Racines n-i`emes d`un nombre complexe. Racines de l`unité

DOCUMENT 14
Racines n-i`emes d’un nombre complexe. Racines de l’unit´e.
Applications.
Dans un document pr´ec´edent, on a introduit le corps des nombres complexes afin que tout
nombre r´eel ait une racine carr´ee. On va voir ici que l’on a obtenu beaucoup plus et que, pour
tout entier n6= 0, tout nombre complexe non nul poss`ede n racines n-i`emes.
On suppose ici que l’on a montr´e que tout r´eel positif aposs`ede une racine n-i`eme positive,
not´ee a1/n. La preuve habituelle de ce r´esultat utilise les fonctions r´eciproques.
1. Racines n-i`emes d’un nombre complexe
Pour tout a∈Cet tout entier n≥1, posons Vn(a) = {z∈C|zn=a}. Un ´el´ement de Vn(a)
est appel´e une racine n-i`eme de a. Comme Cest un corps, Vn(0) = {0}. Dans la suite on
supposera toujours a6= 0 ce qui entraine 0 6∈ Vn(a).
Posons a=|a|eiφ et soit z=|z|eiθ ∈C∗. On a :
z=|z|eiθ ∈Vn(a)⇔ |z|neinθ =|a|eiφ
⇔|z|n=|a|
nθ =φ+ 2kπ, k ∈Z
⇔(|z|=|a|1/n
θ=φ+ 2kπ
n, k ∈Z
Si pour k∈Z, on pose zk=|a|1/neiφ+2kπ
nalors Vn(a) = {zk|k∈Z}.
Soit k,k0∈Z. On a :
zk=zk0⇔φ+ 2kπ
n=φ+ 2k0π n+ 2λπ, λ ∈Z
⇔k=k0+λn, λ ∈Z
Autrement dit, zk=zk0´equivaut `a k≡k0(mod n). On a donc, pour tout p∈Z,Vn(a) =
{zk|k∈[p, p +n−1]}car Z/nZ={p, p + 1, . . . , p +n−1}. En g´en´eral, on choisit p= 0 et si n
est impair, n= 2m+ 1, on peut prendre p=−m.
Th´ eor` eme 14.1.Pour tout entier n≥1, tout nombre complexe non nul a=|a|eiφ poss`ede
n racines n-i`emes donn´ees par
zk=|a|
1
neiφ+ 2kπ n, k = 0,1, . . . , n −1.
Remarque. Le th´eor`eme pr´ec´edent n’a rien de surprenant car, comme tout polynˆome de degr´e
n≥1, Pn(x) = xn−a∈C[X] poss`ede nz´eros complexes. De plus, 0 ´etant le seul z´ero de
P0
n(x) = nxn−1, tous les z´eros de Pnsont simples.
159

160 14. RACINES N-I`eMES D’UN NOMBRE COMPLEXE
Racines conjugu´ees, racines r´eelles. Soit z∈Vn(a). Si z∈Vn(a) alors a=zn=zn=
zn=ad’o`u a∈R. Les nombres r´eels sont donc les seuls `a poss´eder ´eventuellement des racines
n-i`emes conjugu´ees.
Soit k, k0∈[0, n −1] et a=|a|eiφ avec φ= 0 ou φ=π.
zk=zk0⇔φ+ 2kπ
n=−φ+ 2k0π n+ 2λπ, λ ∈Z
⇔φ+kπ +k0π=λnπ λ ∈Z(1)
φ= 0 (⇔a > 0)
La relation (1) ´equivaut `a k+k0=λn et l’on a 0 ≤k+k0≤2n−2. Si k+k0= 0 alors k=k0
et z0=z0=|a|1/n. Si k+k0=nalors k0=n−ket zk=zn−k,k= 1,2, . . . , n −1. L’´egalit´e
k=n−k´equivaut `a 2k=net donc aposs`ede une deuxi`eme racine n-i`eme r´eelle si et seulement
si n est pair et on a alors zn/2=zn/2=−|a|1/n.
φ=π(⇔a < 0)
La relation (1) ´equivaut `a k+k0+1 = nce qui ´equivaut encore `a k0=n−k−1 d’o`u zk=zn−k−1,
k= 0,1, . . . , n −1.L’´egalit´e k=n−k−1 est ´equivalente `a n= 2k+ 1. Le nombre complexe a
poss`ede donc une racine n-i`eme r´eelle si et seulement si n est impair. Dans ce cas, cette racine
est zn−1
2=−|a|1/n.
