Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur

Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur
environnement
sous la direction de Thierry Goudon
Arthur Vavasseur
Laboratoire J.A Dieudonné
 Octobre 
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
1 / 26
1
Introduction
Le modèle initial et ses motivations
Passage à une densité continue de particules
Ecriture simplifiée des équations
2
Propriétés de l’équation
Problème de Cauchy
Limite de champ moyen
Asymptotique en c
Si on fait tendre la vitesse vers l’infinie
Vers Vlasov Poisson
3
Propriétés de l’équation en additionnant un terme de Fokker-Planck
Équation et interprétation
Limite de diffusion
Asymptotique en temps
4
Asymptotique en temps pour une équation limite
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
2 / 26
table of contents
1
Introduction
Le modèle initial et ses motivations
Passage à une densité continue de particules
Ecriture simplifiée des équations
2
Propriétés de l’équation
Problème de Cauchy
Limite de champ moyen
Asymptotique en c
Si on fait tendre la vitesse vers l’infinie
Vers Vlasov Poisson
3
Propriétés de l’équation en additionnant un terme de Fokker-Planck
Équation et interprétation
Limite de diffusion
Asymptotique en temps
4
Asymptotique en temps pour une équation limite
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
3 / 26
L’objectif de ce travail est d’étudier le modèle cinétique dérivant d’un modèle
d’interaction particule-milieu proposé en 2002 par L. Bruneau et S. De Bièvre.
Équations d’évolution
 ..
R
 q (t ) = −∇V (q ) − Rd ×RN σ1 (q − x )σ2 (y )∇x Ψ(t , x , y ) dx dy

∂2t Ψ(t , x , y ) − c 2 ∆y Ψ(t , x , y ) = −σ1 (x − q (t ))σ2 (y ) x ∈ Rd , y ∈ RN
où σ1 et σ2 sont deux fonctions Cc∞ positives radiales.
On complète les équations avec les données initiales
Conditions initiales
q (0) = q0
.
q (t )(0) = q00
, Ψ(0, x , y ) = Ψ0 (x , y )
, ∂t Ψ(0, x , y ) = Ψ00 (x , y )
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
4 / 26
Asymptotiquement en temps, tout se passe comme si la particule était soumise
à l’équation d’évolution
..
.
q (t ) = −∇V (q ) − γq (t ).
(1)
Dans le sens suivant
• V (x ) = 0
→ |q (t ) − q∞ | ≤ Ke(1−η)γt
• lim V (x ) = +∞ → |q (t ) − q∞ | ≤ Ke(1−η)γt
|x |→∞
• V (x ) = F · x
∇V (q∞ ) = 0, ∇2 V (q∞ ) > 0
→ |q∞ + tv (F ) − q (t )| ≤ Ke(1−η)γt
v (F ) ∼ Fγ
c →∞
Mais l’énergie globale est conservée
E=
1
Z
2
c2
|∂t Ψ(t , x , y )| dx dy +
2 Rd ×Rn
2
1
2
+ |q̇ (t )| + V (q (t )) + Φ(q (t ))
2
Z
Rd ×Rn
|∇y Ψ(t , x , y )|2 dx dy
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
5 / 26
Formalisme cinétique
On considère maintenant une densité continue de particule f (t , x , v ) telle qu’en
tout temps t,
Z
f (t , x , v ) dx dv
Ω1 ×Ω2
représente le nombre de particule dans la région Ω1 de l’espace et dont les
R
vitesses se situent dans la région Ω2 . On note ρ(t , x ) = Rd f (t , x , v )dv
On somme maintenant les interactions entre le milieu et chaque volume
infinitésimal de particule.
Équation d’évolution du milieu
∂2t Ψ(t , x , y ) − c 2 ∆y Ψ(t , x , y ) = −σ1 (x − q (t ))σ2 (y )
devient :
∂2t Ψ(t , x , y ) − c 2 ∆y Ψ(t , x , y )
=−
Z
Rd
σ1 (x − z )ρ(t , z ) dz σ2 (y )
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
6 / 26
Équations obtenues
Les particules sont toujours solutions de
ẋ = v
v̇ = −∇(V + Φ(t ))(x )
Équation d’évolution de la densité de particule

