Transfert thermique par rayonnement et conduction dans les

Analogie entre le photon et le phonon A
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PARTIE I
ANALOGIE ENTRE LE PHOTON ET LE PHONON

Analogie entre le photon et le phonon A
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Introduction
Cette partie est consacrée à l’établissement de l’analogie entre le photon et le phonon afin de
traiter le transfert par conduction et le transfert par rayonnement de la même façon. Après
avoir rappelé les caractéristiques du rayonnement électromagnétique et du photon, d’une part,
et de l’onde de vibration d’un solide et du phonon d’autre part, nous établissons l’analogie
entre le photon et le phonon à partir d’une dérivation des paramètres énergétiques (énergie,
flux et intensité) et de l’équation de transport de Boltzman (ETB) sous l’approximation du
temps de relaxation. Les limites de validité de l’ETB et l’approximation du temps de
relaxation sont discutées. Nous terminons par l’établissement de l’équation de transport de
photon ou de phonon en présence d’hétérogénéités. Les méthodes de résolution les plus
utilisées sont revues en soulignant un à un leurs aspects positifs et négatifs, puis, on procède
au choix de la méthode de résolution à adopter en fonction du matériau étudié.
I.1. Généralité
I.1.1. Le rayonnement électromagnétique
Le rayonnement électromagnétique désigne la propagation des champs électrique et
magnétique. Il peut se caractériser par un flux de particules dépourvues de masse, les photons,
associé à une onde : l'onde électromagnétique.
La lumière désigne un rayonnement électromagnétique visible par l’œil humain. Les
ondes radio, les rayons X et γ sont également des rayonnements électromagnétiques. Le
spectre électromagnétique désigne la décomposition du rayonnement électromagnétique en
fonction de sa longueur d'onde, de sa fréquence, ou de l'énergie de ses photons (figure I.1).
Figure I.1 : Spectre d’onde électromagnétique
Le rayonnement électromagnétique peut se modéliser de deux manières :
1) Sous forme d’onde électromagnétique : la propagation du rayonnement résulte d’une
variation des champs électrique et magnétique ; l'analyse spectrale permet de
décomposer cette onde en ondes monochromatiques de longueurs d’onde λ ;
2) Sous forme de photon : la mécanique quantique associe à une radiation
électromagnétique monochromatique un corpuscule de masse nulle nommé photon.
Dans le vide, le rayonnement électromagnétique, en particulier la lumière, se déplace à
la vitesse environ s/m
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103 + ×. Cette vitesse, appelée vitesse de la lumière et notée 0 c, est
l’une des constantes physiques fondamentales.
La longueur d'onde du rayonnement est égale à :

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ν
=λ /cn (I.1)
où n c est la vitesse de l’onde dans le milieu considéré d’indice de réfraction ν n pour la
fréquence
ν
telle que :
ν
=n/ccn0 (I.2)
Les sources de rayonnement produisent de très grandes quantités de photons. Les
processus permettant de produire des photons sont divers. Par ordre de longueur d'onde
décroissante, on peut citer :
• Les courants électriques hautes fréquences permettent de produire les ondes radio et
les ondes radar ;
• Les transitions électroniques c’est à dire, le passage d'un électron d'un niveau d'énergie
plus élevé vers un niveau plus faible, dans les atomes produisent des ondes infrarouges,
de la lumière visible et du rayonnement ultraviolet ;
• La radioactivité par la désintégration d'un noyau atomique instable, le freinage
d'électrons par un tube à rayons X, et la déviation de faisceau d'électrons relativistes par
un rayonnement synchrotron peuvent être utilisés pour produire des rayons X.
• Les transitions nucléaires produisent le rayonnement γ.
I.1.1.1. L'onde électromagnétique
La théorie ondulatoire de la lumière a été principalement développée par Christiaan Huygens
dans les années 1670, et par Augustin Fresnel (1822). Elle s'opposait à l'époque à la théorie
corpusculaire, défendue essentiellement par Isaac Newton (1672). Huygens travaillait
principalement sur les lois de réflection et de réfraction, tandis que Fresnel développait les
notions d'interférence et de longueur d'onde.
La grande avancée théorique fût la synthèse des lois de l'électromagnétisme par James
Clerk Maxwell (1864). Les équations de Maxwell prédisaient la vitesse des ondes
électromagnétiques, et la mesure de la vitesse de la lumière démontra que la lumière était de
nature électromagnétique.
Comme toutes les ondes, une onde électromagnétique peut s'analyser en utilisant
l'analyse spectrale : on peut la décomposer en ondes dites «ondes monochromatiques ».
Les champs électromagnétiques sont polarisés transversalement dans le plan
perpendiculaire au vecteur d’onde, λπ= /q 2
G
, avec une composante parallèle )(II et une
composante perpendiculaire )(⊥.
Une onde électromagnétique monochromatique peut se modéliser par un dipôle vibrant
(cf. figure I.2). Ce modèle reflétant convenablement, par exemple, les oscillations du nuage
électronique d'un atome intervenant dans la diffusion Rayleigh (modèle de l'électron
élastiquement lié).
Figure I.2 : Onde électromagnétique, oscillation couplée du champ électrique
E
G
et du champ
magnétique
H
G
. Modèle du dipôle vibrant où les charges dipolaires sont e− et e+

