Racines n-i`emes d`un nombre complexe. Racines de l`unité

DOCUMENT 14
Racines n-ièmes d’un nombre complexe. Racines de l’unité.
Applications.
Dans un document précédent, on a introduit le corps des nombres complexes afin que tout
nombre réel ait une racine carrée. On va voir ici que l’on a obtenu beaucoup plus et que, pour
tout entier n 6= 0, tout nombre complexe non nul possède n racines n-ièmes.
On suppose ici que l’on a montré que tout réel positif a possède une racine n-ième positive,
notée a1/n . La preuve habituelle de ce résultat utilise les fonctions réciproques.
1. Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Pour tout a ∈ C et tout entier n ≥ 1, posons Vn (a) = {z ∈ C|z n = a}. Un élément de Vn (a)
est appelé une racine n-ième de a. Comme C est un corps, Vn (0) = {0}. Dans la suite on
supposera toujours a 6= 0 ce qui entraine 0 6∈ Vn (a).
Posons a = |a|eiφ et soit z = |z|eiθ ∈ C∗ . On a :
z = |z|eiθ ∈ Vn (a) ⇔ |z|n einθ = |a|eiφ
|z|n = |a|
⇔
nθ = φ + 2kπ, k ∈ Z
(
|z| = |a|1/n
⇔
φ + 2kπ
, k∈Z
θ=
n
Si pour k ∈ Z, on pose zk = |a|1/n ei
Soit k, k 0 ∈ Z. On a :
zk = z k 0
φ+2kπ
n
alors Vn (a) = {zk |k ∈ Z}.
φ + 2k 0 π
φ + 2kπ
=
+ 2λπ, λ ∈ Z
n
n
⇔ k = k 0 + λn, λ ∈ Z
⇔
Autrement dit, zk = zk0 équivaut à k ≡ k 0 (mod n). On a donc, pour tout p ∈ Z, Vn (a) =
{zk |k ∈ [p, p + n − 1]} car Z/nZ = {p, p + 1, . . . , p + n − 1}. En général, on choisit p = 0 et si n
est impair, n = 2m + 1, on peut prendre p = −m.
Théorème 14.1. Pour tout entier n ≥ 1, tout nombre complexe non nul a = |a|eiφ possède
n racines n-ièmes données par
1 φ + 2kπ
i
n
zk = |a| n e
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
Remarque. Le théorème précédent n’a rien de surprenant car, comme tout polynôme de degré
n ≥ 1, Pn (x) = xn − a ∈ C[X] possède n zéros complexes. De plus, 0 étant le seul zéro de
Pn0 (x) = nxn−1 , tous les zéros de Pn sont simples.
159
160
14. RACINES N-IèMES D’UN NOMBRE COMPLEXE
Racines conjuguées, racines réelles. Soit z ∈ Vn (a). Si z ∈ Vn (a) alors a = z n = z n =
= a d’où a ∈ R. Les nombres réels sont donc les seuls à posséder éventuellement des racines
n-ièmes conjuguées.
Soit k, k 0 ∈ [0, n − 1] et a = |a|eiφ avec φ = 0 ou φ = π.
zn
zk = zk 0
φ + 2kπ
φ + 2k 0 π
=−
+ 2λπ, λ ∈ Z
n
n
⇔ φ + kπ + k 0 π = λnπ λ ∈ Z (1)
⇔
φ = 0 (⇔ a > 0)
La relation (1) équivaut à k + k 0 = λn et l’on a 0 ≤ k + k 0 ≤ 2n − 2. Si k + k 0 = 0 alors k = k 0
et z0 = z0 = |a|1/n . Si k + k 0 = n alors k 0 = n − k et zk = zn−k , k = 1, 2, . . . , n − 1. L’égalité
k = n − k équivaut à 2k = n et donc a possède une deuxième racine n-ième réelle si et seulement
si n est pair et on a alors zn/2 = zn/2 = −|a|1/n .
φ = π (⇔ a < 0)
La relation (1) équivaut à k +k 0 +1 = n ce qui équivaut encore à k 0 = n−k −1 d’où zk = zn−k−1 ,
k = 0, 1, . . . , n − 1. L’égalité k = n − k − 1 est équivalente à n = 2k + 1. Le nombre complexe a
possède donc une racine n-ième réelle si et seulement si n est impair. Dans ce cas, cette racine
est z n−1 = −|a|1/n .
