Rapport de projet d`informatique L3 : Chaîne de dominos

Rapport de projet d’informatique L3 : Chaîne de dominos
Sébastien LHERMINIER, Thibaud LOUVET
Semestre 1
Résumé
La chute d’une chaîne de dominos est un exemple facilement observable d’un phénomène de propagation.
Grâce en particulier aux structures de calcul itératif, l’outil informatique, outre qu’il permette la résolution
d’équations non linéaires, est bien adapté à ce type de problème, où l’on suit les effets d’une perturbation
se propageant de proche en proche : le mouvement d’un domino est directement déterminé par celui de ses
deux plus proches voisins (lorsqu’il y a contact).
1
Définition du problème
On étudie une chaîne de dominos qui chutent les uns sur les autres en cascade comme montré sur la
figure 1.
Le choc entre les dominos est modélisé par l’action d’un ressort linéaire de raideur k et de longueur à
vide l0 . De plus, on considère comme non nul le frottement dû à l’air (on pourrait aussi imaginer que les
dominos sont plongés dans un fluide visqueux tel que de l’eau et pas dans l’air). Les dominos sont modélisés
par des tiges d’épaisseur nulle et de hauteur h, de masse m.
On va tout d’abord chercher à visualiser le mouvement de chaque domino donné par son angle avec la
verticale. On étudiera ensuite la mise en place ou non d’un régime permanent en fonction des différents
paramètres du problème comme l’espacement ∆, le coefficient de frottement visqueux γ ou encore la hauteur
h.
2
Analyse du sujet
La première étape de la résolution numérique du sujet est d’en faire une analyse physique. Les notations
introduites concernant chacun des dominos sont décrites par la figure 2.
2.1
Mise en équation
Le principe du programme final est d’appliquer le théorème du moment cinétique à chaque domino afin
de déterminer sa position de proche en proche :
J
X −
→
d2 αn
=
Γ(Fn )
dt2
où J est le moment d’inertie d’un domino par rapport à l’axe de sa base :
Z h
mh2
m 2
u du =
J=
h
3
0
Figure 1 – Schéma du système étudié
1
(1)
Figure 2 – Définition des notations
On pourra utiliser l’expression de l’accélération dans un développement limité si l’intervalle de temps est
suffisament petit :
dαn
dt2 d2 αn
αn (t + dt) = αn (t) + dt
(t) +
(t)
(2)
dt
2 dt2
Les forces appliquées à chaque domino sont : leur poids, le frottement visqueux avec l’air (ou le fluide
dans lequel il est plongé) et les forces exercées par les dominos qui l’entourent par l’intermédiaire des ressorts.
Les moments associés sont donc :
Z h
m
mgh
− =
Γ→
g sin αn u du =
sin αn
(3)
P
h
2
0
dαn
(4)
dt
Γressortn = −h.k(l0 − ln )
(5)
p
π
2
2
(6)
Γressortn−1 = yn + dn .k(l0 − ln−1 ). sin ( − (αn − αn−1 ))
2
Un problème apparaît dans le développement limité : en effet, on ne connaît pas la dérivée première de
αn . Pour cela, écrivons l’équation (2) en t − dt :
Γf rottement = −γ
αn (t − dt) = αn (t) − dt
dαn
dt2 d2 αn
(t) +
(t)
dt
2 dt2
(7)
En effectuant la différence (2) − (7), on obtient :
αn (t + dt) − αn (t − dt)
dαn
(t) =
dt
2dt
2.2
(8)
Relations géométriques
Écrivons les relations sur les longueurs projetées sur l’horizontale et la verticale :
∆ + dn = h sin αn + ln cos αn
(9)
q
dn
ln−1
2
yn =
= h2 + ln−1
cos (αn−1 + arctan
) = h cos αn − ln sin αn
(10)
tan αn
h
Ces relations (9) et (10) nous donnent au final la longueur ln en fonction des angles et des données du
problème :
ln =
∆ + h(cos αn tan αn+1 − sin αn )
∆
= h tan (αn+1 − αn ) +
cos αn + sin αn tan αn+1
cos αn (1 + tan αn tan αn+1 )
(11)
On remarque que cette relation n’est valable que si ln < l0 , sinon il n’y a pas contact entre le ressort n
et le domino n + 1. On introduit αchoc l’angle pour lequel il y a choc entre le ressort n à sa longueur à vide
et le domino n + 1 en position initiale (αn+1 = 0) :
∆ = h sin αchoc + l0 cos αchoc
(12)
L’équation (12) vérifiée par αchoc ne se résout pas analytiquement, il faudra donc en faire une résolution
numérique.