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Les variations des champs électrique,
E
G
, et magnétique,
H
G
, sont liées par les équations
de Maxwell, on peut donc représenter l'onde par un seul de ces champs, en général, le champ
électrique. On peut alors écrire l’expression générale d'une onde plane monochromatique par :
[]
)(.cos),( 0 ϕω +−= trqEtrE
G
G
G
G
G
(I.3)
où
•
r
G
est le vecteur position du point considéré ;
•
ϕ
est la phase de l’onde à l'origine.
Au lieu de l’équation (I.3), on utilise aussi fréquemment la forme complexe suivante :
[]
)(exp),( 0 ϕω +−⋅= trqjEtrE
G
G
G
G
G
(I.4)
I.1.1.1.1. Propriétés
o La polarisation :
La polarisation correspond à la direction et à l'amplitude du champ électrique
E
G
. Pour une
onde non polarisée dite naturelle,
E
G
tourne autour de son axe de façon aléatoire et
imprévisible au cours du temps. Il y a plusieurs sortes de polarisation :
• La polarisation est linéaire quand
E
G
reste toujours dans le même direction (cf. figure
I.3a) ;
• La polarisation est circulaire quand le champ magnétique EouH
G
G
tourne autour de q
G
en formant un cercle (cf. figure I.3b et I.3c) ;
• La polarisation est elliptique dans le cas où le champ EouH
G
G
tourne autour de q
G
et
change d'amplitude pour former une ellipse (figure I.3b et I.3d) .
Figure I.3a : Polarisation linéaire
Figure I.3b : Polarisation circulaire ou elliptique

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Figure I.3c : Rotation du champ
magnétique
H
G
dans le cas d’une
polarisation circulaire à un instant t.
Figure I.3d : Rotation du champ
magnétique
H
G
dans le cas d’une
polarisation elliptique à un instant .
t
o Le comportement ondulatoire :
Dans un milieu homogène et isotrope, l'onde électromagnétique se propage en ligne droite.
Lors de sa rencontre avec un obstacle, il y a diffusion. Lors d'un changement de milieu, il y a
réflexion et réfraction. Il y a aussi réfraction si les propriétés du milieu changent selon
l'endroit.
• Réflexion (cf. figure I.4a) : lors d'un changement de milieu de propagation, c’est à
dire changement d’indice de réfraction, une partie de l'onde électromagnétique repart vers
le milieu d'origine.
• Réfraction (cf. figure I.4a) : lors d'un changement de milieu de propagation, si le
second milieu a un indice de réfraction différent du premier, l'onde se propage dans le
seconde milieu avec une direction différente.
• Diffusion (cf. figure I.4b) : c’est le phénomène au cours duquel un faisceau de
rayonnement percutant un obstacle est dévié dans de multiples directions.
• Interférence (cf. figure I.4c) : c’est la superposition d’ondes monochromatiques de
même fréquence. Quand les ondes sont en phases, il y a superposition d’amplitudes,
l’interférence est dite constructive. Cependant, quand il y a opposition de phase, les
amplitudes se soustraient, l’interférence est dite destructive.
• Diffraction (cf. figure I.4c) : lorsqu’une onde est diffusée par un obstacle, les ondes
diffusées peuvent interférer de façon constructive et destructive, la densité de l'onde n'est
pas conservée. La diffraction est en fait le résultat de l'interférence des ondes diffusées.
n
1
n
2
n
2
> n
1
Figure I.4a : Réflexion et réfraction d’un faisceau lumineux à l’interface entre deux milieux
d’indice de réfraction différent