Champ magnétique et forces de Laplace

Champ magnétique et forces de
Induction 1
Laplace
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus
Champ magnétique :
Sources de champ magnétique ; cartes de champ magnétique.
Lien entre le champ magnétique et l’intensité du courant.
Moment magnétique.
Forces de Laplace :
Résultante et puissance des forces de Laplace s’exerçant
sur une barre conductrice en translation rectiligne sur
deux rails parallèles (rails de Laplace) dans un champ
magnétique extérieur uniforme, stationnaire et orthogonal à la barre.
Couple et puissance des actions mécaniques de Laplace
dans le cas d’une spire rectangulaire, parcourue par un
courant, en rotation autour d’un axe de symétrie de la
spire passant par les deux milieux de cotés opposés et
placée dans un champ magnétique extérieur uniforme
et stationnaire orthogonal à l’axe.
Action d’un champ magnétique extérieur uniforme sur
un aimant.
Positions d’équilibre et stabilité.
Création d’un mouvement circulaire
Capacités exigibles
- Exploiter une représentation graphique d’un champ vectoriel, identifier les
zones de champ uniforme, de champ faible, et l’emplacement des sources.
- Identifier l’allure des cartes de champs magnétiques pour un aimant droit,
une spire circulaire et une bobine longue.
- Décrire un dispositif permettant de réaliser un champ magnétique quasi
uniforme.
- Citer des ordres de grandeur de champs magnétiques : au voisinage d’aimants, dans une machine électrique, dans un appareil d’IRM, dans le cas
du champ magnétique terrestre.
- Évaluer l’ordre de grandeur d’un champ magnétique à partir d’expressions
fournies.
- Définir le moment magnétique associé à une boucle de courant plane.
- Par analogie avec une boucle de courant, associer à un aimant un moment
magnétique.
- Différencier le champ magnétique extérieur subi du champ magnétique
propre créé par le courant filiforme.
- Établir et connaître l’expression de la résultante des forces de Laplace
dans le cas d’une barre conductrice placée dans un champ magnétique
extérieur uniforme et stationnaire.
- Évaluer la puissance des forces de Laplace.
- Établir et connaître l’expression du moment du couple subi en fonction
du champ magnétique extérieur et du moment magnétique de la spire
rectangulaire.
- Mettre en œuvre un dispositif expérimental pour étudier l’action d’un champ magnétique uniforme sur une boussole.
- Mettre en mouvement de rotation une aiguille aimantée grâce
au champ magnétique créé par plusieurs bobines.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 Le champ magnétique
1.1 Introduction au magnétisme. . . . .
1.2 Les cartes de champs magnétique. .
1.3 Les courants électriques et le champ
1.4 Les moments magnétiques . . . . . .
.
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2
2
3
5
5
2 La force de Laplace
2.1 Mise en évidence expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Résultante de la force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Puissance de la force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
8
3 Couple des actions mécaniques de Laplace
3.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Calcul de la force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Calcul du moment du couple de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
9
4 Action d’un champ magnétique sur un aimant
4.1 Champ magnétique extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Champ magnétique tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
Maxime Champion - www.mchampion.fr
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magnétique .
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Induction 1 : Champ magnétique et forces de Laplace
1
Maxime Champion
Le champ magnétique
1.1
Introduction au magnétisme
Dès l’antiquité, les hommes remarquent qu’un minerai naturel, appelé « magnétite » (essentiellement de
l’oxyde de fer), a la propriété d’attirer de petits morceaux de fer. Cette interaction est appelée magnétisme,
les solides capables d’attraction magnétique étant appelés aimants.
I Les aimants
Expérience 1 : Interactions entre des aimants, interaction entre un aimant et de la limaille
de fer.
On constate que les aimants, quelle que soit leur forme et leur taille, sont polarisés. C’est-à-dire qu’il
possède un pôle Nord et un pôle Sud. Si un aimant est brisé, chacun des éclats aura à nouveau deux pôles.
On observe que
. le pôle Nord d’un aimant et le pôle Sud d’un autre aimant s’attirent ;
. les deux pôles de même polarité de deux aimants se repoussent.
Plus particulièrement, si on dispose de la limaille de fer, c’est-à-dire de minuscule bout de fil de fer,
autour d’un aimant, ils se disposent selon une géométrie particulière (figure 1a). Les copeaux de fer semblent
former une ligne continu allant d’un pôle à un autre. Si on remplace la limaille par un ensemble de petits
aimants (des boussoles), on remarque de plus que ceux-ci s’orientent dans la même direction le long d’une
ligne (figure 1b).