 ∂t f + v .∇x f = ∇v f .∇x (V + Φ)
f (0, x , v ) = f0 (x , v )
R

Φ(t , x ) = Rd ×RN Ψ(t , z , y )σ1 (x − z )σ2 (y ) dy
Équation d’évolution du milieu
 2
∂ Ψ − c 2 ∆y Ψ = −(ρ ∗ σ1 ) ⊗ σ2


 t
Ψ(0, x , y ) = Ψ0 (x , y )
∂ Ψ(0, x , y ) = Ψ00 (x , y )


 t R
ρ = Rd f dv
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
(2)
(3)
7 / 26
Équation simplifiée : Résoudre (3)-(2) revient à résoudre
∂t f + v .∇x f = ∇v f .∇x (V + Φ0 − L (f ))
f (0, x , v ) = f0 (x , v )
(4)
Paramètres réduits
Z
Φ0 (t , x ) =
Rdx ×Rny
Ψinit (t , z , y )σ1 (x − z )σ2 (y ) dz dy
Où Ψinit désigne la solution de l’équation des ondes sans second membre pour
les données initiales Ψ0 et Ψ1 et
L (f )(t ) = Σ ∗
en notant Σ = σ1 ∗ σ1 et p(t ) =
t
Z
p(t − s)ρf (s) ds
0
1
(2π)N
Z
RN
sin(c |ξ|t ) c |ξ|
2
c2 (ξ) dξ.
σ
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
8 / 26
table of contents
1
Introduction
Le modèle initial et ses motivations
Passage à une densité continue de particules
Ecriture simplifiée des équations
2
Propriétés de l’équation
Problème de Cauchy
Limite de champ moyen
Asymptotique en c
Si on fait tendre la vitesse vers l’infinie
Vers Vlasov Poisson
3
Propriétés de l’équation en additionnant un terme de Fokker-Planck
Équation et interprétation
Limite de diffusion
Asymptotique en temps
4
Asymptotique en temps pour une équation limite
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
9 / 26
Existence et unicité
On suppose toujours f0 ≥ 0. sous l’hypothèse supplémentaire suivante :
Hypothèse sur le potentiel
On suppose que le potentiel V vérifie :
V (x ) ≥ −C (1 + |x |2 )
On se donne R0 > 0, on montre qu’il existe un poids wt (x , v ) ≥ 1 dépendant de
kσ1 kW 3,2 (Rd ) , kσ2 kL2 (Rn ) , kΨ0 kL2 (Rd ×Rn ) , kΨ1 kL2 (Rd ×Rn ) , C et R0 > 0 tel que :
Théorème
1
2
Si kf0 kL1 (Rd ×Rd ) ≤ R0 et f0 ∈ L1 (Rd × Rd , wT (x , v ) dx dv ), alors il existe
une unique solution faible f au problème dans C ([0, T ], L1 (Rd × Rd )) .
Cette solution est continue par rapport à f0 .
Si on a seulement f0 ∈ L1 (Rd × Rd ), alors il existe une solution faible au
problème dans C (R+ , L1 (Rd × Rd )) (on n’a plus forcément unicité).
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
10 / 26
On considère une famille de particules (qjN )1≤j ≤N qui interagissent chacune
avec le milieu selon le premier modèle :
Équations de champ moyen
Z



q̈
(
t
)
=
−∇
V
(
q
(
t
))
−
σ1 (qj (t ) − x ) σ2 (y ) ∇x Ψ(t , x , y ) dx dy ,
j

 j
Rd ×Rn

1

2
2

 ∂tt Ψ(t , x , y ) − c ∆y Ψ(t , x , y ) = − N σ2 (y )
N
∑ σ1 (x − qk (t )).
k =1
Définition
densité empirique
b
µNt =
1
N
∑ δ(q
N
i =1
N
N
j (t ),q̇j (t ))
Propriété
∂t b
µN + v .∇x b
µN = ∇v b
µN .∇x V + Φ0 − L (b
µN )
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
11 / 26
Théorème
1
2
Si b
µN0 converge étroitement vers µ0 et est uniformément bornée dans
L1 (Rd × Rd , wT (x , v ) dx dv ) alors b
µN converge faiblement vers une
solution du problème de donnée initiale µ0 .
Si b
µN0 est étroitement compact, alors on peut extraire une sous suite
convergente vers une solution du problème.
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
12 / 26
On suppose ici V > 0,
Théorème
Si N ≥ 3, alors quitte à extraire une sous suite, toute famille (fε )ε telle que
kf0,ε kL1 (Rd ×Rd ) et l’énergie globale du système soient uniformément bornés au
temps initial et que