On peut donc introduire la distribution de Heaviside Θ(αn − αchoc ) dans l’expression du moment exercé
par le ressort n :
Γressortn = Θ(αn − αchoc ).hk(l0 − ln )
(13)
2
Une fois que le domino n a touché le domino n + 1 par l’intermédiaire du ressort, on doit prendre en
compte l’existence possible d’un rebond du domino n sur le n + 1 : ainsi, il faut toujours que la longueur du
ressort soit inférieure ou égale à l0 . Pour cela, on ajoute une structure conditionnelle if qui réajuste à l0 la
valeur calculée de ln (t) si elle lui est supérieure.
Si l’on atteint un état d’équilibre pour une chaîne infinie de domino, chaque domino est équivalent aux
autres et les dérivées temporelles sont nulles, donc l’angle d’équilibre est donné par :
∆ cos αeq = leq
(14)
et
(1 +
h cos(αeq ) − leq sin αeq
γ
γ
3g2
2
)αeq = 2αeq − αeq +
αeq +
sin(αeq ) + k[(l0 − leq )
− h(l0 − leq )]
2J
2J
2h
J
cos(αeq )
⇔ cos αeq =
2.3
l0
3gJ
−
∆
2kh∆2
(15)
Calcul de αn (t + dt)
A partir des relations (1),(2),(8) et des expressions des moments, on trouve la relation :
−1 γdt
γdt
3gdt2
2αn (t) − 1 −
αn (t − dt) +
sin αn (t)
αn (t + dt) = 1 +
2J
2J
2h
cos (αn−1 (t) − αn (t))
dt2
k[l0 − ln−1 (t)]
[h cos αn−1 (t) − ln−1 (t) sin αn−1 (t)]
J
cos αn (t)
dt2
−
kh[l0 − ln (t)]
J
+
3
(16)
La structure du programme
Le code du programme lui-même suit les étapes de l’analyse du problème. Le cheminement du calcul est
donc :
– trouver l’angle αchoc par la méthode de Newton (ou Newton-Raphson).
– initialiser le calcul pour le domino 0 avant le choc avec le domino 1, en fonction des conditions initiales.
– réaliser une boucle de calcul sur n et t.
– itérer le calcul en faisant varier un paramètre.
– tracer la courbe correspondant au paramètre étudié et placer les données dans un fichier .txt.
3.1
L’angle de choc αchoc
La résolution de l’équation (12) est faite numériquement par la méthode des zéros de Newton (ou NewtonRaphson) : on utilise une suite qui converge quadratiquement vers le zéro de la fonction. En pratique, la
fonction utilisée est :
f (α) = h sin α + l0 cos α − ∆
(17)
et sa dérivée est :
f 0 (α) = h cos α − l0 sin α
(18)
f (uk )
h sin uk + l0 cos uk − ∆
= uk −
f 0 (uk )
h cos uk − l0 sin uk
(19)
La suite est définie par récurrence :
uk+1 = uk −
Afin d’arrêter le calcul lorsque le terme de la suite est suffisament proche de la limite, on met en mémoire les deux derniers termes calculés. En effet, les suites extraites d’indices pair et impair sont des suites
adjacentes qui convergent chacune vers la limite αchoc . On peut donc approximer l’erreur sur la limite par
la différence entre les derniers termes respectivement pair et impair.
