MAGNETOSTATIQUE ∫ ∫ ∫

Chapitre 2 : Magnétostatique
Cours de A.Tilmatine
CHAPITRE II
MAGNETOSTATIQUE
•
•
Une charge électrique immobile crée un champ électrique seulement;
Une charge en mouvement (un courant) crée un champ électrique et un champ magnétique.
Définition : la magnétostatique est l’étude des phénomènes magnétiques statiques, générés par des courants
constants uniquement (courant continu).
Courant
I. LOI D’AMPERE
rectiligne I
Le physicien danois Hans C. Oersted (1777 – 1851), en remarquant la
déviation d’une boussole placée prés d’un conducteur traversé par un
courant, fut le premier à observer le magnétisme crée par un courant
électrique.
H(P)
P
r
θ
Conducteur rectiligne
dl
O
∞
I dl ∧ur
H= ∫
;
4π r 2
−∞
ur
Figure
H : champ magnétique
r = OP ; ur: vecteur unitaire de r
∞
B=
µ 0 I dl ∧ ur
4π r 2
−∞
∫
B : Induction magnétique
Remarque : La loi d’Ampère est valable si l’on suppose que le conducteur est infiniment long, donc les
bornes de l’intégrale sont de -∞ à +∞.
Conducteur fermé :
B=∫
dl
µ 0 I dl ∧ ur
4π r 2
Figure : Courant circulaire
Avec
µ0 perméabilité magnétique (vide, air…) : µ0 = 4 π . 10−7
B = µ0 H
Unités
[H ]= mA
[B] = Tesla T ;
Cas d’un courant volumique :
J densité de courant (A/m2) ;
J = I / S,
soit I = J S,
ou bien plus généralement :
H /m
L
J
dS
Figure : Conducteur volumique
1
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I =∫ J.dS ⇒ Idl = ∫J.dS dl = J S dl = JdV
Le champ magnétique d’un courant cylindrique (volumique) est donné par :
H = ∫ J ∧u2r dv
4π r
soit donc : B= µH =µ0 ∫ J ∧u2r dv
4πr
EXERCICE (Champ magnétique crée par un courant rectiligne)
Calculer le champ magnétique H produit par un courant rectiligne infiniment long.
EXERCICE (Champ magnétique crée par une spire)
Soit une spire circulaire de rayon « a » traversée par un courant I.
Déterminer le champ magnétique H dans un point P situé sur l’axe de la spire.
Solution :
On obtient :
Ia 2
H=
u
3
2(a 2 + R 2 ) 2
M
dl
ur
a
I
H max(R=0)= I
2a
O
P
R
H
Figure
II. DIRECTION DU CHAMP MAGNETIQUE (Règle de la main droite)
a) Fil rectiligne : (Règle de la main droite)
I
B
I
B
B
B
B
B
I
b) Spire : (Règle du tournevis)
I
I
B
B
I
B
EXERCICE
Un solénoïde est un courant formé de plusieurs spires circulaires coaxiales, de même rayon traversé par un
même courant.
Solution :
Le champ sur l’axe du solénoïde peur être calculé en additionnant le champ crée par chaque spire.
A la figure ci-dessous est représentée une coupe longitudinale dans le solénoïde.
Si N est le nombre total des spires, le nombre des spires d’une partie dl est égal à N dl .
L
Rappelons que le champ produit au point P par une spire est :
2
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B=
µ0 Ia
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2
L
2(a 2 + L2 )
3/ 2
dl
N dl Spires produisent l’induction
L
β
P
 µ0 Ia 2 
2 dl
a
β2
 N dl = µ0 IN
dB= 
β
1
3
/
2
3
/
2
2L (a 2 + L2 )
 2(a 2 + L2 )  L
l
D’après la figure, on peut écrire : a =tgβ et sin β = 2 a 2
L
a +L
soit, L= a ⇒dl =− a2 dβ
sin β
tgβ
en substituant ces équations dans l’expression de dB, on obtient :
µ IN
dB= 0 (−sin β dβ )
2L
B=
µ0 IN
2L
β2
∫(−sin β dβ )=
β1
µ0 IN
2L
(cosβ
2
a
Figure
−cosβ1 )
Si le solénoïde est très long, nous avons en un point du centre β1 ≈π et, soit :
µ IN
B= 0
L
Pour un point situé à l’extérieur, sur l’une des extrémités, β ≈π / 2 et β 2 ≈0 ou β1 ≈π et β 2 ≈π / 2 ,
soit : B=
µ0 IN
2L
soit la moitié de la valeur au centre.