(a) Alignement de la limaille de fer autour d’un aimant.
(b) Organisation de boussoles autour d’un aimant.
Fig. 1 – Photographie de l’alignement de limaille de fer et de boussoles autour d’un aimant.
Définition. Les lignes formées par la limaille sont appelées lignes de champ. Ces lignes sont orientées
par l’orientation des boussoles. On définit, pour le moment, le champ magnétique comme une grandeur
#”
vectorielle tangente aux lignes de champ. Il se note B et son unité est le Tesla (T).
I Effets magnétiques d’un courant électrique
Expérience 2 : Effet d’un courant parcourant un circuit sur un aimant
On remarque que l’orientation de l’aimant change en présence d’un circuit électrique parcouru par
un courant. Cela signifie que la présence d’un courant provoque l’apparition d’un champ magnétique. Au
même titre que les aimants, les circuits électriques parcourus par un courant sont des sources de champ
magnétique.
I Ordres de grandeurs de champs magnétiques
Champ...
B magnétique terrestre
B créé une bobine de 1000 spires parcourue par un courant de 1 A
B créé par un aimant
B dans un moteur électrique
B créé par un électroaimant
B créé par un appareil IRM
2/10
Ordre de grandeur
≈ 5 × 10−5 T
≈ 10 mT
≈ 0.1 à 1 T
≈ 0.5 T
≈ 1 à 10 T
≈ 5T
Induction 1 : Champ magnétique et forces de Laplace
1.2
Maxime Champion
Les cartes de champs magnétique
Une carte de champ magnétique est une représentation schématique de la disposition de la photographie de la figure 1. Les différentes topographie du champ sont manipulables sur cette page internet
(animation [1]).
I Quelques cartes à reconnaître
Les trois cartes de champs suivantes de la figure 2 sont à reconnaître.
S
N
(a) Carte de champ magnétique d’un aimant droit. Le champ est orienté du nord vers le sud.
i>0
(b) Carte de champ magnétique créé par une boucle de courant. Le champ est orienté selon la
règle de la main droite (les doigts suivent le sens du courant et le pouce indique la direction du
champ magnétique).
i>0
(c) Carte de champ magnétique créé par un solénoïde (c’est-à-dire un ensemble de spires les unes
contre les autres, autrement dit une bobine ou inductance). Le champ est orienté selon la règle de
la main droite.
Fig. 2 – Trois cartes de champs magnétique à reconnaître.
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Induction 1 : Champ magnétique et forces de Laplace
Maxime Champion
I Les propriétés des lignes de champ magnétiques
Propriété.
. Les lignes de champs sont dirigé du pôle Nord vers le pôle Sud des aimants.
. Si deux lignes de champ se coupent en un point, alors le champ est nul en ce point.
. Si les lignes de champ sont parallèles entre elles et régulièrement espacées alors le champ est uniforme.
. Les lignes de champ sont toujours des courbes fermées (dans un aimant, les lignes de champ se bouclent
à l’intérieur de l’aimant).
. Les boucles de champ enroulent les courants électriques en respectant la règle de la main droite.
. Lorsque les lignes de champ se resserrent, la norme de B augmente. Les zones où le champ est le plus
intense se trouvent au voisinage de la source du champ magnétique.
Remarque : Les lignes de champs vont du pôle Nord vers le pôle Sud et les boussoles s’orientent
le long des lignes de champs. Cela est compatible avec la situation de la Terre, car les pôles
magnétiques et géographiques sont inversés.
Application 1 : Sur la carte de champ ci-dessous, identifier la direction des courants, les zones de
champs forts et les zones de champ faible.
I Deux dispositifs pour créer des champs magnétiques uniformes
On rappelle que le champ magnétique est uniforme, autrement dit qu’il ne dépend pas de la position,
si les lignes de champs sont parallèles. C’est le cas, entre autre, pour certaines zones de trois dispositifs :
. à l’intérieur d’un solénoïde (figure 2c) ;
. entre les deux branches de l’aimant en U (figure 3a) ;
4/10
Induction 1 : Champ magnétique et forces de Laplace
Maxime Champion
. entre deux bobines de Helmholtz (figure 3b). Il s’agit simplement de deux bobines fines mises en regard
l’une de l’autre avec le courant les parcourant dans le même sens.
(a) Entre les deux branches d’un aimant en U.
(b) Entre les bobines de Helmholtz.
Fig. 3 – Dispositifs pour créer des champs uniforme.
1.3
Les courants électriques et le champ magnétique
Propriété. Toutes les charges électriques en mouvement rayonnent un champ magnétique. En particulier,
les électrons en mouvement dans un courant électriques sont responsables de l’apparition d’un champ
magnétique.