3.2
Le domino 0 et les conditions initiales
On introduit la vitesse angulaire initiale ω0 telle que :
dα0
(t = 0) = ω0
dt
(20)
Ainsi, tant que α0 < αchoc , l’équation différentielle vérifiée par le domino 0 est simple :
J
dα0
mgh
d2 α0
= −γ
+
sin α0
dt2
dt
2
(21)
De plus on note tchoc 0 l’instant du choc avec le domino 1, car pour t < tchoc 0 , les autres dominos n’ont
pas bougé, il est inutile de calculer la variation de leur angle.
3
1.2
0.01
’data_alpha.txt’ u 1:2
’data_l.txt’ u 1:2
1
0.0099
0.8
0.0098
0.6
0.0097
0.4
0.0096
0.2
0.0095
0
0.0094
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0
200
400
(a) Angle α0
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
(b) Longueur l0
Figure 3 – Résultats pour le domino 0
3.3
La suite du calcul pour le domino 0 et les autres
On doit maintenant calculer les angles de tous les dominos pour t > tchoc 0 . Cela dit, le calcul n’est pas
nécessaire pour les dominos n > i si le domino i n’a pas atteint l’angle αchoc . On peut donc inclure une
boucle while afin de prendre en compte cette condition. Il faudra cependant calculer l’angle du domino i
sans prendre en compte la force exercée par son propre ressort.
De plus, chaque domino ne peut passer au travers du suivant : il faut donc ajouter une boucle conditionnelle if en remontant la chaîne du dernier au premier domino.
3.4
L’affichage des résultats
– Pour le programme concernant les angles et les longueurs de ressorts : lorsque le calcul est terminé,
le programme crée deux fichiers .txt où il place respectivement l’angle et la longueur du ressort pour
le domino choisi. Par l’intermédiaire de scripts .bash, le tracé des graphiques et leur visualisation au
format EPS est automatisé (programmes gnuplot et ghostview). De plus, le programme rend en ligne
de terminal le nombre de dominos et d’intervalles de temps, ainsi que les valeurs de αchoc et tchoc 0 .
– Pour le programme concernant la vitesse de propagation de l’onde de chute : le programme trace ici
le temps mis par chaque domino pour commencer à bouger et l’inverse des différences de temps entre
deux dominos consécutifs (ce qui peut s’apparenter à une vitesse de l’onde de chute).
4
Résultats de l’étude
Les valeurs initiales des paramètres sont :
– l0 = 1 cm.
– h = 5 cm.
– ∆ = 2 cm.
– = 1 × 10−3 s.
– J = 1 × 10−5 kg·m2 ce qui correspond à une masse m = 12 g.
– k = 1200 N·m−1 soit une force équivalente de 120 g/mm.
– γ = 1 × 10−5 N·m·(rad/s)−1 qui correspond à la force visqueuse pour l’air.
– ω0 = 1 rad·s−1 .
De plus, le calcul est fait pour une chaîne de 50 dominos pendant 2000 intervalles de temps.
Les valeurs initiales des paramètres ont été choisies de façon réaliste par rapport au système réel. Rien
n’empêche d’effectuer les calculs avec des valeurs très différentes pour voir la dépendance vis-à-vis de ces
paramètres.
4.1
Étude des variations temporelles de l’angle αn
On utilise le programme qui concerne l’angle d’un domino donné. Pour un nombre fixé de dominos , on
choisit un domino quelconque et on étudie les variations de l’angle en fonction du temps. On peut ensuite
faire varier les paramètres du système physique pour observer les effets sur l’angle.
Tout d’abord, on lance le programme pour le domino 0. Le programme nous renvoie :
αeq = 1.054262957399 ,
leq = 0.009877374773 ,
αchoc = 0.205661506507 ,
tchoc
0
= 119.
et les graphiques de la figure 3. On voit sur ces graphiques que le domino 0 semble atteindre un régime
d’oscillateur amorti. De plus, on distingue une discontinuité de la dérivée de l’angle lors du choc avec le
domino 1.