Conclusions
•a > 0z0=|a|1/n ∈Ret si n est pair, zn
2=−|a]1/n ∈R. On a zk=zn−kavec
k= 1, . . . , n −1.
•a < 0 Ancune racine n-i`eme r´eelle si n est pair. Si n est impair, zn−1
2∈Ret zk=
zn−k−1avec k= 0,1, . . . , n −1.
2. Racines n-i`emes de l’unit´e
Posons Un=Vn(1) et ωk=ei2kπ
n. Le th´eor`eme 14.1 entraine que Un={ωk|k∈[0, n −1]}
et on remarque que Un⊂U={z∈C||z|= 1}. De fa¸con plus pr´ecise :
Proposition 14.1.Les racines n-i`emes de l’unit´e forment un sous-groupe de (U, .)isomor-
phe au groupe cyclique (Z/nZ,+).
R´eciproquement, si Gest un sous groupe fini d’ordre nde (C∗, .)alors il existe n∈Ntel
que G=Unet Gest un sous groupe cyclique de (U, .), isomorphe `a (Z/nZ,+).
Preuve. On consid`ere Z/nZsous la forme {0,1, . . . , n −1}et on d´efinit une application f
de Z/nZdans Unpar f(k) = ωk, 0 ≤k≤n−1.
•L’application fest bien d´efinie car ωkne d´epend que de la classe de kmodulo n.
•Elle est surjective car Un={ω0, ω1, . . . , ωn−1}. Elle est donc bijective car Z/nZet Un
sont des ensembles finis ayant tous deux n ´el´ements (on sait aussi que ωk=ωk0⇔k=
k0).
•On a k+k0=k+k0=k+k0−εn avec ε= 0 si k+k0≤n−1 et ε= 1 si n≤k+k0≤
2n−2. Dans les deux cas, 0 ≤k+k0−εn ≤n−1.
f(k+k0) = f(k+k0−εn) = ei2(k+k0−εn)π
n=ei2kπ n.ei2k0π n.e−2iεπ =ωk.ωk0=f(k)f(k0).

2. RACINES N-I`eMES DE L’UNIT´ E 161
L’application fest donc un isomorphisme du groupe (Z/nZ,+) sur le groupe (Un, .).
Soit Gun sous-groupe d’ordre nde (C∗, .). Le th´eor`eme de Lagrange entraine que pour tout
z∈Gil existe un diviseur d > 0 de ntel que zd= 1 (dest l’ordre de z). On a n=dd0d’o`u
zn= (zd)d0= 1 et donc zest une racine n-i`eme de 1. Comme Get Unont le mˆeme nombre
d’´el´ements, G=Un.
Cons´equences. Les groupes isomorphes (Z/nZ,+) et (Un, .) ont les mˆemes propri´et´es. En
particulier, (Un, .) est un groupe cyclique engendr´e par ω1et, plus g´en´eralement, par tout ωk
tel que ket nsont premiers entre eux. Si c’est le cas alors Un={ωk, ω2
k, . . . , ωn k= 1}. Les
g´en´erateurs de Unsont appel´es les racines primitives n-i`emes de l’unit´e. Il y a φ(n) (fonction
indicatrice d’Euler) racines primitives n-i`emes et le polynˆome unitaire de degr´e φ(n) dont les
z´eros sont les racines primitives n-i`emes est appel´e polynˆome cyclotomique d’ordre n. Ces
polynˆomes jouent un rˆole important dans la preuve classique du th´eor`eme de Wedderburn: tout
corps fini est commutatif.
Remarque. La proposition pr´ec´edente n’est qu’un cas particulier du r´esultat suivant : tout
sous-groupe multiplicatif fini d’un corps commutatif est cyclique (voir la partie ”Compl´ements”
du document 5). Il d´ecoule de ce r´esultat que Unest le seul sous-groupe multiplicatif de (C∗, .)
d’ordre n.
La proposition suivante montre que Vn(a) est d´etermin´e par l’un de ses ´el´ements et Un.
Proposition 14.2.Soit zkune racine n-i`eme de a. L’application ωm→ωmzkest une
bijection de Unsur Vn(a). Autrement dit :
Vn={zk, ω1zk, ω2zk, . . . , ωn−1zk}
Preuve. Cette application est `a valeurs dans Vn(a) car (ωmzk)n=ωn
mzn
k=a. Elle est
injective car ωmzk=ωpzkimplique ωm=ωp. Les ensembles finis Unet Vn(a) ayant tous deux
n ´el´ements, elle est bijective.