Les expressions mathématiques du champ magnétique en fonction de la forme des circuits électriques
seront étudiées pour certains cas en deuxième année. On retiendra que, dimensionnellement parlant, on a
B ∝ µ0
I
L
avec I le courant électrique responsable du champ magnétique, L une distance typique du problème et
µ0 = 4π × 10−7 H/m la perméabilité magnétique du vide.
Application 2 : Le champ magnétique uniforme à l’intérieur d’un solénoïde de N = 1000 spires,
N
de longueur L = 10 cm et parcouru par un courant i = 0.1 A est donné par B = µ0 i. Que vaut le
L
champ magnétique en Tesla ?
1.4
Les moments magnétiques
I Moment magnétique d’une boucle de courant
Définition. On considère une spire de rayon R parcourue par un courant i. Cette boucle forme une surface
S. La normale à la surface est notée #”
n . Il s’agit d’un vecteur unitaire, normal à la surface formée par la
boucle de courant et orienté dans le sens de la main droite (défini à partir du sens du courant). On définit
#”
le vecteur surface S = S #”
n.
#”
Le moment magnétique M de la spire plane (en A · m2 ) est :
#”
#”
M = i S = iπR2 #”
n .
#”
Vecteur surface S = S #”
n
(1.1)
surface S = π R2
Boucle de courant
i
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Induction 1 : Champ magnétique et forces de Laplace
Maxime Champion
I Moment magnétique d’un matériau
#”
Le courant i étant à l’origine du champ magnétique, on peut dire que le moment magnétique M est à
l’origine du champ magnétique. Ainsi lorsque l’on a un courant électrique, le lien entre intensité, moment
magnétique et champ magnétique est facile à établir.
Dans un aimant droit par exemple, il n’est pas facile de mettre en évidence des boucles de courant. En
effet, l’origine du champ magnétique dans la matière est quantique mais en première approche, il peut être
associé à des boucles de courant microscopiques résultant du déplacement des électrons autour des atomes.
#”
Chaque boucle de courant microscopique crée un moment magnétique Mi et le moment magnétique total
#” P #”
est M = i Mi .
#”
Dans la majorité des matériaux les Mi s’annulent deux à deux mais pour certains matériaux, ce n’est
pas le cas et un moment magnétique non nul persiste donnant naissance à un champ magnétique.
Propriété. Tous les matériaux magnétiques sont définis grâce à leur moment magnétique macroscopique
#”
M. Dans le cas des aimants, il est constant.
I Utilité du moment magnétique
Propriété. On retiendra que l’origine d’un champ magnétique est le déplacement de particules chargées
c.à.d. des courants, microscopiques ou macroscopiques. Ces courants sont équivalents à un moment ma#”
gnétique M qui peut donc être considéré également comme l’origine du champ magnétique. La notion de
moment magnétique permet d’unifier les deux sources de champ magnétique.
Le moment magnétique est orienté du pôle Sud vers le pôle Nord, et permet ainsi de polariser les boucles
de courants.
À moment magnétique identique, le champ magnétique à grande distance est le même pour un aimant
ou une boucle de courant.
Fig. 4 – Similitudes entre les champs créés par un aimant et une bobine. Les deux sources de champs sont
toutes deux équivalentes à un même moment magnétique orienté du pôle Sud vers le pôle Nord.
Moment magnétique...
B d’un aimant droit usuel
B d’un petit aimant néodyme fer bore
B de la Terre
2
2.1
Ordre de grandeur
≈ 1 A · m2
≈ 10 A · m2
≈ 8 × 1022 A · m2
La force de Laplace
Mise en évidence expérimentale
Expérience 3 : Expérience des rails de Laplace : un circuit électrique fixe est fermé par une
tige mobile posée sur le circuit. Un courant est imposé dans le circuit par un générateur et
celui-ci est plongé dans un champ magnétique uniforme créé par un aimant en U.
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Induction 1 : Champ magnétique et forces de Laplace
Maxime Champion
M
#”
B
y
z
•
•
i
L
x
N
Fig. 5 – Schéma de l’expérience des rails de Laplace : la tige mobile MN ferme le circuit électrique alimenté par
un courant continu i. Le circuit est placé dans un champ magnétique extérieur, uniforme et constant.
. On constate que la tige se met en mouvement lorsque le courant est présent. Nécessairement, une force
est apparue, cette force est la force de Laplace.
L L L Attention ! La présence du courant dans le circuit induit un champ magnétique comme
#”
nous l’avons vu précédemment. Ce champ est ici négligé. Le champ B est imposé de l’extérieur
par un aimant en U.