4
2000
1.2
0.01
’data_alpha.txt’ u 1:2
’data_l.txt’ u 1:2
1
0.0098
0.8
0.0096
0.6
0.0094
0.4
0.0092
0.2
0.009
0
0.0088
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0
200
400
(a) Angle α1
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
(b) Longueur l1
Figure 4 – Résultats pour le domino 1
1.6
0.01
’data_alpha.txt’ u 1:2
’data_l.txt’ u 1:2
0.009
1.4
0.008
1.2
0.007
1
0.006
0.8
0.005
0.004
0.6
0.003
0.4
0.002
0.2
0.001
0
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0
200
400
(a) Angle α10
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
(b) Longueur l10
Figure 5 – Résultats pour le domino 10
On peut ensuite lancer le programme pour le domino 1. Dans ce cas, le programme renvoie les figures 4.
De la même façon, le domino 1 tend vers un état d’oscillateur amorti. On peut remarquer que les valeurs
d’équilibre des longueurs des ressorts 0 et 1 sont différentes : l’une est proche de 0.00992 (domino 0) alors que
celle du domino 1 est proche de 0.0098. Le ressort 1 réagit comme si il supportait une masse plus grande :
celle du domino 1 plus celle du domino 0. En conséquence, l’angle moyen d’oscillation du domino 1 est
supérieur à celui du domino 0.
L’étape suivante est de regarder les résultats pour un domino plus éloigné dans la chaîne : par exemple
le domino 10. Dans ce cas, le programme nous renvoie les graphes de la figure 5. On voit que les oscillations
ont une amplitude bien plus grande que pour les deux premiers dominos, à la fois pour l’angle et pour la
longueur du ressort. De plus, on voit que l’angle α10 revient à la valeur 0 après la première oscillation, puis
le domino recommence à tomber. Cela induit donc un faible temps de retard sur la vingtaine d’intervalles de
temps où le domino reste en position initiale. On peut aussi remarquer que la longueur moyenne du ressort
est proche de 0.5 cm et que l’angle d’équilibre du domino se rapproche de π2 .
On lance enfin le programme pour un domino du centre de la chaîne comme le domino 25. Dans ce cas
le programme nous renvoie la figure 6. Ici, le domino n’effectue même plus d’oscillations et passe presque
instantanément des valeurs α = 0 à α = π2 . De la même façon, la longueur du ressort passe de 1 cm à 0 (et
vice-versa) en un temps très bref. Cela signifie que les dominos restent collés au sol après un bref régime
transitoire, comme si le ressort était absent.
Essayons de multiplier la masse de chaque domino par 10 pour voir les conséquences sur l’évolution
temporelle de l’angle. La figure 7 compare le graphe obtenu précedemment avec la masse initiale et ceux
avec la masse multipliée par 10 puis par 100. Les pseudo-oscillations sont beaucoup plus amorties lorsque la
masse est plus grande, et donc le régime transitoire est d’autant plus bref. Lorsque la masse a été multipliée
par 100, l’angle du domino suit une courbe de type exponentielle avec des irrégularités lors de chaque nouveau
choc d’un domino suivant dans la chaîne.
De plus, on remarque que le temps mis par l’onde de chute pour atteindre le domino 25 dépend lui aussi
de la masse des dominos : pour la masse initiale, le choc du domino 25 a lieu pour t ' 300, alors que pour
m × 10 il a lieu pour t ' 500 et pour m × 100 il a lieu pour t ' 1000.