Exemples et remarques. 1) D’un point de vue g´eom´etrique, la proposition pr´ec´edente signifie
que Vn(a) se d´eduit de Unpar la similitude directe de centre 0, de rapport |zk|=|a|1/n et dont
la mesure de l’angle est arg zk. Si θest un argument de a, alors cet angle a pour mesure
θ+ 2kπ
n+ 2πZ.
2) Les racines cubiques de 1 sont 1, ei2π
3= cos 2π
3+isin 2π 3=−1 + i√3 2,ei4π
3= cos 4π
3+
sin 4π
3=−1−i√3 2. La seconde est not´ee jet on voit que la troisi`eme vaut j2=j.
3) Soit S=
n−1
X
0
ωk. Comme ωk=ωk
1, on a
S=
n−1
X
0
ωk=1−ωn
1
1−ω1
= 0.

162 14. RACINES N-I`eMES D’UN NOMBRE COMPLEXE
Plus g´en´eralement, la somme des racine n-i`emes d’un nombre complexe est nulle (n > 1).
G´eom´etriquement, ce r´esultat signifie que 0 est l’isobarycentre de Vn(a). On montre aussi facile-
ment que, pour tout entier p > 0, p6∈ nZ,Sp=
n−1
X
0
(ωk)p= 0 et le r´esultat analogue pour les
racines n-i`emes d’un nombre complexe quelconque.
4) On a aussi
n−1
Y
0
ωk= (−1)n−1et plus g´en´eralement
n−1
Y
0
zk= (−1)n−1asi Vn(a) = {z0, . . . , zn−1}.
Evidemment, ces r´esultat ne sont que des cas particuliers des relations classiques entre
coefficients et z´eros d’un polynˆome.
3. Interpr´etation g´eom´etrique
Soit Pun plan affine euclidien orient´e et n≥2 un entier.
D´ efinition 14.1.Soit M1, . . . , Mnune suite de npoints distincts du plan affine euclidien
orient´e P. La ligne bris´ee ferm´ee [M1M2]∪ ··· ∪ [Mn−1Mn]∪[MnM1]est un polygone r´egulier
convexe `a ncot´es si :
(1) Les points M1, . . . , Mnsont tous sur un mˆeme cercle de centre O;
(2)
(\
−−→
OM1,−−→ OM2) = ( \
−−→
OM2,−−→ OM3) = ··· = ( \
−−→
OMn−1,−−→ OMn) = ( \
−−→
OMn,−−→ OM1)
et la mesure de (\
−−→
OM1,−−→ OM2)est 2π/n + 2πZou −2π/n + 2πZ
Les points Mksont appel´es les sommets du polygone r´egulier et les segments [MkMk+1],
1≤k≤n−1, et [MnM1] les cot´es du polygone. Le point Oest le centre du polygone.
Remarquons que Oest ´equidistant de tous les sommets du polygone et que c’est l’isobarycentre
de l’ensemble des sommets.
En utilisant les propri´et´es ´el´ementaires des rotations on obtient la caract´erisation suivante
des polygones r´eguliers convexes.
Proposition 14.3.Soit M1, . . . , Mnune suite de npoints distincts du plan affine euclidien
P. La ligne bris´ee ferm´ee [M1M2]∪ ···∪ [Mn−1Mn]∪[MnM1]est un polygone r´egulier convexe
`a ncot´es de centre Osi et seulement si
r(Mk) = Mk+1 si 1 ≤k≤n−1 et r(Mn) = M1,
o`u rest une rotation de centre Odont la mesure de l’angle est 2π
n+ 2πZou −2π n+ 2πZ.
Remarques. 1) Avec les notations de la proposition, il est clair que r({M1, . . . , Mn}) =
{M1, . . . , Mn}mais un ensemble de npoints de P, stable par une rotation ρ, ne forme pas
n´ecessairement les sommets d’un polygone r´egulier convexe `a ncot´es. Par exemple, consid´erons
deux triangles ´equilat´eraux ABC et DEF de mˆeme centre Ω. La rotation ρde centre Ω et dont
une mesure de l’angle est 2π/3 conserve {A, B, C, D, E, F }et il est facile d’imaginer des cas
o`u {A, B, C, D, E, F }ne forme pas les sommets d’un polygone r´egulier convexe `a 6 cot´es (par
exemple, si ΩAet ΩDsont orthogonaux).