#”
Remarque : Supposons que le champ B est produit par un autre circuit électrique, dans
lequel l’expérimentateur impose un courant. Cette expérience est une illustration de base de
la conversion d’énergie électrique (le courant qui produit le champ) en énergie mécanique (le
mouvement de la tige).
2.2
Résultante de la force de Laplace
Définition. La force de Laplace qui s’exerce sur une barre conductrice M N soumise à un courant i et
#”
placée dans un champ magnétique extérieur uniforme et stationnaire B vaut
#”
# ” #”
F Laplace = iM N ∧ B .
(2.1)
# ”
L L L Attention ! Cette définition implique que le courant i est orienté selon le sens du vecteur M N
comme dans le schéma de la figure 5.
Remarque : Attention à bien orienter la force selon la règle de la main droite.
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Induction 1 : Champ magnétique et forces de Laplace
Maxime Champion
Application 3 : Montrer que dans le cas de la situation de la figure 5, la force de Laplace vaut
−iLB #”
e x . On néglige les phénomènes d’induction (cf. cours I3). Quelle est le mouvement de la tige ?
Comment la faire aller dans l’autre sens ?
2.3
Puissance de la force de Laplace
Définition. La puissance délivrée par la force de Laplace qui s’exerce sur une barre conductrice M N
soumise à un courant i, animée d’une vitesse #”
v et placée dans un champ magnétique extérieur uniforme
#”
et stationnaire B vaut
# ” #”
PLaplace = iM N ∧ B · #”
v .
(2.2)
# ”
L L L Attention ! Cette définition implique que le courant i est orienté selon le sens du vecteur M N
comme dans le schéma de la figure 5.
Application 4 : Montrer que dans le cas de la situation de la figure 5, la puissance de la force de
Laplace vaut −iLB ẋ.
3
3.1
Couple des actions mécaniques de Laplace
Présentation
On considère un cadre rectangulaire ABCD parcouru par un courant i. Ce cadre est susceptible de
#”
tourner autour de l’axe (Oz). On impose un champ magnétique uniforme B = B #”
e x . On note θ l’angle
#”
entre B et la normale au cadre orientée dans le sens de i que l’on notera #”
n . La situation est schématisée
figure 6.
z
θ̇
•
E
#”
n
y
A
M1
A
i
#”
eθ
#”
er
#”
n
θ
•
•
L
•
M3
O
M4
x
z
•
•
i
C
#”
B
M2
•
E
D
Vue de dessus
d
Fig. 6 – Spire rectangulaire, parcourue par un courant, en rotation autour d’un axe de symétrie de la spire
passant par les deux milieux de cotés opposés et placée , dans un champ magnétique extérieur uniforme et
stationnaire orthogonal à l’axe de symétrie.
3.2
Calcul de la force de Laplace
La force totale de Laplace est la somme des forces sur chacun des éléments du cadre, c’est-à-dire
#”
#”
#”
#”
#”
F Laplace = F AE + F EC + F CD + F DA ;
# ” #”
# ” #”
# ” #”
# ” #”
= iAE ∧ B + iEC ∧ B + iCD ∧ B + iDA ∧ B ;
# ” # ” #”
# ” # ” #”
= i AE + CD ∧ B + i EC + DA ∧ B ;
#”
= 0 .
. L’action de la force de Laplace sur le cadre est donc un couple.
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Induction 1 : Champ magnétique et forces de Laplace
3.3
Maxime Champion
Calcul du moment du couple de Laplace
. Sur AE, la force de Laplace est équivalente à une force unique s’appliquant au milieu de AE que l’on
note M1
#”
# ” #”
F AE = i AE ∧ B = F AE #”
ez .
On en déduit donc
# ” #” ez = 0 .
MAE
= OM1 ∧ F AE · #”
z
Application 5 : De même, montrer que le moment de la force de Laplace sur CD est nul.
. Sur EC, la force de Laplace est équivalente à une force unique s’appliquant au milieu de EC que l’on
note M3
#”
# ” #”
F EC = i EC ∧ B = −i L B #”
ey .
On en déduit donc
MEC
z
#
” #” ez = i
= OM4 ∧ F EC · #”
L
d
− #”
e θ ∧ (−i L B #”
e y ) · #”
e z = −i L B sin θ .
2
2
Application 6 : De même, montrer que le moment de la force de Laplace sur AD vaut aussi
d
−i L B sin θ.
