’ici nous allons chercher à quelle condition sur ω et k une onde de cette forme
peut être solution de l’équation de propagation.
Introduisons dans l’équation de propagation la forme supposée de l’onde. Nous obtenons :
!
k2=µ
F"2#$l Fj"
La relation entre ω et k est appelée relation de dispersion. Ici, elle n’est plus linéaire.

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De plus k apparaît comme complexe. Pour interpréter le contenu physique d’un tel cas, nous
allons poser : k(ω) = k’(ω)+jk’’(ω).
2. DISPERSION - ABSORPTION
On a donc : y(x,t) = Re(y(x,t) . Si on pose
!
y0=y0ej"
, cela donne :
!
y(x,t) =y0ek"(")x cos("t#k'(")t +$)
2.1. Vitesse de phase - Dispersion
Le terme en cos est identique à celui qu’on avait obtenu pour une onde plane progressive qui se
propagerait avec la vitesse de phase
!
v"=#
k'(#)
.
Le fait important et nouveau est que cette vitesse de phase dépend de ω (puisque k’(ω) n’est pas
linéaire) :
Dans un milieu dispersif, la vitesse de phase dépend de
la fréquence de l’onde
Des ondes de fréquence différentes, initialement “ rassemblées ” en un même point (on parlera de
paquet d’ondes), se propagent dans la corde à des vitesses différentes et sont ainsi dispersées.
2.2. Absorption
Le terme en
!
e" "
k (#)x
traduit, selon le signe de k’’(ω), un amortissement ou une amplification de
l’onde au cours de la propagation. La situation la plus fréquente est celle de l’amortissement et on le
caractérise par la distance caractéristique :
!
"=1
# #
k ($)
: au bout de quelques δ l’onde sera fortement
atténuée. δ est souvent appelée épaisseur de peau liée au phénomène d’absorption.
On peut vérifier rapidement dans le cas de la corde dispersive que k’’ est négatif pour k’ positif et
inversement : l’onde s’atténue dans la direction de propagation.
2.3. Propagation d’un paquet d’ondes dans un milieu dispersif –
Vitesse de groupe
Comme nous venons de le voir, la propagation dans un milieu dispersif se fait à des vitesses qui
dépendent des fréquences des ondes qui s’y propagent. Si un signal possède plusieurs fréquences, il
sera donc déformé au cours de sa propagation par ce type de milieu. Nous allons définir la vitesse de
groupe, qui nous allons le voir, correspond à la vitesse de paquets d’ondes et, pour les milieux pas trop
dispersifs, correspondra également à la vitesse de propagation de l’énergie.

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2.3.1. Superposition de deux OPPM de pulsations voisines
Nous prenons ici le cas d’un milieu dispersif unidimensionnel quelconque pour lequel il existe une
relation de dispersion f(ω, k) = 0. Nous ne nous intéresserons dans ce paragraphe qu’au phénomène de
dispersion et supposerons donc être dans une zone de transparence du milieu (c’est-à-dire dans un
domaine de pulsations pour lesquelles le milieu est faiblement absorbant).
Nous envisageons alors deux ondes de même amplitude, de même sens de propagation, et de
pulsations voisines ω et ω + δω. A ces deux pulsations correspondent 2 valeurs de k, k et k + δk.
Les deux ondes s’écrivent alors :
s1 = s0 cos (ωt - kx) et s2 = s0 cos [ (ω + δω)t - (k + δk)x ]
soit : s(x,t)= s1 + s2 ≈ 2s0 cos(
!
"#t$ "kx
2
).cos(ωt - kx)
Représentons, à t0 donnée l’aspect spatial de l’onde résultante : celle-ci apparaît comme une onde
“ moyenne ” de pulsation spatiale k modulée par une onde de pulsation bien plus faible δk qui
l’enveloppe.
Nous faisons donc apparaître deux ondes dont les vitesses de propagation sont très différentes et
respectivement égales à :
- vϕ =
!
"
k
pour “ l’onde moyenne ”
- vg =
!
"#
"k
pour son enveloppe
Pendant Δt, l’onde “ interne ” se déplace de vφ Δt alors que son enveloppe, elle, se déplace de vg Δt.
x
s(x,t0)
2.3.2. Paquet d’ondes - Onde localisée
Une OPPM seule n’est localisée ni dans l’espace ni dans le temps : elle s’étend théoriquement
de - ∞ à + ∞.

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La somme de 2 OPPM de fréquences voisines a la forme vue précédemment : on peut dire qu’elle
est “ plus ” localisée au voisinage des ventres des fuseaux modulant son amplitude.
Si on superpose un nombre encore plus important d’OPPM, on réduit encore l’extension de
l’enveloppe du signal qui se localise peu à peu de façon de plus en plus étroite dans le temps et
l’espace.
Un observateur voit en fait passer des bouffées d’onde de durée d’autant plus faible que l’étendue
en fréquences des OPPM composantes est importante.
A la limite, une onde physique réelle, à la fois localisée dans l’espace et le temps pourra être
modélisée par la superposition d’un nombre infini d’OPPM, à répartition continue de
fréquences, et d’amplitudes variables suivant la fréquence (profil spectral rappelant celui d’une
fonction périodique décomposée en série de Fourier, mais ici étendu à une répartition continue de
fréquences ) : c’est la définition même d’un paquet d’ondes .
2.3.3. Propagation d’un paquet d’ondes
Dans un milieu non dispersif, toutes les OPPM
composantes d’un paquet d’ondes se propagent à
la même vitesse : le paquet ne déforme pas au
cours de la propagation.
Dans un milieu dispersif en revanche, le paquet
d’ondes se déforme de plus en plus au cours de la
propagation.
Si la largeur spectrale du paquet n’est pas trop
importante et le milieu pas trop dispersif,
l’enveloppe du paquet d’ondes garde un maximum
que l’on peut continuer à repérer : ce maximum se
propage, comme l’enveloppe, à la vitesse de groupe.
L’énergie, localisée au niveau du paquet d’ondes,
c’est-à-dire du maximum de l’enveloppe, se propage
donc elle-même dans ce cas à la vitesse de groupe.
Dans un milieu pas trop dispersif, la vitesse de
groupe vg =
!
d"
dk
d’un paquet d’ondes de faible
étendue spectrale représente également la
vitesse de propagation de l’énergie.
Remarque : la vitesse de phase est la vitesse de propagation de la phase d’une OPPM. Mais une
OPPM est totalement délocalisée et ne peut pas servir à transporter une information. Donc il n’est pas
étonnant de trouver, dans certains cas, vϕ > c = 3.108 m.s-1. Par contre, on a forcément vg ≤ c (principe
de relativité).