Si Xest un polygone r´egulier convexe `a ncot´es de sommets M1, . . . , Mnalors il existe
plusieurs rotations rlaissant stable {M1, . . . , Mn}. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que

4. APPLICATIONS 163
le centre de rsoit l’isobarycentre de Xet que la mesure de son angle soit l’argument ou l’oppos´e
de l’argument d’une racine primitive n-i`eme de l’unit´e.
2) Si l’on change l’orientation de Palors tout polygone r´egulier convexe `a ncot´es reste un
polygone r´egulier convexe `a ncot´es.
3) L’image par une similitude directe d’un polygone r´egulier convexe `a ncot´es est un polygone
r´egulier convexe `a ncot´es (chaque similitude directe conserve les angles et multiplie les distances
par une constante). De plus, deux polygones r´eguliers convexes `a ncot´es se d´eduisent l’un de
l’autre par une similitude directe. Les similitudes indirectes conservent aussi les polygones
r´eguliers convexes.
Proposition 14.4.Soit Pun plan affine euclidien orient´e muni d’un rep`ere orthonorm´e
direct (O, ~u, ~v). Pour tout n≥2et tout a∈C∗, la suite Mk,0≤k≤n−1des images des
racine n-i`emes zkde aforme les sommets d’un polygone r´egulier convexe `a ncot´es de centre
O. R´eciproquement, soit M0, . . . , Mn−1une suite de npoints de Pformant les sommets d’un
polygone r´egulier convexe Xde centre Ω. Pour tout rep`ere orthonorm´e direct d’origine Ω, il
existe un nombre complexe atel que les sommets de Xsoient les images des racines n-i`emes de
a.
Preuve. On a ||−−→ OMk|| =|zk|=|a|1/n et, si 0 ≤k < n−1, mes(\
−−→
OMk,−−→ OMk+1) = arg zk+1
zk
=
2π
n+ 2πZ. De mˆeme, mes(\
−−→
OMn−1,−−→ OM0) = 2π
n+ 2πZ. La suite M0, . . . , Mn−1forme donc les
sommets d’un polygone r´egulier convexe `a ncot´es.
R´eciproquement, soit M0, . . . , Mn−1une suite de npoints de Pformant les sommets d’un
polygone r´egulier convexe Xde centre Ω du plan affine euclidien orient´e P. Consid´erons
(Ω,−→ e1,−→ e2) un rep`ere orthonorm´e direct d’origine Ω. On a
(\
−−→
ΩM0,−−→ ΩM1) = ( \
−−→
ΩM1,−−→ ΩM2) = ··· = ( \
−−→
ΩMn−2,−−→ ΩMn−1) = ( \
−−→
ΩMn−1,−−→ ΩM0)
et mes(\
−−→
ΩM0,−−→ ΩM1) = 2π
n+ 2πZ. Posons ρ=||−−→
ΩM0||,mes(\
−→
e1,−−→ ΩM0) = θ+ 2πZ,a=ρneinθ
et Vn(a) = {z0, z1, . . . , zn−1}avec zk=ρei(θ+2kπ
n). Il est clair que l’image de z0est M0. Pour
k∈[1, n −1], on a ||−−→ ΩMk|| =||−−→ ΩM0|| =ρet
(\
−→
e1,−−→ ΩMk) = ( \
−→
e1,−−→ ΩM0)+( \
−−→
ΩM0,−−→ ΩM1) + ··· + ( \
−−→
ΩMk−1,−−→ ΩMk)
d’o`u mes(\
−→
e1,−−→ ΩMk) = θ+2kπ
n+ 2πZet donc l’image de zkest Mk. La suite des sommets de X
est l’image de la suite (zk)0≤k≤n−1des racines n-i`emes de a.
Remarque. Le nombre complexe atel que les sommets de Xsoient les images des racines n-
i`emes de ad´epend du choix du rep`ere (Ω,−→ e1,−→ e2). Par exemple, soit ABC un triangle ´equilat´eral
de centre Ω. Si ~e1est choisi de fa¸con que A∈(Ω,−→ e1) alors aest un nombre r´eel. Si aucun des
points A,B,Cn’est sur (Ω,−→ e1) alors an’est pas r´eel.
4. Applications
4.0.1. Applications aux ´equations. Exemple 1. R´esoudre dans Cl’´equation z8+z4+1 = 0.
Solution. On associe `a cette ´equation le syst`eme