2
Au final, en sommant tous les moments, on a
Mz = MAE
+ MEC
+ MCD
+ MDA
= −i L d B sin θ .
z
z
z
z
Remarque : On aurait pu calculer le moment en n’importe quel autre point que O, on aurait
obtenu le même résultat.
On introduit la surface de la spire S = L d et on peut donc définir le moment magnétique de la boucle
#”
M = iS #”
n.
Remarque : Si on superpose N spires de courant, il faut remplacer S par N S
Définition. Le moment du couple des forces des Laplace par rapport à un axe #”
e ∆ sur un moment
#”
#”
magnétique M plongé dans un champ uniforme et stationnaire B vaut
# ” #”
M∆ = M ∧ B · #”
e∆ .
(3.1)
Application 7 : Montrer que la dynamique de la rotation de la spire est équivalente à celle du
pendule pesant.
4
4.1
Action d’un champ magnétique sur un aimant
Champ magnétique extérieur
Par analogie avec le cas de la spire, on peut montrer que le moment du couple créé par un champ
#”
# ” #”
#”
magnétique par rapport à un axe de rotation e ∆ sur un moment magnétique M vaut M∆ = M ∧ B · #”
e ∆.
#”
Ainsi, le mouvement d’un aimant dans un champ magnétique uniforme, en supposant que B et M sont
#”
tous deux orthogonaux à #”
e et en notant θ l’angle entre B et M, il vient
∆
# ” #”
J∆ θ̈ = M ∧ B · #”
e ∆ = −MB sin θ
(4.1)
avec J∆ le moment d’inertie de l’aimant par rapport à l’axe ∆. Il s’agit d’un mouvement oscillant du même
type que celui du pendule pesant.
Par analogie avec le mouvement du pendule pensant, le système connaît deux positions d’équilibre
. la position d’équilibre stable θ = 0 : le moment magnétique et le champ sont alignés ;
9/10
Induction 1 : Champ magnétique et forces de Laplace
Maxime Champion
. la position d’équilibre instable θ = π : le moment magnétique et le champ sont de sens opposés.
La présence de frottements mécanique au niveau de la liaison des boussoles et les vibrations ambiantes
conduisent donc celles-ci à s’orienter le long du champ magnétique. Sans sources artificielles de champ, les
boussoles s’orientent donc le long des lignes de champ du champ magnétique terrestre, donc vers le pôle
Sud Magnétique, proche du pôle Nord géographique.
Expérience 4 : TP 25 - Interaction entre un champ magnétique uniforme et un aimant.
4.2
Champ magnétique tournant
L’idée de base est la suivante : on place deux bobine à 90ř l’une de l’autre. La bobine 1 est parcourue
par un courant i1 = i0 cos(ωt) et la bobine 2 par un courant i2 = i0 cos(ωt + π/2). Ces deux bobines fixes
sont nommées stator.
#”
On place en O un système que l’on nomme rotor caractérisé par son moment magnétique M. Si les
bobines sont suffisamment grandes devant la taille du rotor, on peut considérer que le champ produit par
chacune des bobines est uniforme sur le rotor.
#”
Le champ produit par la bobine 1 sur S est B 1 = B0 cos(ωt) #”
e x . Le champ produit par la bobine 2 sur
#”
S est B = B cos(ωt + π/2) #”
e . Le champ magnétique total appliqué sur S est donc :
2
0
y
#”
B = B0 (cos(ωt) #”
e x + sin(ωt) #”
e y) .
On réalise ainsi un champ magnétique tournant sans faire tourner de pièce mécanique.
Ensuite, comme le moment magnétique est soumis à un couple qui tend à l’aligner avec le champ
magnétique, celui-ci va se mettre en rotation. C’est le principe d’un moteur synchrone : le champ et
l’aiguille tournent à la même vitesse.
y
z
•
#”
B
#”
B2
ωt
•
φ
O
Bobine 1
#”
B1
x
#”
M
Bobine 2
Fig. 7 – Principe de création d’un champ magnétique tournant, le moment magnétique tourne avec le champ.
L’éventuel déphasage constant φ entre le champ et le rotor est lié à la présence d’un couple de transmission qui
permet de récupérer l’énergie mécanique.
En pratique, il est compliqué de créer deux courants déphasés de π/2. Par contre, le réseau électrique
EDF fournit un courant triphasé, c’est-à-dire trois courants tous déphasés de 2π/3 qui permettent facilement de créer un champ tournant (voir l’animation [2]).
Expérience 5 : Création d’un champ magnétique tournant à l’aide de courant triphasé et
visualisation par le mouvement d’une boussole.
Références
[1] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Champs/topoB.php
[2] http://web.cortial.net/bibliohtml/chptri_j.html
10/10