2
Conclusions
• a > 0 z0 = |a|1/n ∈ R et si n est pair, z n2 = −|a]1/n ∈ R. On a zk = zn−k avec
k = 1, . . . , n − 1.
• a < 0 Ancune racine n-ième réelle si n est pair. Si n est impair, z n−1 ∈ R et zk =
2
zn−k−1 avec k = 0, 1, . . . , n − 1.
2. Racines n-ièmes de l’unité
2kπ
i
Posons Un = Vn (1) et ωk = e n . Le théorème 14.1 entraine que Un = {ωk |k ∈ [0, n − 1]}
et on remarque que Un ⊂ U = {z ∈ C| |z| = 1}. De façon plus précise :
Proposition 14.1. Les racines n-ièmes de l’unité forment un sous-groupe de (U, .) isomorphe au groupe cyclique (Z/nZ, +).
Réciproquement, si G est un sous groupe fini d’ordre n de (C∗ , .) alors il existe n ∈ N tel
que G = Un et G est un sous groupe cyclique de (U, .), isomorphe à (Z/nZ, +).
Preuve. On considère Z/nZ sous la forme {0, 1, . . . , n − 1} et on définit une application f
de Z/nZ dans Un par f (k) = ωk , 0 ≤ k ≤ n − 1.
• L’application f est bien définie car ωk ne dépend que de la classe de k modulo n.
• Elle est surjective car Un = {ω0 , ω1 , . . . , ωn−1 }. Elle est donc bijective car Z/nZ et Un
sont des ensembles finis ayant tous deux n éléments (on sait aussi que ωk = ωk0 ⇔ k =
k 0 ).
• On a k + k 0 = k + k 0 = k + k 0 − εn avec ε = 0 si k + k 0 ≤ n − 1 et ε = 1 si n ≤ k + k 0 ≤
2n − 2. Dans les deux cas, 0 ≤ k + k 0 − εn ≤ n − 1.
2(k + k 0 − εn)π
2kπ 2k 0 π
i
i
i
n
f (k + k 0 ) = f (k + k 0 − εn) = e
= e n .e n .e−2iεπ = ωk .ωk0 = f (k)f (k 0 ).
2. RACINES N-IèMES DE L’UNITÉ
161
L’application f est donc un isomorphisme du groupe (Z/nZ, +) sur le groupe (Un , .).
Soit G un sous-groupe d’ordre n de (C∗ , .). Le théorème de Lagrange entraine que pour tout
z ∈ G il existe un diviseur d > 0 de n tel que z d = 1 (d est l’ordre de z). On a n = dd0 d’où
0
z n = (z d )d = 1 et donc z est une racine n-ième de 1. Comme G et Un ont le même nombre
d’éléments, G = Un .
Conséquences. Les groupes isomorphes (Z/nZ, +) et (Un , .) ont les mêmes propriétés. En
particulier, (Un , .) est un groupe cyclique engendré par ω1 et, plus généralement, par tout ωk
tel que k et n sont premiers entre eux. Si c’est le cas alors Un = {ωk , ωk2 , . . . , ωkn = 1}. Les
générateurs de Un sont appelés les racines primitives n-ièmes de l’unité. Il y a φ(n) (fonction
indicatrice d’Euler) racines primitives n-ièmes et le polynôme unitaire de degré φ(n) dont les
zéros sont les racines primitives n-ièmes est appelé polynôme cyclotomique d’ordre n. Ces
polynômes jouent un rôle important dans la preuve classique du théorème de Wedderburn: tout
corps fini est commutatif.
Remarque. La proposition précédente n’est qu’un cas particulier du résultat suivant : tout
sous-groupe multiplicatif fini d’un corps commutatif est cyclique (voir la partie ”Compléments”
du document 5). Il découle de ce résultat que Un est le seul sous-groupe multiplicatif de (C∗ , .)
d’ordre n.
La proposition suivante montre que Vn (a) est déterminé par l’un de ses éléments et Un .