Remarque : le solénoïde est utilisé pour produire un champ magnétique passablement homogène dans une
région limitée de son centre.
III. POTENTIEL MAGNETIQUE
Comme q est un scalaire, qui produit un potentiel électrique scalaire V ;
Par analogie avec l’électrostatique :
L’élément Idl est un vecteur, produit un potentiel magnétique vectoriel A.
B =rotA
A=
µ0 J
dV
4π ∫ r
I
qui représente l’expression du potentiel A.
IV. THEOREME D’AMPERE
1. Théorème d’Ampère :
∫ H.dl =?
H= I u
2π r
H
∫ H.dl =∫ 2πI r u.dl
Figure
Rappel :
A.ux =( Ax ux + Ay u y + Az uz ).ux = Ax
soit donc, la composante de A suivant l’axe des x. Par analogie : dl.u = dl’ est la composante de dl suivant u.
Comme par ailleurs, u⊥ur , soit u⊥r , donc aussi dl’⊥r ;
dl’ représente donc un arc de cercle de rayon r ⇒ dl'=r dθ
3
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Par conséquent :
r dθ
2π
∫ H.dl =∫ Hdl = 2Iπ ∫ r = 2Iπ ∫dθ = 2Iπ θ )0 =I
Donc ∫ H.dl =I
qui représente le théorème d’Ampère.
Remarque importante : I est un courant circulant à l’intérieur du contour fermé.
2. Forme différentielle :
∫ H.dl =I est la forme intégrale du théorème d’Ampère.
Comme ∫ H.dl = ∫rotH.dS
S
et que I =∫ J.dS ,
S
On peut écrire : ∫rotH.dS =∫ J.dS
S
Soit donc :
S
rotH = J
qui représente la forme différentielle du théorème d’Ampère.
Conclusion : rotH = J implique que le champ magnétique est rotationnel, c’est à dire que les lignes de
champ sont fermées, contrairement aux lignes de champ électrique.
NON
Figure
OUI
Remarque :
- Les lignes de champ magnétique sont des courbes fermées car contrairement au champ électrique qui a pour source des charges
électriques (part de la charge positive et arrive à la charge négative), il n’y a pas de charges magnétiques.
EXERCICE
On considère quatre conducteurs traversés chacun par un même
courant I (figure). Quelle est la direction du champ magnétique
au point P, centre du carré de coté d.
I1
I2
I1 = I2 = I3 = I4 = I
I4
I2
Figure
I3
EXERCICE
Trois fils conducteurs portant un même courant, sont situés aux
coins d'un triangle équilatéral, comme montré à la figure 14.
Dans quel cadran trigonométrique se trouve la direction du
champ magnétique résultant au centre de la triangle?
I1
II
I
III
IV
I3
Figure
EXERCICE
Déterminer le champ magnétique H à l’intérieur et à l’extérieur d’un conducteur cylindrique plein traversé
par un courant I, de densité uniforme J.
EXERCICE
Utiliser le théorème d’Ampère pour calculer le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde comprenant
n0 spires par unité de longueur et parcouru par un courant I0.
4
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Solution :
Pratiquement une bobine formée d’un fil conducteur enroulé suivant une hélice de petit pas est un solénoïde.
Par conséquent, à l’intérieur loin des extrémités de la bobine, les lignes d’induction sont sensiblement
parallèles à l’axe (le champ crée par chaque spire étant perpendiculaire à son plan) ; le champ est donc
uniforme.
Choisissons un contour fermé MNPQ pour pouvoir appliquer le théorème d’Ampère.
L’application du théorème d’Ampère sur ce contour donne :
L
∫ H.dl =∑I
∫ H.dl =H.MN + H.NP+ H.PQ+ H.QM = H.MN = HL
H . QM = 0 et H . PN = 0 car H ┴ QM et H ┴ PN
H . QP = 0 car à l’extérieur H ≈ 0.
Q
P
M
N
Figure
D’autre part, ∑ I =n0 LI0
n0 : nombre de spires / mètre.
d’où H =n0 I 0
B= µ0 n0 I0 est l’induction à l’intérieur du solénoïde.