∂t fε + v · ∇x fεZ− ∇x (V + Φε ) · ∇v fε = 0,




Φε (t , x , y ) =
Ψε (t , z , y )σ2 (y )σ1 (x − z ) dz dy ,
Rn ×Rd
Z


 ∂2 − 1 ∆ Ψ (t , x , y ) = − 1 σ (y )

σ1 (x − z )f (t , z , v ) dv dz ,
y
ε
2
tt
ε
ε
Rd ×Rd
converge faiblement vers une solution de l’équation de Vlasov :
∂t f + v .∇x f = ∇v f .∇x (V − κΣ ∗ ρ))
f (0, x , v ) = f0 (x , v )
Avec
Z
κ=
RN
c2 (ξ)|2
|σ
(2π)N |ξ|2
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
13 / 26
Pourquoi ?
1
Terme d’interaction :
1
ε
Lε (f )(t ) = σ1 ∗ σ1 ∗
t
Z
0
1
ε
pε (t − s)ρf (s)ds,
1
ε
pε (s) =
1
ε1/2
p̃(s/ε1/2 )
Pour N ≥ 3,
Z ∞
Z
p̃(s) =
0
2
RN
c2 (ξ)|2
|σ
dξ.
(2π)N |ξ|2
Terme issu des données initiales :
Z
Φ0,ε =
Ψinit ,ε (t , z , y )σ1 (x − z )σ2 (y ) dz dy
Rdx ×Rny
Avec la borne uniforme de
Z
Z
1
ε
|∂t Ψinit ,ε (t , x , y )|2 dx dy +
|∇y Ψinit ,ε (t , x , y )|2 dx dy ,
2 Rd ×Rn
2 Rd ×Rn
On déduit
∇v f · ∇x Φ0,ε * 0
ε→0
Par inégalité de Strichartz.
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
14 / 26
On peut aussi faire varier plusieurs paramètres en même temps, pour obtenir
d’autres modèles limites plus classiques : On suppose ici N ≥ 3 et d = 3 en
faisant également varier σ1 en fonction de c, on peut trouver l’équation de
Vlasov-Poisson attractive :
Vlasov-Poisson


