Magnétostatique - Jean

Magnétostatique J.J. Herstain
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Magnétostatique
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Magnétostatique
Par Jean-Jacques HERSTAIN 02/10/2011
Les formules encadrées avec ** sont à parfaitement connaître
Les formules encadrées avec * sont à savoir retrouver très rapidement (moins de 30 secondes)
Les formules encadrées sans * sont à savoir retrouver
Dans tout ce chapitre, on travaille dans un référentiel galiléen et aucune grandeur ne varie au
cours du temps.
1
1 P Pr ro op pr ri ié ét té és s d du u c ch ha am mp p m ma ag gn né ét ti iq qu ue e
1.1 Théorème d’Ampère
L’équation de Maxwell Ampère
rot
o o
E
B µ j
t
ε
∂
= +
∂
devient en statique rot
o
B µ j
= .
(Aucune grandeur ne dépend du temps)
Elle est intégrée sur la surface S entourée par le contour Γ
rot
o
S S
B dS j dS
µ
⋅ = ⋅
∫∫ ∫∫
Le flux du vecteur densité de courant à travers la surface S, est l’intensité algébrique ie à
travers S (ici
1 2
e
i i i
= −
). On dit que ie est le courant enlacé par le contour Γ.
D’après le Théorème de Stokes :
o e
B dl µ i
Γ
⋅ =
∫
**
Théorème d’Ampère : La circulation du champ magnétique sur une courbe Γ fermée est égale
au produit de la perméabilité du vide par l’intensité algébrique du courant traversant une
surface (orientée) s’appuyant sur le contour Γ .
Ce courant est appelé courant enlacé.
La circulation du champ magnétique n’est conservative que sur un contour n’enlaçant
aucun courant .
Application:
Champ magnétique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un
courant permanent i.
Tout plan passant par le fil est plan de symétrie.
B
est un vecteur
axial, il est donc perpendiculaire à ce plan :
B
est orthoradial.
La symétrie axiale fait que
B
ne dépend pas de θ .
D’où la circulation de
B
: 2
B dl B dl rB
π
Γ Γ
⋅ = ⋅ =
∫ ∫

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2
Théorème d’Ampère : 2
o e
rB µ i
π = i
e =
i
2
o
µ i
B u
r
θ
π
=
(en remarquant que le courant traverse la surface portée par la spire dans le sens positif)
avec i =1A, r =10cm,
7
4 10 . . .
o
µ U S I
π
−
= B=2.10
-6
T
(l’unité T : Tesla est définie plus loin, mais à titre de comparaison, le champ magnétique
terrestre a pour ordre de grandeur 10
-4
T )
ici le fil a été supposé infiniment fin, si on suppose maintenant qu’il s’agit d’un cylindre de
rayon a et infiniment long, le raisonnement reste le même en un point situé à l’extérieur du
cylindre.
A l’intérieur en revanche et si on suppose le courant uniformément réparti (
j
uniforme) le
courant enlacé n’est plus que j.S c’est à dire
2
2
e
r
i i
a
ππ
= , la circulation est toujours 2
rB
π
On en déduit
2
2
o
µ ri
B u
a
θ
π
=
On note que le champ s’annule sur l’axe.
Remarque importante :
D’une manière plus générale, le théorème d’Ampère permet de calculer un champ dans les
deux cas suivants :
• Le problème est à symétrie cylindrique : Il y a invariance lors d’une rotation autour de
l’axe de symétrie.
• Le problème est à symétrie plane. Il y a invariance lors d’une translation parallèlement
au plan de symétrie.
Dans tout autre cas, il reste évidemment vrai, mais la circulation ne pouvant se calculer de
manière simple, il est inadapté pour calculer le champ.
1.2 Flux du champ magnétique
1.2.1 flux conservatif
L’équation de Maxwell
div 0
B
=
On l’intègre sur le volume τ entouré par la surface fermée S.
div 0
B d
τ
τ
⋅ =
∫∫∫
Théorème d’Ostrogradsky :
0
S
B dS
⋅ =
∫∫
Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est
nul :
le champ magnétique est à flux conservatif . **
Notamment, le flux du champ magnétique à travers un tube de champ est constant.

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1.2.2 Potentiel vecteur
div 0
B
=
implique
rot
B A
=
**
A
est appelé potentiel vecteur
Le flux de
B
à travers la surface S limitée par le contour Γ est :
rot
S S
B dS A dS
⋅ = ⋅
∫∫ ∫∫
et d’après le théorème de Stokes :
S
B dS A dl
Γ
⋅ = ⋅
∫∫ ∫
**
Le flux de
B
à travers une surface S est égal à la circulation du potentiel vecteur sur le contour
orienté limitant S.
Remarque :
dS
est un vecteur axial, donc
B dS
⋅
est un scalaire.
A dl
⋅
est donc également un scalaire et le
potentiel vecteur
A
est un vecteur polaire comme
dl
.
1.2.3 Jauge de Coulomb
Les propriétés magnétiques de l’espace peuvent être décrites de manière équivalente par le
champ
B
ou par le champ
A
puisque
rot
B A
=
Supposons
1
A A
=
connu en tout point du référentiel R
On en déduit
B
en tout point :
1 1
rot
B B A
= =
Considérons une fonction d’espace (champ de scalaires)
(
)
, ,
x y z
ϕ arbitraire mais dérivable en
tout point.
Appelons
2 1
grad
A A
ϕ
= + un nouveau potentiel vecteur et
2 2
rot
B A
= le champ magnétique
qui s’en déduit.
Alors
2 1
B rot A rot grad
ϕ
= + or
0
rot grad ϕ
=
donc
2 1
B B
=
On peut donc ajouter le gradient de n’importe quelle fonction d’espace au potentiel vecteur
A
sans modifier la valeur du champ magnétique
B
qui s’en déduit.
Le potentiel vecteur est défini au gradient d’une fonction quelconque près.
Par ailleurs :
2 1
div div div
A A grad
ϕ
= +
2 1
div divA A
ϕ
= +∆
On peut choisir la fonction
ϕ
de sorte à ce que
1
div
A
ϕ ∆ = −