Proposition 14.2. Soit zk une racine n-ième de a. L’application ωm → ωm zk est une
bijection de Un sur Vn (a). Autrement dit :
Vn = {zk , ω1 zk , ω2 zk , . . . , ωn−1 zk }
n z n = a. Elle est
Preuve. Cette application est à valeurs dans Vn (a) car (ωm zk )n = ωm
k
injective car ωm zk = ωp zk implique ωm = ωp . Les ensembles finis Un et Vn (a) ayant tous deux
n éléments, elle est bijective.
Exemples et remarques. 1) D’un point de vue géométrique, la proposition précédente signifie
que Vn (a) se déduit de Un par la similitude directe de centre 0, de rapport |zk | = |a|1/n et dont
la mesure de l’angle est arg zk . Si θ est un argument de a, alors cet angle a pour mesure
θ + 2kπ
+ 2πZ.
n
√
2π
4π
i
2π
2π
−1 + i 3 i
4π
2) Les racines cubiques de 1 sont 1, e 3 = cos
+ i sin
=
, e 3 = cos
+
3
3
2
3
√
4π
−1 − i 3
sin
=
. La seconde est notée j et on voit que la troisième vaut j 2 = j.
3
2
n−1
X
ωk . Comme ωk = ω1k , on a
3) Soit S =
0
S=
n−1
X
0
ωk =
1 − ω1n
= 0.
1 − ω1
162
14. RACINES N-IèMES D’UN NOMBRE COMPLEXE
Plus généralement, la somme des racine n-ièmes d’un nombre complexe est nulle (n > 1).
Géométriquement, ce résultat signifie que 0 est l’isobarycentre de Vn (a). On montre aussi facilen−1
X
ment que, pour tout entier p > 0, p 6∈ nZ, Sp =
(ωk )p = 0 et le résultat analogue pour les
0
racines n-ièmes d’un nombre complexe quelconque.
n−1
n−1
Y
Y
n−1
4) On a aussi
ωk = (−1)
et plus généralement
zk = (−1)n−1 a si Vn (a) = {z0 , . . . , zn−1 }.
0
0
Evidemment, ces résultat ne sont que des cas particuliers des relations classiques entre
coefficients et zéros d’un polynôme.
3. Interprétation géométrique
Soit P un plan affine euclidien orienté et n ≥ 2 un entier.
Définition 14.1. Soit M1 , . . . , Mn une suite de n points distincts du plan affine euclidien
orienté P . La ligne brisée fermée [M1 M2 ] ∪ · · · ∪ [Mn−1 Mn ] ∪ [Mn M1 ] est un polygone régulier
convexe à n cotés si :
(1) Les points M1 , . . . , Mn sont tous sur un même cercle de centre O ;
(2)
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→ \−−→
−−→\
−−→
\
\
(OM 1 , OM 2 ) = (OM 2 , OM 3 ) = · · · = (OM n−1 , OM n ) = (OM n , OM 1 )
−−→
−−→
\
et la mesure de (OM 1 , OM 2 ) est 2π/n + 2πZ ou −2π/n + 2πZ
Les points Mk sont appelés les sommets du polygone régulier et les segments [Mk Mk+1 ],
1 ≤ k ≤ n − 1, et [Mn M1 ] les cotés du polygone. Le point O est le centre du polygone.
Remarquons que O est équidistant de tous les sommets du polygone et que c’est l’isobarycentre
de l’ensemble des sommets.
En utilisant les propriétés élémentaires des rotations on obtient la caractérisation suivante
des polygones réguliers convexes.
Proposition 14.3. Soit M1 , . . . , Mn une suite de n points distincts du plan affine euclidien
P . La ligne brisée fermée [M1 M2 ] ∪ · · · ∪ [Mn−1 Mn ] ∪ [Mn M1 ] est un polygone régulier convexe
à n cotés de centre O si et seulement si
r(Mk ) = Mk+1 si 1 ≤ k ≤ n − 1 et r(Mn ) = M1 ,
2π
2π
+ 2πZ ou −
+ 2πZ.
où r est une rotation de centre O dont la mesure de l’angle est
n
n
Remarques. 1) Avec les notations de la proposition, il est clair que r({M1 , . . . , Mn }) =
{M1 , . . . , Mn } mais un ensemble de n points de P , stable par une rotation ρ, ne forme pas
nécessairement les sommets d’un polygone régulier convexe à n cotés. Par exemple, considérons
deux triangles équilatéraux ABC et DEF de même centre Ω. La rotation ρ de centre Ω et dont
une mesure de l’angle est 2π/3 conserve {A, B, C, D, E, F } et il est facile d’imaginer des cas
où {A, B, C, D, E, F } ne forme pas les sommets d’un polygone régulier convexe à 6 cotés (par
exemple, si ΩA et ΩD sont orthogonaux).