5
2000
1.6
0.01
’data_alpha.txt’ u 1:2
’data_l.txt’ u 1:2
0.009
1.4
0.008
1.2
0.007
1
0.006
0.8
0.005
0.004
0.6
0.003
0.4
0.002
0.2
0.001
0
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0
200
400
(a) Angle α25
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
(b) Longueur l25
Figure 6 – Résultats pour le domino 25
1.6
’data_alpha.txt’ u 1:2
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
(a) Angle α25 (m × 1)
1.6
1.6
’data_alpha.txt’ u 1:2
’data_alpha.txt’ u 1:2
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
(b) Angle α25 (m × 10)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
(c) Angle α25 (m × 100)
Figure 7 – Comparaison entre la masse initiale et multipliée par 10 et par 100
6
1800
2000
2000
900
300
’data_choc.txt’ u 1:2
’data_vitesse.txt’ u 1:2
800
250
700
200
600
500
150
400
100
300
50
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
(a) Temps de choc
5
10
15
20
25
30
35
40
45
(b) Inverse de la vitesse de l’onde de chute
Figure 8 – Résultats du calcul de vitesse
4.2
Étude de la vitesse de l’onde de chute
On utilise maintenant le programme adapté pour calculer la vitesse de l’onde. Celui-ci calcule le temps au
bout duquel chaque domino touche le domino suivant. Avec les valeurs initiales des paramètres, le programme
nous renvoie les graphiques de la figure 8. On calcule l’inverse de la vitesse de l’onde selon :
∆tn =
1
= tchoc
vn
n
− tchoc
n−1
(22)
L’inverse de la vitesse est en fait le temps mis par l’onde pour passer d’un domino au suivant.
On remarque immédiatement que l’inverse de la vitesse de l’onde de chute (et donc la vitesse également)
se stabilise vers une valeur limite, malgré plusieurs discontinuités pour certains dominos. On le voit également
sur le graphe 8a puisque, discontinuités exclues, la pente des tangentes à la courbe reste constante.
4.2.1
Influence du frottement visqueux
On peut ensuite comparer les résultats en fonction du coefficient de frottement visqueux γ. On lance le
programme respectivement pour γ = 0. et γ = 2 × 10−4 N·m·(rad/s)−1 (valeur initiale multipliée par 20).
Les résultats sont présentés sur la figure 9.
La valeur γ = 0. donne des résultats très proches de ceux obtenus pour γ = 1 × 10−5 N·m·(rad/s)−1 .
La différence est beaucoup plus nette pour la valeur γ = 2 × 10−4 N·m·(rad/s)−1 : en effet, la vitesse se
stabilise à une valeur équivalente aux deux premières, mais au bout d’un nombre de chocs plus important.
Par exemple, le domino 25 est atteint par l’onde au bout d’environ 530 intervalles de temps contre environ
300 pour la valeur initiales de γ.
4.2.2
Influence de l’impulsion initiale
Étudions maintenant l’influence de l’impulsion initiale sur la vitesse de l’onde de chute : on va respectivement multiplier puis diviser par 10 la vitesse angulaire initiale ω0 . On compare les résultats sur la figure
10.
Les résultats correspondent à ce que l’on peut intuiter : pour une impulsion initiale faible (figure 10b), la
vitesse de l’onde de chute en régime permanent est diminuée par rapport à la valeur initiale de l’impulsion
(figure 10a). Par exemple, le domino 25 est atteint au bout d’environ 450 intervalles de temps au lieu de
350 précédemment. Pour une impulsion plus forte, la vitesse augmente : le domino 25 est atteint au bout
d’environ 180 intervalles de temps sur la figure 10c.
4.2.3
Influence de la masse
On peut également étudier l’inflence de la masse en la multipliant par 10 puis par 100. Les résultats sont
présentés sur la figure 11.
La première remarque que l’on peut formuler est que l’augmentation de la masse augmente l’inertie de
chaque domino et donc diminue la vitesse de l’onde (il a été nécessaire de faire le calcul sur 2000 intervalles
de temps pour m × 100 car au bout de 1000, l’onde n’atteint que le domino 25). De plus, l’augmentation
de la masse diminue ce que l’on pourrait appeler un régime transitoire, c’est-à-dire le nombre de premiers
dominos pour lesquels la vitesse de l’onde ne s’est pas stabilisée.
7
50
900
700
’data_choc.txt’ u 1:2
’data_choc.txt’ u 1:2
650
800
600
700
550
600
500
450
500
400
400
350
300
300
200
250
100
200
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
(b) Temps de choc (γ = 2 ×
(a) Temps de choc (γ = 0.)
300
30
35
10−4
40
45
50
N·m·(rad/s)−1 )
250
’data_vitesse.txt’ u 1:2
’data_vitesse.txt’ u 1:2
250
200
200
150
150
100
100
50
50
0
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
(d) Inverse de la vitesse (γ = 2 × 10−4 N·m·(rad/s)−1 )
(c) Inverse de la vitesse (γ = 0.)