 ∂t f + v .∇x f = ∇v f .∇x V + Φ̃
∆Φ̃ = κρ


f (0, x , v ) = f0 (x , v )
Définition de σ1,ε
On choisit deux fonctions χ et δ dans D (R3 ) telles que 0 ≤ χ, δ ≤ 1, χ = 1 sur
R
B (0, 1), χ = 0 sur c B (0, 1) et δ = 1 On note χε (x ) = χ(εx ) et δε (x ) = ε13 δ( xε )
C3
On prend σ1,ε = δε ∗ |·|
2 χε
C3
C3
1
Car |·|
2 ∗ |·|2 = 4π|·|
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
15 / 26
table of contents
1
Introduction
Le modèle initial et ses motivations
Passage à une densité continue de particules
Ecriture simplifiée des équations
2
Propriétés de l’équation
Problème de Cauchy
Limite de champ moyen
Asymptotique en c
Si on fait tendre la vitesse vers l’infinie
Vers Vlasov Poisson
3
Propriétés de l’équation en additionnant un terme de Fokker-Planck
Équation et interprétation
Limite de diffusion
Asymptotique en temps
4
Asymptotique en temps pour une équation limite
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
16 / 26
On ajoute un terme de Fokker-Planck à l’équation d’évolution :
∂t f = +v · ∇x f − ∇x (V + Φ0 − L (f )) · ∇v f = γ∇v · (vf + ∇v f )
f (0, x , v ) = f0 (x , v )
(5)
On considère une famille de N particules aléatoires repérées par leurs
positions et leurs vitesses (qjN , pjN )1≤j ≤N , chacune soumises à l’équation
d’évolution :
dqiN = piN (t ) dt
√
dpiN = −∇x (V + Φ0 (t ) − L (b
µN )(t ))(qiN (t )) dt − γpiN (t ) dt + 2γ dBiN (t )
(6)
A laquelle on ajoute la condition initiale aléatoire :
N
Z
qi (0) = qiN,0
N
N
P[(
q
,
p
)
∈
A
]
=
df0 (p, q )
i ,0 i ,0
piN (0) = piN,0
A
1 ≤ i ≤ N.
(7)
On note encore :
b
µNt =
1
N
∑ δ(qjN (t ),q̇jN (t ))
N i =1
et
P[(q1 (t ), p1 (t )) ∈ A] =
Z
A
dµNt (p, q )
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
17 / 26
On suppose cette fois que V est C 1 de gradient lipschitz.
Théorème
1
Il existe une unique solution µ à (5) de donnée initiale f0 ∈ M 1 (Rd × Rd ).
2
Les variables aléatoires (qjN , pjN )1≤j ≤N sont également bien définies.
3
Pour tout T > 0, on peut trouver CT tel que :
CT
sup W1 (µN
t , µt ) ≤ √
N
0≤t ≤T
4
b
µNt converge également en lois vers µt
Définition
Distance de Wasserstein
W1 (µ, ν) = inf
π
nZ
(Rd ×Rd )2
o
(|ζ − ζ0 | ∧ 1) dπ(ζ, ζ0 )
où l’infimum est pris sur les mesures de probabilités π sur (Rd × Rd )2 ayant µ
et ν comme marginales (π(A × (Rd × Rd )) = µ(A) )
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
18 / 26
On considère le problème asymptotique suivant :
Régime asymptotique

1
1


∂t fε + (v · ∇x − ∇x (V + Φε ) · ∇v )fε = 2 divv (vfε + ∇v fε ),


ε
ε

Z
1
1
∂2tt Ψε − 2 ∆z Ψε (t , x , z ) = − 2 σ2 (z )
σ1 (x − y )Fε (t , y , v ) dv dy ,