EXERCICE
On considère une bobine torique de n spires traversée par un
courant statique I. Déterminer le sens, la direction et la valeur
du champ magnétique crée à l’intérieur de la bobine.
I
Solution :
Le champ étant perpendiculaire aux spires, c’est donc
un cercle passant par le centre de chaque spire, dont le
Ligne de champ
centre coïncide avec celui de la bobine.
magnétique
∫ Hdl =nI ⇒
H ∫ dl = H 2π r = HL=nI avec L=2π r
d’où H = nI
L
R
Figure
B
IV. FLUX MAGNETIQUE
Φ m = ∫ B.dS ;
Unité [Φ m ]=Weber Wb ;
a) Surface non fermée
Flux: représente la quantité de lignes de champ passant à
travers la surface.
Figure : Surface non fermée
b) Surface fermée
∫ B.dS =∫divB dV =∫div(rotA) dV =0 ; car B=rotA
∫ B.dS = 0
B
Figure : Surface fermée
5
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Forme différentielle :
∫ B.dS = 0 est la forme intégrale de cette loi.
∫ B.dS =∫divB dv=0⇒divB=0
div B = 0
est la forme différentielle.
V. FORCE MAGNETIQUE
1. Force de Lorentz :
Une charge électrique animée d’une vitesse v et placée dans un champ électrique et magnétique, subit la
force suivante :
F =q(E +v ∧ B ) ;
F =q E + qv ∧ B = Fe + Fm
avec :
Fe =qE est la Force électrique;
Si q=0⇒ Fe =0
La force électrique s’annule si la charge est nulle.
Fm =q(v ∧ B ) est la Force magnétique.
La force magnétique s’annule si la charge est nulle ou immobile.
L’induction magnétique n’exerce de force que sur une particule chargée en mouvement (ou un courant).
Conclusion:
La force magnétique n’agit que sur une charge en mouvement, ou un conducteur traversé par un courant.
EXERCICE
Un fil conducteur est traversé par un courant (figure 5). Quelle est la direction de la force appliquée sur :
• un électron se déplaçant vers le fil ;
• un proton se déplaçant parallèlement au fil (fig. a). Supposez que l'électron et le proton se déplacent
dans le plan du papier.
I
I
v
v
Figure
2. Force de Laplace :
Considérons un conducteur cylindrique traversé par un courant I.
Soient :
n’ : nombre de particules chargées traversant le conducteur;
e : charge élémentaire d’une particule.
S
I
La charge traversant le conducteur vaut alors :
q=n'e
En posant n= n'
V
n : nombre de particules/unité de volume ;
V : volume du conducteur.
On obtient :
B
dl
Figure
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dq
I = = d (n'e)= d (neV )=ne dV =neS dl =neSv ;
dt dt
dt
dt
dt
avec
v : vitesse de déplacement des particules.
Par conséquent :
J = I = neSv =nev ⇒ J =nev
S S
Cette égalité est également valable en notation vectorielle :
J =nev
D’un autre côté, en reportant dans la loi de Lorentz la charge par unité de volume q=ne , on obtient :
Fm =q(v ∧ B ) = nev ∧ B = J ∧ B
Pour un volume élémentaire dV :
dFm =(J ∧ B ) dV
pour tout le volume V :
Fm = ∫(J ∧ B ) dV = ∫(JdV ∧ B )
Fm = ∫ Idl ∧ B
Comme J dV = I dl , on aboutit à l’expression de la Force de Laplace:
Remarque :
Si I = 0 ⇒ Fm=0
La force magnétique n’agit donc que sur un conducteur traversé par un courant.
EXERCICE
Soient deux (2) conducteurs rectilignes identiques, parallèles et traversés par les
courants I1 et I2 (I1 = 10 A ; I2 = 5 A)..
Calculer la force magnétique F1 exercée sur le conducteur 1 et F2 exercée sur le conducteur 2.
Remarque : Le sens de la force est déterminé grâce à la règle de la main droite :
Induction
Courant
Force
B → Majeur
I → Index
F → Force
Main droite
C1
Figure
EXERCICE
Si chacun des trois fils de la figure 8 porte le même courant,
quelle est la direction de la force appliquée sur chacun des
3 conducteurs par les deux autres (sans calculs).
