Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur

Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur
environnement
sous la direction de Thierry Goudon
Arthur Vavasseur
Laboratoire J.A Dieudonné
 Octobre 
Arthur Vavasseur (Laboratoire J.A Dieudonné) Modèles cinétiques de particules en interaction avec leur environnement Octobre  1 / 26

1Introduction
Le modèle initial et ses motivations
Passage à une densité continue de particules
Ecriture simplifiée des équations
2Propriétés de l’équation
Problème de Cauchy
Limite de champ moyen
Asymptotique en c
Si on fait tendre la vitesse vers l’infinie
Vers Vlasov Poisson
3Propriétés de l’équation en additionnant un terme de Fokker-Planck
Équation et interprétation
Limite de diffusion
Asymptotique en temps
4Asymptotique en temps pour une équation limite
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table of contents
1Introduction
Le modèle initial et ses motivations
Passage à une densité continue de particules
Ecriture simplifiée des équations
2Propriétés de l’équation
Problème de Cauchy
Limite de champ moyen
Asymptotique en c
Si on fait tendre la vitesse vers l’infinie
Vers Vlasov Poisson
3Propriétés de l’équation en additionnant un terme de Fokker-Planck
Équation et interprétation
Limite de diffusion
Asymptotique en temps
4Asymptotique en temps pour une équation limite
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L’objectif de ce travail est d’étudier le modèle cinétique dérivant d’un modèle
d’interaction particule-milieu proposé en 2002 par L. Bruneau et S. De Bièvre.
Équations d’évolution
..
q(t) = −∇V(q)−RRd×RNσ1(q−x)σ2(y)∇xΨ(t,x,y)dxdy
∂2
tΨ(t,x,y)−c2∆yΨ(t,x,y) = −σ1(x−q(t))σ2(y)x∈Rd,y∈RN
où σ1et σ2sont deux fonctions C∞
cpositives radiales.
On complète les équations avec les données initiales
Conditions initiales
q(0) = q0,Ψ(0,x,y)=Ψ0(x,y)
.
q(t)(0) = q0
0,∂tΨ(0,x,y)=Ψ0 0(x,y)
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Asymptotiquement en temps, tout se passe comme si la particule était soumise
à l’équation d’évolution
..
q(t) = −∇V(q)−γ. q(t).(1)
Dans le sens suivant
•V(x) = 0→ |q(t)−q∞| ≤ Ke(1−η)γt
•lim
|x|→∞V(x)=+∞→ |q(t)−q∞| ≤ Ke(1−η)γt
∇V(q∞) = 0,∇2V(q∞)>0
•V(x) = F·x→|q∞+tv(F)−q(t)|≤Ke(1−η)γt
v(F)∼
c→∞
F
γ
Mais l’énergie globale est conservée
E=1
2ZRd×Rn|∂tΨ(t,x,y)|2dxdy+c2 2ZRd×Rn|∇yΨ(t,x,y)|2dxdy
+1
2|˙
q(t)|2+V(q(t)) + Φ(q(t))
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