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On fait alors un choix de potentiel vecteurs parmi une infinité qui décrivent de la même
manière les propriétés magnétiques de l’espace.
Alors
2
div 0
A
=
C’est la condition de jauge de Coulomb
div 0
A
=
Elle sera adoptée dans toute la suite de la magnétostatique et est l’analogue de l’annulation de
la constante dans le potentiel électrostatique.
Signification de la jauge de Coulomb :
Le flux du potentiel vecteur est conservatif
0
A dS
⋅ =
∫∫
1.2.4 Exemple
A l’intérieur d’un cylindre de rayon a et de hauteur infinie, le champ
B
est uniforme et parallèle à l’axe du cylindre. A l’extérieur il est nul
partout.
En déduire le potentiel vecteur à une distance r de l’axe, à l’intérieur et
à l’extérieur du cylindre.
B
est un vecteur axial ; tout plan passant par l’axe du cylindre est donc
un plan d’antisymétrie.
A
est un vecteur polaire, il est donc normal à ce
plan.
A
est donc orthoradial et les lignes de champ de
A
sont
circulaires.
La circulation de
A
sur un cercle C ayant même axe que le cylindre est
égale au flux de
B
à travers un disque limité par C :
si r<a
2
2
rA r B
π π =
2
r
A Bu
θ
=
si r>a
2
2
rA a B
π π =
2
2
a
A Bu
r
θ
=
1.2.5 Expression du potentiel vecteur
En statique rot
o
B µ j
=
comme
rot
B A
= il vient
(
)
rot rot
o
A µ j
=
Calculons la composante de
(
)
rot rot
A
sur l’axe Ox d’un repère cartésien.
( )
rot rot
yx x
z
x
AA A
A
A
y x y z z x
∂
∂ ∂∂ ∂ ∂
  = − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( )
2 2 2
2 2 2
rot rot
y
x x x x
z
x
A
A A A A
A
A
y z x x x y z
∂
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
  = − − − + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

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On a utilisé le fait que les variables x, y, z sont indépendantes, l’ordre des dérivations peut
donc être permuté.
(
)
rot rot div
x
x
A A A
x
∂
= −∆ +
∂
Des expressions analogues seraient obtenues sur Oy et sur Oz
d’où
(
)
rot rot graddiv
A A A
= −∆ +
**
formule mathématique qui pourra servir en d’autres occasions.
avec la jauge de Coulomb :
div 0
A
=
d’où
o
A µ j
∆ = −
Equation de Poisson de la magnétostatique
Projeté sur l’axe Ox :
x o x
A µ j
∆ = −
à comparer à
o
V
ρ
ε
∆ = −
équation différentielle dont la solution est 4
o
espace
d
V
r
ρ τ
πε
=
∫∫∫
En remplaçant V par A
x
, ρ par j
x
, et
1
par
o
o
ε
µ
on obtient :
4
o x
xespace
µ j d
A
r
τ
π
=
∫∫∫
Donc 4
o
espace
µ jd
A
r
τ
π
=
∫∫∫
r étant la distance entre l’élément de volume
d
τ
et le point
où on calcule le potentiel vecteur.
• Si
j
provient d’un courant dans un circuit filiforme de section s : alors
d s dl
τ
= ⋅
, dl étant
un élément de longueur du circuit et
(
)
jd j s dl jsdl idl
τ = ⋅ = = d’où
4
o
µ i
dl
A
r
π
=
∫
**
• Si
j
provient d’un déplacement à la vitesse
v
de particules chargées :
Comme
j v
ρ
= ρ étant la densité volumique de charges mobiles
alors
jd vd dqv
τ ρ τ = =
4
o
µ
dqv
A
r
π
=
∫
ou
4
o i i
i
i
µ q v
A
r
π
=
∑
ou pour une seule particule
4
o
µ qv
A
r
π
=
1.2.6 Formule de Biot et Savart
Calculons au point M,
dB
la contribution au champ magnétique
B
de
l’élément de volume
d
τ
contenant un vecteur densité de courant
j
.
rot
dB dA
=
4 4
y
o oz
x
j d
µ µj d
dB
y r z r
τ
τ
π π
∂ ∂
= −
∂ ∂
d
τ
ττ
τ
A
j r