Conducteur C1 :
C2
C3
Figure
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EXERCICE
Une spire carrée de côté a parcourue par un courant I est placée dans une induction magnétique B
perpendiculaire (Figure 14). La spire peut tourner autour d’un axe ∆.
1) Calculer et représenter les forces agissant sur les côtés MN, PQ, MQ et NP de la spire.
2) En déduire le couple magnétique agissant sur la spire.
VII. ENERGIE MAGNETIQUE Wm
On considère l’exemple d’une bobine torique comprenant n spires.
Déterminer l’énergie emmagasinée quand le courant dans la bobine croit de 0 à I.
Considérons un circuit formé par une inductance.
A l’instant t nous avons : U = L dI
dt
En multipliant les deux membres par i dt de façon à faire apparaître les énergies mises en jeu pendant dt :
Uidt = Lidi =d 1 Li 2
2
Le terme U i dt représente l’énergie fournie par le générateur, le terme dW =d 1 Li 2 correspond à l’énergie
2
fournie pour établir le courant i, énergie emmagasinée dans l’inductance.
( )
( )
Démonstration :
Par analogie avec l’électrostatique où la densité de l’énergie électrostatique we = 1 ε 0 E 2 , démontrer que la
2
densité de l’énergie magnétique est wm = 1 µ0 H 2 .
2
Considérons pour cela un tube élémentaire d’induction
dl
S
Posons
B
dV = S dl
Figure 28
L’énergie magnétique localisée dans l’élément de volume dV est :
dW = 1π 0 H 2 dV = 1π 0 H 2 Sdl
2
2
En tenant compte que le flux d’induction est constant dans le tube : Φ= ∫ B.dS = B.S
et du théorème d’Ampère : ∫ H.dl = I ,
on obtient :
W = 1 B 2 S dl = 1 BS ∫ Bdl = 1 BS ∫ H dl = 1 ΦI
2
2
2π 0
2π 0
Comme
Φ=LI
W = 1 ΦI = 1 LI 2
2
2
Conclusion : le champ magnétique emmagasine bien une énergie de densité wm = ½ µ0 H2.
Autre démonstration :
Soit U la tension appliquée,
Le travail fourni
W =−∫UIdt ;
Or U =−n
dϕ
dt
dϕ
U =−n =−nS dB −nB ds
dt
dt
dt
R
I
=0
8
Ligne de champ
magnétique
Figure
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dϕ
Soit W =−∫−n Idt =n∫ I dϕ
dt
B
H
H
W =∫ nIS dB =nIS ∫ µ0 dH =nISµ0 ∫ dH
0
0
0
Comme H = nI ⇒ I = LH (Exercice P6).
L
n
H
H
d’où W =nSµ0 ∫ LH dH = Sµ0 L∫ H dH = 1 µ0 H 2 SL
0
0
n
2
avec V = SL volume de la bobine où règne H, on obtient :
Wm = 1 µ0 H 2V [J],
2
est l’énergie totale emmagasinée dans le champ magnétique H.
wm = 1 µ0 H 2 [J/m3]
2
est la densité d’énergie magnétique.
VIII. RESUME DES LOIS DU REGIME STATIONNAIRE
1. Théorème de Gauss
q
ρ
; divE =
∫ E.dS =
ε0
ε0
2. ∫ E.dl =0 ; rotE=0
3. Théorème d’Ampère
∫ H.dl =I ; rotH =J
4. Théorème du Flux Magnétique
∫ B.dS = 0 ; divB=0
ANALOGIE ENTRE L’ELECTROSTATIQUE ET LA MAGNETOSTATIQUE
ELECTROSTATIQUE
Loi de Coulomb (champ électrique)
q
q→ E =
u
4πε r 2
Déplacement électrique
D=ε E
Potentiel électrique
q
V=
4πε r
E =−gradV
∫ E.dl =0
rotH = J
q
∫ E.dS = ε
ρv
ε
we = 1 εE 2
2
Loi de Biot & Savart (champ magnétique)
I dl ∧ ur
Idl → H = ∫
4π r 2
Induction magnétique
B = µH
Potentiel magnétique
µ
A= ∫ J dv
4π r
B =rotA
∫ H.dl =I
rotE =0
divE =
MAGNETOSTATIQUE
E =0 dans un conducteur
∫ B.dS = 0
divB =0
wm = 1 µH 2
2
H ≠0 dans le conducteur
9