Si X est un polygone régulier convexe à n cotés de sommets M1 , . . . , Mn alors il existe
plusieurs rotations r laissant stable {M1 , . . . , Mn }. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que
4. APPLICATIONS
163
le centre de r soit l’isobarycentre de X et que la mesure de son angle soit l’argument ou l’opposé
de l’argument d’une racine primitive n-ième de l’unité.
2) Si l’on change l’orientation de P alors tout polygone régulier convexe à n cotés reste un
polygone régulier convexe à n cotés.
3) L’image par une similitude directe d’un polygone régulier convexe à n cotés est un polygone
régulier convexe à n cotés (chaque similitude directe conserve les angles et multiplie les distances
par une constante). De plus, deux polygones réguliers convexes à n cotés se déduisent l’un de
l’autre par une similitude directe. Les similitudes indirectes conservent aussi les polygones
réguliers convexes.
Proposition 14.4. Soit P un plan affine euclidien orienté muni d’un repère orthonormé
direct (O, ~u, ~v ). Pour tout n ≥ 2 et tout a ∈ C∗ , la suite Mk , 0 ≤ k ≤ n − 1 des images des
racine n-ièmes zk de a forme les sommets d’un polygone régulier convexe à n cotés de centre
O. Réciproquement, soit M0 , . . . , Mn−1 une suite de n points de P formant les sommets d’un
polygone régulier convexe X de centre Ω. Pour tout repère orthonormé direct d’origine Ω, il
existe un nombre complexe a tel que les sommets de X soient les images des racines n-ièmes de
a.
−−→
−−→\
−−→
zk+1
=
Preuve. On a ||OM k || = |zk | = |a|1/n et, si 0 ≤ k < n−1, mes(OM k , OM k+1 ) = arg
zk
−−→\−−→
2π
2π
+ 2πZ. De même, mes(OM n−1 , OM 0 ) =
+ 2πZ . La suite M0 , . . . , Mn−1 forme donc les
n
n
sommets d’un polygone régulier convexe à n cotés.
Réciproquement, soit M0 , . . . , Mn−1 une suite de n points de P formant les sommets d’un
polygone régulier convexe X de centre Ω du plan affine euclidien orienté P . Considérons
→
→
(Ω, −
e1 , −
e2 ) un repère orthonormé direct d’origine Ω. On a
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→ \
−−→
−−→\−−→
\
\
(ΩM 0 , ΩM 1 ) = (ΩM 1 , ΩM 2 ) = · · · = (ΩM n−2 , ΩM n−1 ) = (ΩM n−1 , ΩM 0 )
−−→
−−→
−−→
−−→
2π
\
\
→
et mes(ΩM 0 , ΩM 1 ) =
+ 2πZ. Posons ρ = ||ΩM 0 ||, mes(−
e1 , ΩM 0 ) = θ + 2πZ, a = ρn einθ
n
2kπ
et Vn (a) = {z0 , z1 , . . . , zn−1 } avec zk = ρei(θ+ n ) . Il est clair que l’image de z0 est M0 . Pour
−−→
−−→
k ∈ [1, n − 1], on a ||ΩM k || = ||ΩM 0 || = ρ et
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→\−−→
\
\
\
→
→
(−
e1 , ΩM k ) = (−
e1 , ΩM 0 ) + (ΩM 0 , ΩM 1 ) + · · · + (ΩM k−1 , ΩM k )
−−→
2kπ
\
→
d’où mes(−
e1 , ΩM k ) = θ +
+ 2πZ et donc l’image de zk est Mk . La suite des sommets de X
n
est l’image de la suite (zk )0≤k≤n−1 des racines n-ièmes de a.
