Chapitre 1 - Espaces de Banach - IMJ-PRG

Analyse r´eelle
F. Golse

ii

Table des mati`eres
1 Espaces de Banach 1
1.1 Rappels sur les espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Rappels sur les espaces m´etriques compacts . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Espaces de Banach : g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Exemples d’espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 S´eries dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Compacit´e et espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Espaces d’applications lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 L’alg`ebre L(E) ........................ 15
1.5.2 Formes lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Espaces Lp19
2.1 Rappels d’int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Espaces Lp.............................. 23
2.2.1 In´egalit´es de Jensen, de H¨older et de Minkowski . . . . . 24
2.2.2 Lpcomme espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Approximation dans Lp.................... 30
2.3 L’espace L∞............................. 34
2.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Espaces de Hilbert 43
3.1 D´efinitions et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Le th´eor`eme de la projection et ses applications . . . . . . . . . . 44
3.3 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 Proc´ed´e d’orthogonalisation de Schmidt . . . . . . . . . . 48
3.3.2 Egalit´e de Parseval et applications . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.3 Exemples de bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Convergence faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Op´erateurs dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.1 Adjoint d’un op´erateur born´e . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.2 Spectre des op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.3 Les op´erateurs de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . 64
3.5.4 Application aux ´equations int´egrales . . . . . . . . . . . . 65
iii

iv TABLE DES MATI ` ERES
4 Analyse de Fourier 67
4.1 Fonctions mesurables p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 La th´eorie de Fejer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.2 La th´eorie L2......................... 73
4.2.3 Convergence ponctuelle des sommes partielles . . . . . . . 76
4.2.4 Propri´et´es des s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Int´egrale de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.1 La transform´ee de Fourier sur L1.............. 79
4.3.2 La transform´ee de Fourier sur L2.............. 82

Chapitre 1
Espaces de Banach
1.1 Rappels sur les espaces complets
Soit (X, d) espace m´etrique et (xn) suite de X.
D´efinition 1.1.1 La suite (xn)est de Cauchy si elle v´erifie l’une des trois
conditions ´equivalentes suivantes
a) pour tout !>0il existe N(!)tq. d(xm,x
n)<!pour tous m, n ≥N(!);
b) d(xn,x
n+p)→0pour n→∞uniform´ement en p≥0;
c) diam{xn|n≥N}→0lorsque N→∞.
Toute suite convergente est ´evidemment de Cauchy. La r´eciproque est fausse
en g´en´eral (prendre X=]0,1[ et xn=2
−n).
Proposition 1.1.2 Si une suite de Cauchy admet une valeur d’adh´erence, elle
est convergente.
D´emonstration. Soit (xn) de Cauchy dans (X, d) et lune valeur d’adh´erence
de (xn). Soit !>0 ; il existe donc N(!)>0 tq.
d(xm,x
n)<!pour tous m, n ≥N(!).
De plus, comme lest une valeur d’adh´erence de (xn),
il existe m≥N(!) tq. d(xm,l)<!.
Donc, pour tout n≥N(!), on a
d(xn,l)≤d(xn,x
m)+d(xm,l)<!+!=2!,
et donc xn→lpour n→∞.
D´efinition 1.1.3 Un espace m´etrique (X, d)est complet si toute suite de Cau-
chy dans Xest convergente.
1