Correction - Psychosmose

L2 - PHY231 - TD Thermodynamique UJF - 07/08
Correction
Série 4 : Second principe - Entropie
4.1 Variation d’entropie
Lors d’une opération, le gaz parfait subit les deux transformations suivantes :
1) Transformation isotherme :
La première transformation est isotherme, on peut écrire : , car
.
Comme la transformation est réversible, on peut écrire :
On trouve donc , avec :
et soit
Application numérique : (n=1)
2) Transformation adiabatique réversible :
La transformation est adiabatique, on a donc : .
La transformation est réversible, on a donc : .
On peut retenir qu’une transformation adiabatique réversible est isentropique, c’est-à-dire à
entropie constante.
Au total, on a donc pour l’opération composée des deux transformations précédentes :
4.2 Détente de Joule-Gay-Lussac : variation d’entropie
Il s’agit de la détente de Joule-Gay-Lussac, une transformation irréversible.
On peut tout d’abord calculer la variation d’énergie interne :
les parois étant rigides, le travail des forces de pression est nul :
les parois étant athermanes, la quantité de chaleur échangée est nulle :
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On a donc : .
Le gaz étant parfait, il suit la première loi de Joule : , on en déduit : , la
détente de Joule-Gay-Lussac est donc isotherme (pour un gaz parfait).
Il s’agit d’une transformation irréversible. On considère le système constitué par le gaz. Pour
calculer la variation d’entropie(qui est une fonction d’état), on choisit donc le chemin réversible
associé, menant du même état initial ( ) au même état final ( ). On a
alors :
Pour un gaz parfait, on a : , on en déduit :
avec
Application numérique :
On a donc : , ce qui peut paraitre surprenant car la transformation irréversible réelle est
caractérisée par (adiabatique).
On peut calculer l’échange d’entropie :
car on a , la quantité de chaleur échangée sur le chemin réellement suivi.
En résumé, on a donc pour cette transformation, une variation de l’entropie du système (
), alors que ce dernier n’a pas échangé d’entropie avec le milieu extérieur ( ).
Pour la détente de Joule-Gay-Lussac, on a donc : . La variation d’entropie observée au
cours de cette transformation est donc due uniquement à son caractère irréversible.
4.3 Transformation irréversible et variation d’entropie
1) La transformation considérée est brutale. Par définition, elle n’est donc pas quasi-statique,
et par suite on peut dire que cette transformation est irréversible.
Calcul de : Dans l’état final, le piston est à l’équilibre. La pression du gaz est égale à la
pression atmosphérique plus la pression due à la masse, soit :
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Calcul de : Dans l’état final, on ne connaît que la pression : on ne peut donc pas utiliser
l’équation d’état (2 inconnus).
La transformation étant irréversible, on ne peut pas non plus utiliser la loi de Laplace (valable
pour une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait).
On utilise donc le premier principe :
La transformation est adiabatique (les parois étant athermanes, i.e. elles sont imperméables à la
chaleur) : , et donc
Il s’agit d’un gaz parfait, on peut donc utiliser la première loi de Joule : .
On en déduit :
On peut ensuite calculer le travail échangé. La transformation est irréversible, on a donc :
.
Ici, la pression extérieure est constante et égale à . D’où :
On déduit finalement du premier principe :
On trouve :
Par ailleurs, on calcule le nombre de moles : .
Calcul de :
Pour calculer la variation d’entropie, on utilise le fait que S est une fonction d’état, ne
dépend donc pas du chemin suivi.
On considère donc le chemin réversible associé, allant du même état initial ( ) au
même état final ( ).
Sur ce chemin on peut écrire :
où on a choisi l’expression de fonction des variables P et T.
Le gaz étant parfait, on a : .
On en déduit
On intègre entre l’état initial et l’état final :
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Pour justifier le signe positif de , on peut écrire :
(4.1)
Par définition, on a :
où la quantité de chaleur échangée sur le chemin réellement suivi.
Ici, le chemin réellement suivi est adiabatique, on a donc : et par suite :
Par ailleurs, est la création d’entropie.
Par définition, on a : , avec
pour une transformation réversible,
pour une transformation irréversible,
Dans le cas qui nous intéresse, la transformation est irréversible :
On déduit de (4.1), que pour une transformation adiabatique irréversible, on a :
2) Le gaz subit les deux transformations suivantes :
La première étant adiabatique irréversible, la seconde isobare irréversible.
Calcul de : Transformation adiabatique irréversible
On utilise l’expression de la variation de S trouvée précédemment :
Il faut à nouveau calculer la température dans l’état final :
On a : ,
et : , la pression extérieure étant cette fois égale à (on a retiré la masse).
On a donc :
On en déduit :
D’où :
Comme précédemment, , ce qui est correct pour une transformation adiabatique ir-
réversible.
Calcul de : Transformation isobare irréversible
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3) Variation totale d’entropie du gaz au cours du cycle irréversible
On a :
S étant une fonction d’état, on s’attend effectivement à ce que sa variation sur un cycle soit
nulle.
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