Figure 9 – Résultats comparés du calcul de vitesse
900
’data_choc.txt’ u 1:2
800
700
600
500
400
300
200
100
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
(a) Temps de choc (ω0 × 1)
1000
800
’data_choc.txt’ u 1:2
’data_choc.txt’ u 1:2
900
700
800
600
700
500
600
400
500
300
400
200
300
100
200
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
(b) Temps de choc (ω0 × 0.1)
5
10
15
20
25
30
35
40
(c) Temps de choc (ω0 × 10)
Figure 10 – Comparaison entre l’impulsion initiale et multipliée par 0.1 et par 10
8
45
50
50
900
’data_choc.txt’ u 1:2
800
700
600
500
400
300
200
100
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
(a) Temps de choc (m × 1)
800
2000
’data_choc.txt’ u 1:2
’data_choc.txt’ u 1:2
1800
700
1600
600
1400
1200
500
1000
400
800
600
300
400
200
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
(b) Temps de choc (m × 10)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
(c) Temps de choc (m × 100)
Figure 11 – Comparaison entre la masse initiale et multipliée par 10 et par 100
4.2.4
Influence de la raideur du ressort
On peut enfin étudier l’influence de la raideur du ressort sur la vitesse de l’onde de chute : on compare
sur la figure 12 les résultats avec une raideur respectivement 10 fois plus faible et 10 fois plus grande.
Les résultats montrent que l’augmentation de la raideur du ressort augmente la vitesse de propagation de
l’onde de chute : le temps mis par chaque domino pour atteindre le suivant est considérablement diminué (sans
tenir compte des éventuelles discontinuités). De plus, on observe une déformation du « régime transitoire »
lorsque la raideur est 100 fois plus grande que la raideur initiale.
5
Conclusion de l’étude
L’étude de cette chaîne de dominos apporte des résultats intéressants malgré quelques incohérences (par
exemple, la discontinuité de vitesse de l’onde de chute). Ainsi, une chaîne de 50 dominos ne réagit pas
comme une chaîne infinie de dominos où tous les dominos seraient identiques un à un, et donc la dépendance
temporelle ne dépendrait pas du numéro du domino choisi.
Les résultats nous montrent que les différents pramètres ont surtout une influence sur le régime transitoire
(durée, allure des courbes), et dans une moindre mesure sur le régime permanent. Ainsi, par exemple,
l’augmentation de la masse des dominos diminue la durée d’établissement du régime permanent, tant au
niveau de l’angle de chute qu’au niveau de la vitesse de l’onde. On peut aussi remarquer que les paramètres
masse m et coefficient de frottement visqueux γ augmentent l’inertie de chaque domino, tandis que les
paramètres raideur k et impulsion initiale ω0 augmentent la vitesse finale de l’onde de chute.
De plus, il faut noter que le principe du calcul approché ne permet pas d’obtenir une précision exceptionelle : en effet, lors du choc d’un domino avec le suivant, on applique ici une force ponctuelle correspondant
à la longueur déjà diminuée du ressort à l’instant suivant le choc, au lieu d’une force continue qui prendrait
en compte la compression progressive du ressort. Du fait de la grande constante de raideur du ressort, la
force et donc l’accélération qui en découle deviennent très grandes (c’est-à-dire que l’accélération n’est pas
du tout continue). De telles discontinuités pourraient peut-être expliquer les incohérences des résultats.
9
900
’data_choc.txt’ u 1:2
800
700
600
500
400
300
200
100
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
(a) Temps de choc (k × 1)
800
1000
’data_choc.txt’ u 1:2
’data_choc.txt’ u 1:2
900
700
800
600
700
500
600
500
400
400
300
300
200
200
100
100
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
(b) Temps de choc (k × 0.1)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
(c) Temps de choc (k × 10)
Figure 12 – Comparaison entre la raideur initiale et multipliée par 0.1 et par 10
10
45
50