Remarque. Le nombre complexe a tel que les sommets de X soient les images des racines n→
→
ièmes de a dépend du choix du repère (Ω, −
e1 , −
e2 ). Par exemple, soit ABC un triangle équilatéral
→
de centre Ω. Si e~1 est choisi de façon que A ∈ (Ω, −
e1 ) alors a est un nombre réel. Si aucun des
→
points A, B, C n’est sur (Ω, −
e1 ) alors a n’est pas réel.
4. Applications
4.0.1. Applications aux équations. Exemple 1. Résoudre dans C l’équation z 8 + z 4 + 1 = 0.
Solution. On associe à cette équation le système
164
14. RACINES N-IèMES D’UN NOMBRE COMPLEXE
z4 = u
u2 + u + 1 = 0
L’identité u3 − 1 = (u − 1)(u2 + u + 1) montre que les solutions de u2 + u + 1 = 0 sont les
racines cubiques de 1, différentes de 1, c’est-à-dire j et j. On doit maintenant résoudre z 4 = j
et z 4 = j. On remarque que j est une racine quatrième de j car j 4 = j 3 j = j. Les autres
racines quatrièmes de j s’obtiennent par multiplication par les racines quatrièmes
de 1 qui sont
√
3
−
i
−
1, -1, i et −i. Finalement, les solutions de z 4 = j sont z1 = j, z2 = ij =
, z3 = −j et
2
√
3+i
z4 = −ij =
. De z 4 = z 4 , on déduit que les solutions de z 4 = j sont zk , k = 1, 2, 3, 4.
2
On peut aussi remarquer que z 12 −1 = (z 4 −1)(z 8 +z 4 +1) et que si z 4 = 1 alors z 8 +z 4 +1 =
3 6= 0. Les solutions de l’équation z 8 + z 4 + 1 = 0 sont les racines douzièmes de l’unité qui ne
sont pas des racines quatrièmes de l’unité.
Exemple 2. Résoudre dans C l’équation
z n + z n−1 + . . . + z + 1 = 0.
L’égalité
z n+1 − 1 = (z − 1)(z n + z n−1 + . . . + z + 1)
montre que les solutions de cette équation sont les racines (n + 1)-ièmes de l’unité différentes de
1. Par exemple, les solutions de z 2 + z + 1 = 0 sont j et j 2 .
Exemple 3. Résolution de l’équation du second degré à coefficients complexes.
Pour trouver sous forme algébrique les solutions d’une telle équation on est amené à rechercher
les racines carrées complexes de son discriminant. Voir le document 8.
Exemple 4. Résolution de l’équation du troisième degré.
La résolution de l’équation du troisième degré par la méthode exposé dans le document 8
utilise les racines cubiques d’un nombre complexe. Voir ce document.
k=m−1
Y
kπ
4.0.2. Applications à la trigonométrie et à la géométrie. Exemple 5. Calculer
sin
m
k=1
(m ≥ 2).
Solution. Soit P (z) = 1 + z + z 2 + · · · + z m−1 . On a z m − 1 = (z − 1)P (z) ce qui montre que
les solutions de l’équation P (z) = 0 sont les racines n-ièmes de 1, différentes de 1. On a donc :
P (z) =
m−1
Y
i 2kπ
m
(z − e
)
et
m = P (1) =
k=1
2kπ
m
kπ
kπ
k=1
kπ
kπ
= −ei m (ei m − e−i m ) = ei m (−2i sin kπ
m)
m−1
Y
iπ m(m−1)
kπ
d’où m =
sin
(−2i)m−1 e m 2
m
Or 1 − ei
k=1
m−1
Y
(1 − ei
2kπ
m
).
4. APPLICATIONS
or eiπ
m−1
2
= im−1 d’où m = 2m−1
m−1
Y
sin
k=1
kπ
et finalement
m
k=m−1
Y
k=1
165
sin
m
kπ
= m−1 .
m
2
Exemple 6. Calcul de cos 2π/5 : voir le document 8. Ce calcul permet de construire à la règle
et au compas un pentagone régulier convexe inscrit dans le cercle trigonométrique.
166
14. RACINES N-IèMES D’UN NOMBRE COMPLEXE