ε
ε
Rd ×Rd


R

Φε (t , x ) = Rd ×RN Ψε (t , z , y )σ1 (x − z )σ2 (y ) dy
Théorème
On suppose que e−νV ∈ L1 (Rd ) pour 0 < ν < 1/2 et que la fonctionnelle
d’énergie-entropie initiale est uniformément bornée sur les données initiales
f0,ε , Ψ0,ε , Ψ1,ε :
Alors on peut extraire une suite faiblement convergente dans
−|v |2 /2
L1 ((0, T ) × Rd × Rd ) vers ρ ⊗ M où M (v ) = e(2π)d /2 et ρ est solution de :
∂t ρ − ∇x · (∇x ρ + ρ∇x (V − ΛΣ ∗ ρ)) = 0.
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
(8)
19 / 26
Proposition
Il existe λ0 > 0 tel que pour ΛkΣkW 1,∞ (Rd ) m < λ0 , toute solution de
∂t ρ − ∇x · (∇x ρ + ρ∇x (V − ΛΣ ∗ ρ)) = 0.
de donné initiale ρ0 ∈ L2 ( dx /ρeq ) positive de masse m satisfait
Z
Rd
|ρ(t , x ) − ρeq (x )|2
dx ≤ e−κt
ρeq (x )
Z
Rd
|ρ0 − ρeq |2
dx .
ρeq
−|v |2 /2
On remarque que Meq (x , v ) := ρeq (x ) e(2π)d /2 est solution stationnaire du
système initiale pour c = 1. Pour ce premier système, on a plus généralement,
Théorème
On suppose n ≥ 3 et e−V ∈ L1 (Rd ). La masse totale m ,σ1 et σ2 étant fixés,
on peut trouver c0 tel que pour tout c > c0 , il existe un unique couple
(Meq , Ψeq ) de solution stationnaire au problème (5)-(3). De plus,
Meq (x , v ) = ρeq (x )M (v )
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
20 / 26
Théorème principal
On suppose n = 3 et on fixe et la masse m > 0 et l’énergie E0 . Sous des
hypothèses techniques sur V , on peut trouver c1 > c > 0, et κ > 0 tels que
pour tout c > c1 et toutes données initiales f0 de masse m et Ψ0 , Ψ1 vérifiant :
Hypothèses sur les CI
f0 ∈ L2 Rd × Rd ;
Z
dv dx ,
Meq (x , v )
supp(Ψ0 − Ψeq , Ψ1 ) ⊂ Rd × B (0, RI ),
|∇z (Ψ0 − Ψeq )|2 + |Ψ1 |2 dz dx ≤ E0 ,
Rd ×R3
Alors on peut trouver M > 0 tel que la solution de f de (5) satisfasse :
Z
Rd ×Rd
|F (t , x , v ) − Meq (x , v )|2
dv dx ≤ Me−κt .
Meq (x , v )
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
21 / 26
table of contents
1
Introduction
Le modèle initial et ses motivations
Passage à une densité continue de particules
Ecriture simplifiée des équations
2
Propriétés de l’équation
Problème de Cauchy
Limite de champ moyen
Asymptotique en c
Si on fait tendre la vitesse vers l’infinie
Vers Vlasov Poisson
3
Propriétés de l’équation en additionnant un terme de Fokker-Planck
Équation et interprétation
Limite de diffusion
Asymptotique en temps
4
Asymptotique en temps pour une équation limite
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
22 / 26
On considère l’équation suivante :
∂t ρ = div(∇ρ + ρ∇(V + W ∗ ρ)) R+ × Rd
ρ(0) = ρ0
Rd
En supposant W ∈ W 1,∞ (Rd ), W (x ) = W (−x ), e−V ∈ L1 (Rd ), la
fonctionnelle suivante est décroissante et minorée :
Z
1
E (ρ) =
ρ(ln(ρ) + W ∗ ρ + V ) dx
d
2
R
Théorème
En supposant V strictement convexe et
Z
ρ0 ∈ L1 (Rd ), ρ0 ≥ 0,
ρ0 (x )dx = m,
Rd
E (ρ0 ) < ∞.
On montre que
lim inf kρ(t ) − ρeq kL1 (Rd ) = 0
t →∞ ρeq
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
23 / 26
Méthode
ρ est un état d’équilibre si et seulement si
T (ρ) = ρ,
T (ρ) =
m
Z (ρ)
e−V −W ∗ρ ,
Z
Z (ρ) :=
e−V (x )−W ∗ρ(x ) dx .
Rd
On introduit une nouvelle fonctionnelle
Z
1
Z (ρ)
R (ρ) :=
ρW ∗ ρ + m ln
.
2 Rd
m
On sait déjà que que E (ρ) est monotone convergente vers E ∗ , on montre
d
R (ρ) ≤ − 1 k∇W kL∞ (Rd ) d E (ρ) ∈ L1 (0, +∞)
dt
dt
(2κ)1/2
On en déduit que R (ρ) converge puis identifie sa limite à
−E ∗ . Cela implique
lim kρ(t ) − T (ρ(t ))kL1 (Rd ) = 0
t →∞
Des méthodes de compacités permettent de déduire :
lim inf kρ(t ) − ρeq kL1 (Rd ) = 0
t →∞ ρeq
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
24 / 26
Conclusion
Étude de la généralisation du modèle de L. Bruneau et S. de Bièvre à
plusieurs particules.
→ existence et unicité sous des hypothèses générales,
régimes asymptotiques, limite de champ moyen.
Ouverture : Asymptotique en temps long ?
Étude de ce modèle en ajoutant un terme de Fokker-Planck.
→ Existence et unicité sous des hypothèses plus restrictives,
asymptotique de diffusion, limite de champ moyen,
asymptotique en temps long.
Sur Fokker-Planck homogène :
→ Résultat qualitatif sur le comportement en temps long sans conditions
de petitesse ou de signe sur la non linéarité.
Ouverture : Peut-on être plus précis ?
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
25 / 26
Merci !
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement
 Octobre 
26 / 26